人教A版高中数学必修第二册第十章概率课时练汇编

Chapter10

第十章概率

10.1随机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件

【学习目标】1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间2了解随机事件的

有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.

知识梳理梳理教材夯实基础

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------

知识点一随机试验

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母及表示.

我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行:

(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;

(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

知识点二样本空间

我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的桂

本空间,一般地，用。表示样本空间，用。表示样本点，如果一个随机试验有〃个可能结

果3”0)2,•••,3,”则称样本空间M，…，0")为有限样本空间.

知识点三随机事件、必然事件与不可能事件

1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,为了叙

述方便，我们将样本空间Q的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事

件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.

2.Q作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以。总

会发生，我们称Q为必然事件.

3.空集g不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为。为不可能事件.

■思考辨析判断正误

1.对于随机试脸，当在同样的条件下重复进行试验时，每次试验的所有可能结果是不知道的.

2.连续抛掷2次硬币，该试脸的样本空间Q=｛正正，反反，正反｝.(X)

3.“已知一个盒中装有4个白球和5个黑球，从中任意取1个球，该球是白球或黑球”，此

事件是必然事件.(V)

4.“某人射击一次，中靶”是随机事件.(V)

题型探究探究重点素养提升

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一、样本空间的求法

例1写出下列试验的样本空间：

(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；

(2)从含有两件正品0,。2和两件次品加，的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；

(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情

况.

解⑴该试验的样本空间。尸｛3,4,5,…,18｝.

(2)该试验，所有可能的结果如图所示，

因此,该试验的样本空间为。2={ai42,a\b\,a\bi,aib\,a-Joy,bibi].

(3)如图,

红

红F

黄

黄

红T

蓝

蓝

红

红r

黄

黄

蓝一黄t

蓝

蓝

红

r红

黄

黄

蓝T

蓝

蓝

用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为。3={(1,1,1),(1,1,2),

(1,1,3)，(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),

(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),

(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3)}.

延伸探究

本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？

解如图,

所以样本空间为。4={(0,41),31,S),(。1,(02,S),(。2,02),(02,bl),

(42,5)，Si,ill),01,42),(bl,hi),Si,bl),(Z>2,©),(b2,g),(厉，bt),(厉，b^}.

反思感悟写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法

⑴列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按

一定的顺序，要做到不重不漏.

(2)列表法：适用于试脸中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的

求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对"，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、

不易遗漏.

(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结

果可以用树状图进行列举.

跟踪训练1写出下列试验的样本空间：

(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况;

(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.

解(1)如图,

设甲、乙、丙、丁分别为123,4,

所以样本空间。|={(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,2,3),(1,4,3,2),(2,1,3,4),

(2,1,4,3),(2,3』,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3,1),(3,1,2,4).(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),

(3,4,1,2),(3,4,21),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,1,3),(4,2,3,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)}.

(2)设正品为H,次品为T,

样本空间Q2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,777}.

二、随机事件的表示

例2试验E：甲、乙两人玩出拳游戏（锤子、剪刀、布），观察甲、乙出拳的情况.

设事件A表示随机事件“甲乙平局

事件8表示随机事件“甲扁得游戏”；

事件C表示随机事件“乙不输”.

试用集合表示事件A,B,C.

解设锤子为Ml,剪刀为W2,布为切3,用力表示游戏的结果，其中，表示甲出的拳，/

表示乙出的拳，则样本空间E=｛O1,Wt）,（Wl,W2）,（Wl,W3）,（W2,Wl）,（W2,W2）,（S,

W3）,（W3,Wl）,（W3,102）,（W3,W3））.

因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，

则满足要求的样本点共有3个：（幼，W|）,（W2.W2）,（W3,5）,

事件A=｛（犯，W1）,（W2,W2）,（W3,g）｝.

事件8表示“甲赢得游戏”，

则满足要求的样本点共有3个：（助，W2）,侬2,g）,（g,幼），

事件8=｛（助,W2）,（W2,W3）,（W3,W1）｝.

因为事件C表示“乙不输”，

则满足要求的样本点共有6个，

（W|,W|）,（W2,102）,（Z03,W3）,（"2,W|）,（W\,W3）,（W3,W2）,

.,.事件C=｛（U>1,Wl）,（W2,W2）,（W3,W3）,（Wl,W3）,（W2,Wl）,（W3,W2））.

