陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题8四边形（附真题解析）

陕西省中考数学历年（2016-2022

年）真题分类汇编专题

8

四边形一、单选题1．在下列条件中，能够判定▱𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形的是（ ）A．𝐴𝐵=

𝐴𝐶 B．𝐴𝐶

⊥𝐵𝐷 C．𝐴𝐵

=

𝐴𝐷 D．𝐴𝐶=

𝐵𝐷【答案】D【知识点】菱形的判定；矩形的判定【解析】【解答】解：当

AB=AC

时，不能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

A

不符合题意；当

AC⊥BD

时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能说明平行四边形

ABCD

是菱形，不能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

B

不符合题意；当

AB=AD

时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能说明平行四边形

ABCD

是菱形，不能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

C

不符合题意；当

AC=BD

时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

D

符合题意.故答案为：D.【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此一一判断得出答案.𝐴𝐶2．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷

中，∠𝐴𝐵𝐶=60°

，连接𝐴𝐶

、𝐵𝐷

，则

𝐵𝐷

的值为（ ）A．12【答案】DB．

22C．

32D．

33【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质【解析】【解答】解：设

AC

与

BD

的交点为

O，如图所示：∵四边形

𝐴𝐵𝐶𝐷

是菱形，12∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐵𝐶,𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷,𝐵𝑂=𝐷𝑂,𝐴𝑂=𝐶𝑂

，∵∠𝐴𝐵𝐶=60°

，∴△ABC

是等边三角形，∴∠𝐴𝐵𝑂=30°,𝐴𝐵=𝐴𝐶

，12∴𝐴𝑂=𝐴𝐵

，∴𝑂𝐵=𝐴𝐵2−𝐴𝑂2=3𝑂𝐴

，∴𝐵𝐷=23𝑂𝐴,𝐴𝐶=2𝐴𝑂

，∴𝐴𝐶

=

2𝑂𝐴𝐵𝐷 2

3𝑂𝐴=

3

；3故答案为：D.【分析】设

AC

与

BD

的交点为

O，由菱形的性质和已知条件易得三角形

ABC

是等边三角形，于是用勾股定理可将

OB

用含

OA的代数式表示出来，则

BD、AC

也可用含

OA

的代数式表示出来，于是

AC

与

BD

的比值可求解.3．如图，在▱ABCD

中，AB＝5，BC＝8.E

是边

BC

的中点，F

是▱ABCD

内一点，且∠BFC＝90°.连接

AF

并延长，交

CD于点

G.若

EF∥AB，则

DG

的长为（ ）A．5

B．32 2【答案】DC．3 D．2【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：连接

AC，交

EF

于点

H，如图，∵E

是边

BC

的中点，且∠BFC＝90°，1∴Rt△BCF中，EF＝ BC＝4，2∵EF∥AB，AB∥CG，E

是边

BC

的中点，∴H

是

AC

的中点，F

是

AG

的中点，∴EH

是△ABC

的中位线，FH

是△ACG

的中位线，2 21

12∴EH=𝐴𝐵=5，𝐹H=𝐶𝐺

，2 2而FH=EF-FH=4-5

=3

，∴CG=3FH=3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故答案为：D.【分析】连接

AC，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到

EF

的长，再根据三角形中位线定理，即可得到

CG

的长，进而得出

DG

的长.4．如图，在菱形

ABCD中，点

E，F，G，H

分别是边

AB，BC，CD

和

DA的中点，连接

EF，FG，GH和HE，若

EH＝2EF，则下列结论正确的是（ ）A．AB＝ 2

EF B．AB＝2EF C．AB＝ 3

EF D．AB＝ 5

EF【答案】D【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理【解析】【解答】连接

AC、BD

交于点

O，∵四边形

ABCD是菱形，∴OA=

1

AC，OB=1

BD，AC⊥BD，2 2∵E、F、G、H

分别是边

AB、BC、CD

和

DA

的中点，∴EH=1

BD，EF=1

AC，2 2∵EH=2EF，∴OA=EF，OB=2OA=2EF，在

Rt△AOB中，AB= 𝑂𝐴2+

𝑂𝐵2

= 5

EF，故答案为：D.【分析】连接

AC、BD

交于点

O，根据菱形的性质，得出

OA=112 2AC，OB= BD，AC⊥BD，根据三角形的中21

12位线定理得出

EH= BD，EF= AC，又

EH=2EF，故

OA=EF，OB=2OA=2EF，在

Rt△AOB

中，由勾股定理得出

AB

的长。5．如图，在矩形

ACBO

中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数

y＝kx

的图像经过点

C，则

k的取值为（ ）A．－1

B．12 2【答案】AC．－2 D．2【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】∵A(－2，0)，B(0，1)，∴OA=2，OB=1，∵四边形