反思感悟对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些

样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.

跟踪训练2如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心。这5个点中，任取两点观察取

点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件机

AB

DC

解M=｛AB,AO,AD,BC,BO,CD,CO,DO].

三、随机事件的含义

例3在试验氏“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随

机事件的含义：

（1）事件4=｛（1,3）,（2,3）,（3,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）｝：

（2）事件B=｛（1,5）,（5,1）,（2,4）,（4,2）,（3,3）｝；

（3）事件C=｛（1,3）,（3,1）,（4,2）,（2,4）,（3,5）,（5,3）,（4,6）,（6,4）｝.

解（1）事件A中所含的样本点中的第二个数为3,根据样本空间知第二个数为3的样本点

都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.

(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6,且样本空间中两数和为6的样本点都在事

件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.

(3)事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2,且样本空间中两个数差的绝对值为2

的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之

差的绝对值为2.

反思感悟解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才

能确定随机事件的含义.

跟踪训练3柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用4,A2,BI，Bi，Ci，C2分别表示

3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.

(l)A/={A1B1,A182，A1C2，A2S，A2&,A2C1»A2c2，B\C\)81c2，&G，82c2};

(2)N={4B”BC，AC}；

(3)P—{AIB2＞A1C2，,A2C1,B1C2，BzC\}.

解(1)事件M的含义是''从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.

(2)事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.

(3)事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右

脚的，但不成双”.

随堂演练基础巩，固学以致用

-----------------、-----

1.下列事件是必然事件的是()

A.从分别标有数字123,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签

B.函数)，=10&“(4＞0且aWl)为增函数

C.平行于同一条直线的两条直线平行

D.随机选取一个实数x,得2'＜0

答案C

解析A.是随机事件，5张标签都可能被取到；B.是随机事件，当。＞1时，函数y=log〃为

增函数，当0＜。＜1时，函数y=1ogd为减函数；C.是必然事件，实质是平行公理；D.是不可

能事件，根据指数函数＞=2,的图象可得，对任意实数x,2，＞0.

2.集合A={2,3},B={1,2,4},从A,B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事

件的个数为()

A.8B.9C.12D.11

答案D

解析从析B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43,共11个.

3.元旦期间，小东和爸爸、妈妈外出旅游，一家三口随机站成一排，则小东恰好站在中间的

站法种数为（）

A.2B.3C.4D.5

答案A

4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用（x,y,z）表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝

上“，则知=.

答案｛（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）｝

解析试验的样本空间为｛（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正

反），（反反正），（反反反）｝,则加=｛（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反

反正）｝.

5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M=｛（2,6）,（3,5）,（4,4）,（5,3）,（6,2）｝,则事件M的

含义是.

答案抛骰子两次，向上点数之和为8

■课堂小结

1.知识清单：

（1）随机试验.

（2）样本空间.

（3）随机事件.

2.方法归纳：列表法、树状图法.

3.常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.

课时对点练注重双基强化落实

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京基础巩固

1.下列事件中不可能事件的个数为（）

①抛一石块下落；

②如果cob,那么a-b>0；

③没有水分，种子能发芽；

④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；

⑤在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化.

A.lB.2C.3D.4

答案B

解析①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件.

2.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空

间为（）

A.{10,ll,…，99}B.{1,2,…，18)

C.{O,1,…，18}D.{1,2,…，10}

答案B

解析由题意可知，该试验的样本空间为{1,2,…，18}.

3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事

件M含有的样本点个数为()

A.2B.4C.6D.8

答案B

解析设5名学生分别为甲'乙、丙、丁、戊，则知={甲乙，甲丙，甲丁，甲戊},含

有4个样本点.

4.从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为()

A.10B.15C.20D.25

答案C

解析把5人分别记为A,B,C,D,E,用x表示正班长，y表示副班长，则样本点用(x,

y)表示，B),(A,0,(A,D),(4,E),(B,A),(B,C),(B,D),(B,E),(C,

A),(C,B),(C,D),(C,E),(D,A),(D,B),(D,Q,(D,E),(E,A),(E,B),(E,

0,(E,0},故共有20个样本点.