OACB

是矩形，∴BC=OA=2，AC=OB=1，∵点

C

在第二象限，∴C

点坐标为（-2，1），∵正比例函数

y＝kx

的图像经过点

C，∴-2k=1，1∴k=－ ，2故答案为：A.【分析】根据

A，B两点的坐标，得出

OA=2，OB=1，根据矩形的性质得出

BC=OA=2，AC=OB=1，根据

C点的位置得出

C

点的坐标，利用反比例函数图象上的点的坐标特点得出

k

的值。6．如图，在矩形

ABCD中，AB=2，BC=3．若点

E是边

CD的中点，连接

AE，过点

B作

BF⊥AE

交

AE于点F，则

BF的长为（ ）A．3

102【答案】BB．3

105C．

105D．3

55【知识点】勾股定理；矩形的性质【解析】【解答】如图，连接

BE．∵四边形

ABCD

是矩形，∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在

Rt△ADE中，AE= 𝐴𝐷2+

𝐷E2

= 32+

12

= 10，2∵S△ABE=1

S矩形ABCD=3=1

•AE•BF，2∴BF=310

．5故答案为：B．【分析】连接

BE．由矩形的性质得出

AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=90°，在

Rt△ADE

中，由勾股定理得出AE=

10

；再由

S△ABE=

1

S矩形

ABCD=3=

1

•AE•BF求出

BF的值.2 27．如图，在正方形

ABCD

中，连接

BD，点

O

是

BD

的中点，若

M、N

是边

AD上的两点，连接

MO、NO，并分别延长交边

BC于两点

M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）A．2对 B．3对 C．4对 D．5

对【答案】C【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质【解析】【解答】解：∵四边形

ABCD

是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD

和△BCD

中，𝐴𝐵=

𝐵𝐶∠𝐴=∠𝐶

，𝐴𝐷=

𝐶𝐷∴△ABD➴△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD

和△M′OB

中，∠M𝐷𝑂=

∠M′𝐵𝑂∠M𝑂𝐷=∠M′𝑂𝐵

，𝐷M=𝐵M

′∴△MDO➴△M′BO，同理可证△NOD➴△N′OB，∴△MON➴△M′ON′，∴全等三角形一共有

4

对．故选

C．【分析】可以判断△ABD➴△BCD，△MDO➴△M′BO，△NOD➴△N′OB，△MON➴△M′ON′由此即可对称结论．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．8．如图，在矩形

ABCD中，AB=3，BC=6，若点

E，F

分别在

AB,CD

上，且

BE=2AE，DF=2FC，G，H分别是

AC的三等分点，则四边形

EHFG的面积为（ ）A．1 B．32C．2 D．4【答案】C【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，延长

FH

交

AB

于点

M，∵BE＝2AE，DF＝2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，∴AE：AB=1：3，CF：CD=1：3，又∵G、H

分别是

AC

的三等分点，∴AG：AC=CH：AC=1：3，∴AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，∴EG//BC，FH//AD，∴△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，BM：AB=CF：CD=1：3，∠EMH=∠B，∴EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，∵四边形

ABCD

是矩形，AB=3，BC=6，∴CD=AB=3，AD=BC=6，∠B=90°，∴AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，∴EM=3-1-1=1，EG=FH，//∴EG_

FH，_∴四边形

EHFG

为平行四边形，∴S

四边形

EHFG＝2×1=2，故答案为：C。【分析】如图，延长

FH

交

AB

于点

M，根据线段之间的关系可以得出

AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，根据平行线分线段成比例定理的逆用得出

EG//BC，FH//AD，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ABC，△CFH∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得出EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，根据矩形的性质进而即可得出