5.从分别写有1,2,345的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2

张数字，设抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数为事件Q,则事件Q含有的样

本点个数为()

A.8B.10C.llD.15

答案B

解析如下表所示，表中点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.

12345

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)

则＜={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}.

所以。中含有10个样本点.

6.己知4={-1,0,1},8={1,2},从A,8中各取一个元素分别作点的横坐标和纵坐标，则该

试验的样本空间Q为.

答案{(-1,1),(-1,2),(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)}

7.从100个同类产品中(其中2个次品)任取3个.

①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少有一个

次品；⑥至少有一个正品.

其中必然事件是,不可能事件是,随机事件是.

答案⑥④①②③⑤

解析从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个

次品”“一个正品两个次品”.

8.从2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为a,b,用他，份表示该试验的样本点，则事件

“log,#为整数”可表示为.

答案{(2,8),(3,9)}

解析只有log28=3,log39=2为整数.

9.某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为0,1,2,3四个小球(除编

号不同外，其他完全相同)的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若

取出的两个小球的编号的和等于6,则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.

(1)写出试验的样本空间Q；

(2)设随机事件A为“抽中三等奖”，随机事件B为“抽中奖”，试用集合表示事件A和区

解(1)。={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),

(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)}.

(2)4={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)},

8={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(2,3),(3,2),(3,3)}.

10.某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表：

一年级二年级三年级

男同学ABC

女同学XYZ

现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).

⑴写出该试验的样本空间Q;

(2)设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学，试用集合表示

M.

解(1)Q={AB,AC,AX,AY,AZ,BC,BX,BY,BZ,CX,CY,CZ,XY,XZ,YZ}.

(2)M={AKAZ,BX,BZ,CX,CY}.

土综合运用

11.(多选)给出关于满足A8的非空集合A,B的四个命题，其中正确的命题是()

A.若任取xdA,则xdB是必然事件

B.若任取KA,则xd8是不可能事件

C.若任取xGB,则xGA是随机事件

D.若任取则依4是必然事件

答案ACD

12.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a,b,设事件M为“方程af+Zzx

+1=0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为()

A.6B.17C.19D.21

答案C

解析将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为。和6,

,/方程ax1+bx+1=0有实数解，

."=从一4心0,

则知={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,4),

(4,5),(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共含19个样本点.

13.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保

证在第上次或第人次之前一定能摸出红球，则上的最小值为()

A.10B.15C.16D.17

答案C

解析摸完黑球和白球共需15次，则第16次一定能摸出红球.

14.写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数.

答案(1)0={胜，平，负}⑵a={0,123,4)

解析(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果.

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4,不能再有其他

结果.

力拓广探究

15.将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任

取1个，观察取到的小正方体的情况，则事件8为“从小正方体中任取1个，恰有两面涂

有颜色”，那么事件B含有个样本点.

答案12

解析每条棱的中间位置上有一个是两个面涂有颜色的小正方体，共12个.

16.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现着人类追求均衡对称、和谐稳定的天性.

如图所示，三个汉字可以看成轴对称图形.

小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计了一个游戏，规则如下：将这三个汉字分

别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若

两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）,则小敏获胜，否则小

慧获胜.

（1）写出该试验的样本空间。；

（2）设小敏获胜为事件A,试用样本点表示A.

解（1）每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示：

第二张卡片

第一张篙土口木

土（土，土）（土，口）（土，木）

口（口，土）（口，口）（口，木）

木（木,土）（木，口）（木，木）

二。=｛（土，土），（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木），（木，土），（木，口）,

（木，木）｝.

（2）能组成上下结构的汉字的样本为（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）.

；.A=｛（土，土），（口，口），（木,口），（口，木）｝.

10.1.2事件的关系和运算

【学习目标】1.理解事件的关系与运算2通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的

概念.