EG=2,HF=2，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形

EHFG

为平行四边形，进而根据平行四边形面积的计算方法即可算出答案。二、填空题9．正九边形一个内角的度数为.【答案】140°【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质𝑛【解析】【解答】正多边形的每个外角

=

360°

（

𝑛

为边数），所以正九边形的一个外角

=

360°

=

40°9∴

正九边形一个内角的度数为

180°−40°

=

140°故答案为：140°.【分析】根据正九边形的外角和等于

360°，用

360°÷9

可求得每一个外角的度数，再根据正九边形的每一个外角和它相邻的内角互补即可求解10．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为

45°，则这个正多边形的边数是

．B．运用科学计算器计算：3 17

sin73°52′≈

．（结果精确到

0.1）【答案】8；11.9【知识点】计算器在数的开方中的应用；多边形内角与外角；计算器—三角函数【解析】【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为

360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=82）3 17

in73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案为：8，11.9【分析】（1）根据多边形内角和为

360°进行计算即可；（2）先分别求得

3 17

和

sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．本题主要考查了多边形的外角和以及近似数，解决问题的关键是掌握多边形的外角和定理以及近似数的概念．在取近似值时，需要需要运用四舍五入法求解．11．如图，在正五边形

ABCDE中，DM是边

CD的延长线，连接

BD，则∠BDM的度数是

.【答案】144°【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质5【解析】【解答】解：∵五边形

ABCDE

是正五边形，∴∠C＝(5−2)⋅180°

＝108°，BC＝DC，∴∠BDC＝180°−108°

＝36°，2∴∠BDM＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°.【分析】根据正五边形的性质和内角和为

540°，求得每个内角的度数为

108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答.12．如图，在菱形

ABCD

中，AB＝6，∠B＝60°，点

E在边

AD

上，且

AE＝2.若直线

l经过点

E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点

F，则线段

EF

的长为

.【答案】2

7【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质【解析】【解答】解：如图，过点

A

和点

E

作

AG⊥BC，EH⊥BC

于点

G

和

H，得矩形

AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形

ABCD

中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，AG＝3 3

＝EH，∴HC＝BC﹣BG﹣GH＝6﹣3﹣2＝1，∵EF

平分菱形面积，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，在

Rt△EFH

中，根据勾股定理，得EF＝ EH2+

𝐹H2

＝ 27+

1

＝2 7.故答案为：2 7

.【分析】过点

A

和点

E

作

AG⊥BC，EH⊥BC

于点

G

和

H，可得矩形

AGHE，再根据菱形

ABCD

中，AB＝6，∠B＝60°，可得

BG＝3，AG＝3 3

＝EH，由题意可得，FH＝FC﹣HC＝2﹣1＝1，进而根据勾股定理可得

EF

的长.1213．点

O

是平行四边形

ABCD

的对称中心，AD＞AB，E、F

分别是

AB

边上的点，且

EF＝ AB；G、H

分3别是

BC

边上的点，且

GH＝

1

BC；若

S1，S2

分别表示∆EOF

和∆GOH

的面积，则

S1，S2之间的等量关系是【答案】2S1＝3S2【知识点】平行四边形的性质【解析】【解答】过点

O

分别作

OM⊥BC，垂足为

M，作

ON⊥AB，垂足为

N，∵点

O

是平行四边形

ABCD

的对称中心，∴S

平行四边形

ABCD=AB•2ON，

S平行四边形

ABCD=BC•2OM，∴AB•ON=BC•OM，∵S1=1

EF•ON，S2=1

GH•OM，EF＝1

AB，GH＝1

BC，2 2 2 36∴S1=1

AB•ON，S2=1

BC•OM，4∴2S1＝3S2，故答案为：2S1＝3S2.【分析】过点

O

分别作

OM⊥BC，垂足为

M，作

ON⊥AB，垂足为

N，根据平行四边形的对称性，由点

O

是平行四边形

ABCD

的对称中心，及平行四边形的面积得出，AB•ON=BC•OM，再根据三角形的面积公式，及1

12 3EF＝ AB，GH= BC，即可得出答案。14．如图，在

Rt△ABC中，∠ACB=90°，点

D，E

分别是

AB，AC的中点，点

F

是

AD的中点．若

AB=8，则

EF=

．【答案】2【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】在

Rt△ABC

中，∵AD=BD=4，∴CD=1

AB=4，2∵AF=DF，AE=EC，∴EF=1

CD=2．2故答案为

2【分析】由中位线定理可知要求

EF，须求

CD，CD

是斜边上的中线，由直角三角形的性质定理可知

CD=12ABAB

已知,即可求出

CD.15．如图，在菱形

ABCD

中，∠ABC=60°，AB=2，点

P

是这个菱形内部或边上的一点，若以点

P、B、C

为顶点的三角形是等腰三角形，则

P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为

．【答案】2

3

―

2【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；菱形的性质【解析】【解答】解：如图连接

AC、BD

交于点

O，以

B

为圆心

BC

为半径画圆交

BD

于

P．此时△PBC

是等腰三角形，线段

PD

最短，∵四边形

ABCD

是菱形，∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，∴△ABC，△ADC

是等边三角形，∴BO=DO=

3

×2= 3

，2∴BD=2BO=2 3

，∴PD

最小值=BD﹣BP=2 3

﹣2．故答案为

2 3

﹣2．【分析】如图连接

AC、BD

交于点

O，以

B

为圆心

BC

为半径画圆交

BD

于

P．此时△PBC

是等腰三角形，线段

PD

最短，求出

BD

即可解决问题．本题考查菱形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是找到点P

的位置，属于中考常考题型．16．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4，𝐵𝐷=7.若

M、N

分别是边𝐴𝐷、𝐵𝐶上的动点，且𝐴M=𝐵𝑁，作ME⊥𝐵𝐷，𝑁𝐹⊥𝐵𝐷，垂足分别为

E、F，则ME+𝑁𝐹的值为

.【答案】

152【知识点】平行线的性质；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：连接

AC

交

BD

于点

O，如图，∵四边形

ABCD

是菱形，2∴AC⊥BD，BO=1

=

7，AD//BC，𝐵𝐷 2∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝑂𝐷=

90°，2在

Rt𝛥𝐴𝐵𝑂中，AB=4，BO=7，∵𝐴𝐵2=𝐵𝑂2

+𝐴𝑂2，∴𝐴𝑂=𝐴𝐵2−𝐵𝑂2

=24−(2

)227

=

15，过点

M

作

MG//BD

交

AC

于点

G，∴∠𝐴M𝐺=∠𝐴𝐷𝐵，∠M𝐺𝑂+∠E𝑂𝐺=

90°，∴∠M𝐺𝑂=∠𝐺𝑂E=

90°，又ME

⊥

𝐵𝐷，∴∠ME𝑂=

90°，∴四边形

MEOG

是矩形，∴ME=OG，又𝑁𝐹

⊥

𝐵𝐷，∴∠𝑁𝐹𝐵=

90°，∴∠𝑁𝐹𝐵=

∠𝐴𝐺M，在𝛥𝑁𝐹𝐵和𝛥𝐴𝐺M中，∠𝑁𝐹𝐵=

∠𝐴𝐺M∠𝑁𝐵𝐹=

∠𝐴M𝐺，𝐵𝑁=

𝐴M∴𝛥𝑁𝐹𝐵➴𝛥𝐴𝐺M∴𝑁𝐹=

𝐴𝐺，∴𝑁𝐹+ME=𝐴𝐺+𝑂𝐺=𝐴𝑂=

15.2故答案为：

15.21

7【分析】连接

AC交

BD

于点

O，根据菱形的性质可得

AC⊥BD，BO=

BD=

，AD//BC，由平行线的性质可得2 2∠ADB=∠CBD，利用勾股定理可得

AO，过点

M

作

MG//BD交

AC于点

G，则∠AMG=∠ADB，结合∠MGO+∠EOG=90°可得∠MGO=∠EOG=90°，易得四边形

MEOG

是矩形，则

ME=OG，证明△NFB➴△AGM，得到

NF=AG，然后根据

NF+ME=AG+OG=AO

进行计算.17．如图，在正方形

ABCD中，AB=8，AC与

BD

交于点

O，N

是

AO的中点，点

M

在

BC

边上，且

BM=6.P为对角线

BD上一点，则

PM—PN的最大值为

.【答案】2【知识点】正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；平行线分线段成比例；等腰直角三角形【解析】【解答】解：如图所示，以