知识梳理梳理教材夯实基础

知识点一事件的关系

定义符号图示

一般地，若事件A发生，则事

包含

件B一定发生，称事件B包含

关系咨

事件A（或事件A包含于事件B）

相等如果事件B包含事件A,事件

A=B

关系A也包含事件B,即B2A且An

28,则称事件A与事件8相

等

知识点二交事件与并事件

定义符号图示

一般地，事件A与事件B至少有一个发

生，这样的一个事件中的样本点或者在

并事件AUB

事件4中，或者在事件B中，我们称这

（或和事件）（或A+8）Q

个事件为事件A与事件B的并事件（或和

事件）

一般地，事件A与事件8同时发生，这

样的一个事件中的样本点既在事件A

交事件AHB

中，也在事件8中，我们称这样的一个

（或积事件）（或CZHD

A8）Q

事件为事件A与事件B的交事件（或积事

件）

知识点三互斥事件和对立事件

定义符号图示

一般地，如果事件A与事件B不能同时

发生，也就是说ACB是一个不可能事

互斥事件4n3=0

件，即AA8=0,则称事件A与事件8a

互斥（或互不相容）

一般地，如果事件A和事件B在任何一

次试验中有且仅有一个发生，即4UB=AUB=Q

对立事件

0,且AC1B=。，那么称事件A与事件B

互为对立，事件A的对立事件记为工

■思考辨析判断正误

1.若A,B表示随机事件，则4n8与AU8也表示事件.（V）

2.若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件.（X）

3.若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件.（V）

4.若事件4与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生.（X）

题型探究探究重点素养提升

一、互斥事件和对立事件的判断

例1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件8为“至少订

一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件。为“不订甲报”，事件E为“一种报也不

订”.判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件.

(1)4与C；(2)8与E；(3)5与£＞；(4)5与C；(5)C与E.

解(1)由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件4与事件C有可能同时发生，

故4与C不是互斥事件.

(2)事件8"至少订一种报”与事件一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E

是互斥事件.由于事件8和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件.

(3)事件8"至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，

事件。也可能发生，故B与。不是互斥事件.

(4)事件8"至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”，“只订乙报”，“订甲、乙两种

报”.事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙

报”.即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件.

(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E

可能同时发生，故C与E不是互斥事件.

反思感悟判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试脸中能否同时发生，若不能

同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件：判断两

个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能

同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一

个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.

跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互

斥而不对立的是()

A.至少有一个红球与都是红球

B.至少有一个红球与都是白球

C.至少有一个红球与至少有一个白球

D.恰有一个红球与恰有两个红球

答案D

解析根据互斥事件与对立事件的定义判断.A中两事件不是互斥事件，事件''三个球都是

红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如''恰有一个

红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件.

(2)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方

向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是()

A.互斥但非对立事件B.对立事件

C.非互斥事件D.以上都不对

答案A

解析由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但

不是对立事件.

二、事件的运算

例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件。=｛出现1点｝,事件C2=｛出现

2点｝,事件C3=｛出现3点｝,事件。4=｛出现4点｝,事件C5=｛出现5点),事件C6=｛出

现6点｝,事件A=｛出现的点数不大于1｝，事件。2=｛出现的点数大于3｝,事件。3=｛出

现的点数小于5｝,事件E=｛出现的点数小于7｝,事件尸=｛出现的点数为偶数｝,事件G=

｛出现的点数为奇数｝,请根据上述定义的事件，回答下列问题：

(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件：

(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.

解(1)因为事件G,。2,C3,C4发生，则事件。3必发生，所以GUDa,C3ao3,

C4U5.

同理可得，事件E包含事件Ci,C2,C3,C4,Cs,C6；事件。2包含事件C4,C5,C6；事件

产包含事件C2,C4,C6；事件G包含事件Cl,C3,c5.

且易知事件Ci与事件。［相等，即Ci=2.

(2)因为事件£>2=｛出现的点数大于3｝=｛出现4点或出现5点或出现6点),

所以D2=C4UC5UC6(^D2=C4+C5+C6).

同理可得，

£>3=CI+C2+C3+C4,E=CI+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C,+

C3+C5.

反思感悟事件间运算方法

(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结

果进行事件间的运算.

(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这

些结果在图中列出，进行运算.

跟踪训练2抛掷相同硬币3次，设事件A=｛至少有一次正面向上｝,事件B=｛一次正面向

上，两次反面向上｝,事件C=｛两次正面向上，一次反面向上｝,事件。=(至少一次反面向

上｝,事件E=｛3次都正面向上｝.