BD

为对称轴作

N

的对称点

𝑁′

，连接

𝑃𝑁′

，根据对称性质可知，𝑃𝑁=𝑃𝑁′

，∴𝑃M−𝑃𝑁′

≤

M𝑁′，当

𝑃,M,𝑁′

三点共线时，取“=”，∵正方形边长为

8，∴AC= 2AB=82

，∵O

为

AC

中点，∴AO=OC=42

，∵N

为

OA

中点，∴ON=22

，∴𝑂𝑁′=𝑂𝑁=22

，∴𝐴𝑁′=62

，∵BM=6，∴CM=AB-BM=8-6=2，𝐵M𝐴𝑁′𝐶M

𝐶𝑁′

1∴ = =3

，∴PM∥AB∥CD，∠𝐶M𝑁′

=90°，∵∠𝑁′𝐶M

=45°，∴△

𝑁′𝐶M

为等腰直角三角形，∴CM=𝑁′M

=2。故答案为：2。【分析】如图所示，以

BD

为对称轴作

N

的对称点

𝑁′

，连接

𝑃𝑁′

，根据对称性质可知，

𝑃𝑁=

𝑃𝑁′

，

𝑃M−𝑃𝑁′

≤

M𝑁′

，当

𝑃,M,𝑁′

三点共线时，取“=”，根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质算出

AC的长，根𝐵M𝐶M

𝐶𝑁′𝐴𝑁′据正方形的对角线互相平分及线段中点的定义得出𝑂𝑁′

=𝑂𝑁=

2

2

，故

𝐴𝑁′

=6

2

，进而求得 = =1，然后判断出

PM∥AB∥CD，∠

𝐶M𝑁′

=

90°，故△

𝑁′𝐶M

为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得3出CM=𝑁′M

=2。18．如图，在四边形

ABCD

中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接

AC．若

AC=6，则四边形

ABCD

的面积为

．【答案】18【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质【解析】【解答】如图，作

AM⊥BC、AN⊥CD，交

CD

的延长线于点

N；∵∠BAD=∠BCD=90°∴四边形

AMCN

为矩形，∠MAN=90°；∵∠BAD=90°，∴∠BAM=∠DAN；在△ABM

与△ADN

中，∠𝐵𝐴M=

∠𝐷𝐴𝑁∠𝐴M𝐵=∠𝐴𝑁𝐷

，𝐴𝐵=

𝐴𝐷∴△ABM➴△ADN（AAS），∴AM=AN（设为

λ）；△ABM

与△ADN

的面积相等；∴四边形

ABCD

的面积=正方形

AMCN

的面积；由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而

AC=6；∴2λ2=36，λ2=18，故答案为：18．【分析】作

AM⊥BC、AN⊥CD，交

CD

的延长线于点

N；

由已知条件可以判断出四边形

AMCN

为矩形；根据矩形的性质和已知条件可以证明△ABM➴△ADN（AAS）；由全等三角形的性质得出

AM=AN（设为

λ）；从而得出四边形

ABCD

的面积=正方形

AMCN

的面积；由勾股定理AC2=AM2+MC2得出

λ2=18.三、解答题19．如图，在四边形

ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E

是边

BC上一点，且

DE＝DC.求证：AD＝BE.【答案】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形

ABED

是平行四边形.∴AD＝BE.【知识点】平行四边形的判定与性质【解析】【分析】利用已知先证明

AB∥DE，进而根据平行四边形的定义：两组对边平行的四边形是平行四边形，即可得出结论.20．如图，在正方形

ABCD

中，E，F

分别为边

AD

和

CD

上的点，且

AE=CF，连接

AF，CE交于点

G．求证：AG=CG．【答案】证明：∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠ADF=CDE=90°，AD=CD．∵AE=CF，∴DE=DF，𝐴𝐷=

𝐶𝐷在△ADF和△CDE

中 ∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐶𝐷E

，𝐷𝐹=

𝐷E∴△ADF➴△CDE（SAS），∴∠DAF=∠DCE，∠𝐺𝐴E=

∠𝐺𝐶𝐹在△AGE和△CGF

中， ∠𝐴𝐺E=∠𝐶𝐺𝐹

，𝐴E=

𝐶𝐹∴△AGE➴△CGF（AAS），∴AG=CG．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质【解析】【分析】由正方形的性质得出∠ADF=CDE=90°，AD=CD．结合已知条件得到△ADF➴△CDE（SAS），根据全等三角性质得出∠DAF=∠DCE；从而推出△AGE➴△CGF（AAS），依据全等三角性质得出

AG=CG．21．问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC

关于直线

AC

对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形

ABCD

中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边

BC、CD

上分别存在点

G、H，使得四边形

EFGH

的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材

ABCD，AB=3

米，AD=6

米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形

EFGH

部件，使∠EFG=90°，EF=FG= 5

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点

E、F、G

分别在边

AD、AB、BC

上，且

AF＜BF，并满足点

H

在矩形

ABCD

内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形

EFGH

部件？若能，求出裁得的四边形

EFGH

部件的面积；若不能，请说明理由．【答案】（1）解：如图

1，△ADC

即为所求；（2）解：存在，理由：作

E

关于

CD

的对称点

E′，作

F

关于

BC

的对称点

F′，连接

E′F′，交

BC

于

G，交

CD

于

H，连接

FG，EH，则

F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形

EFGH

的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2 5

，∴四边形

EFGH

的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=25

+10，∴在边

BC、CD

上分别存在点

G、H，使得四边形

EFGH

的周长最小，最小值为

2 5

+10；（3）解：能裁得，理由：∵EF=FG= 5

，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，∠1=

∠2在△AEF

与△BGF

中， ∠𝐴=∠𝐵，E𝐹=

𝐹𝐺∴△AEF➴△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设

AF=x，则

AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（ 5）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接

EG，作△EFG

关于

EG

的对称△EOG，则四边形

EFGO

是正方形，∠EOG=90°，以

O

为圆心，以

EG

为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O

上，连接

FO，并延长交⊙O

于

H′，则

H′在

EG

的垂直平分线上，连接

EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形

EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C

在线段

EG

的垂直平分线设，∴点

F，O，H′，C

在一条直线上，∵EG= 10

，∴OF=EG= 10

，∵CF=2 10

，∴OC= 10

，∵OH′=OE=FG= 5

，∴OH′＜OC，∴点

H′在矩形

ABCD

的内部，∴可以在矩形

ABCD

中，裁得符合条件的面积最大的四边形

EFGH′部件，2 22这个部件的面积=1

EG•FH′=

1

× 10

×（ 10

+ 5）=5+52

，∴当所裁得的四边形部件为四边形

EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+

5

2

）2m2．【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，存在性问题，掌握的作出辅助线利用对称的性质解决问题是解题的关键．（1）作

B

关于

AC

的对称点

D，连接

AD，CD，△ACD

即为所求；（2）作

E关于

CD的对称点

E′，作

F关于

BC

的对称点

F′，连接

E′F′，得到此时四边形

EFGH

的周长最小，根据轴对称的性质得到

BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，于是得到

AF′=6，AE′=8，求出

E′F′=10，EF=2 5

即可得到结论；（3）根据余角的性质得到

1=∠2，推出△AEF➴△BGF，根据全等三角形的性质得到

AF=BG，AE=BF，设

AF=x，则

AE=BF=3﹣x

根据勾股定理列方程得到

AF=BG=1，BF=AE=2，作△EFG关于

EG

的对称△EOG，则四边形

EFGO

是正方形，∠EOG=90°，以

O为圆心，以

EG

为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接

FO，并延长交⊙O

于

H′，则

H′在

EG

的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，于是得到四边形

EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．22．问题提出：（1）如图

1，已知△ABC，试确定一点

D，使得以

A，B，C，D

为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图

2，在矩形

ABCD

中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点

P

到点

A

的距离；问题解决：（3）如图

3，有一座草根塔

A，按规定，要以塔

A

为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区

BCDE。根据实际情况，要求顶点

B

是定点，点

B

到塔

A

的距离为

50

米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区

BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形

BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔

A

的占地面积忽略不计）【答案】（1）解：如图所示，有三个符合条件的平行四边形；（2）解：如图，∵AB