(1)试判断事件A与事件B,C,E的关系；

(2)试求事件4与事件Z)的交事件，事件B与事件C的并事件，并判断二者的关系.

解(l)BUA,CUA,EQA,且4=B+C+E.

(2)4。。=｛有正面向上，也有反面向上｝,8UC=｛1次正面向上或2次正面向上｝,AHD=

BUC.

三、随机事件的表示及含义

例3设4,B,C表示三个随机事件，试将下列事件用4B,C表示出来.

(1)三个事件都发生；

(2)三个事件至少有一个发生；

(3)4发生，B,C不发生；

(4)4,8都发生，C不发生；

(5)4,B至少有一个发生，C不发生：

(6)4,B,C中恰好有两个发生.

解(l)ABC(2)AUBUC(3)A~B~C(4)AB~C(5)(AUB)~C(6)AB~CUA~BCUT

BC

延伸探究

本例条件不变，试用4,B,C表示以下事件.

(1)三个事件都不发生：

(2)三个事件至少有两个发生.

解(1)T~B~CQMBCUABT7UA石CU^BC(或A8UBCUAO

反思感悟清楚随机事件的运算与集合运算的对应关系有助于解决此类问题.

符号事件的运算集合的运算

A随机事件子集

TA的对立事件A的补集

AB事件A与8的交事件集合4与8的交集

AUB事件A与8的并事件集合4与B的并集

跟踪训练35个相同的小球，分别标上数字1,2,345,依次有放回的抽取两个小球.记事件

A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”，事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有

一个是偶数”，事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”，试用集合的形式表示A,B,

c,AQB,~An~c,Tnc.

解总的样本空间为。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(5,5)},

A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),

(5,4),(5,5)},

8={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(4,5),(5,2),(5,4)},

C={(1,1),(1,3).(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}.

ACB={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)},

Tn-C={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)},

~Bnc={(l,l),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5』)，(5,3),(5,5)).

随堂演练基础巩固学以致用

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1.某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件8为“击中环数大于4”，事件C

为“击中环数不小于4”，事件力为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是()

A.A与B为对立事件

B.8与C为互斥事件

C.C与D为对立事件

D.B与D为互斥事件

答案D

2.抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则4的对立事件为()

A.至多有2件次品B.至多有1件次品

C.至多有2件正品D.至少有2件正品

答案B

解析至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件.共9种结果，故它的对立事件为含有1或0

件次品，即至多有1件次品.

3.设M,N,尸是三个事件，则M,N至少有一个不发生且尸发生可表示为()

A.(而'uH)PB.(~MW)P

C.(~MuW)upD.(77MU(MH)

答案A

4.甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A,B,则ABUAB表示的

含义是,事件“密码被破译”可表示为.

答案只有一人破译密码~ABUA~BUAB

5.从0,123,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，

事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件ACB用样本点表示为.

答案{10,20,30,40,50,32,42,52,54}

-课堂小结

1.知识清单：

(1)事件的包含关系与相等关系.

(2)交事件和并事件.

(3)互斥事件和对立事件.

2.方法归纳：列举法、Venn图法.

3.常见误区：互斥事件和对立事件之间的关系易混淆.

课时对点练--------注--重-双-息强、-化-落--实

X基础巩固

1.下列各组事件中，不是互斥事件的是()

A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班级期中考试数学成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分

C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒

D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%

答案B

2.许洋说：“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为()

A.至多做完三套练习题B.至多做完二套练习题

C.至多做完四套练习题D.至少做完二套练习题

答案B

解析至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6,…套练习题，故它的对立事件为做完0,1,2套

练习题，即至多做完2套练习题.

3.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲

分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()

A.对立事件B.相等

C.互斥但不对立事件D.以上说法都不对

答案C

解析因为只有1张红牌，所以这两个事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件；但这两

个事件并不是必有一个发生，所以它们不是对立事件.

4.向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件A表示两次点数之和小于10,事件B表示两次点数

之和能被5整除，则事件工8用样本点表示为()

A.{(5,5)}B.{(4,6),(5,5)}

C.{(6,5),(5,5)|D.{(4,6),(6.4),(5,5))

答案D

5.设A,B为两事件，则(AUB)(了U石)表示()

A.必然事件B.不可能事件

C.A与B恰有一个发生D.A与8不同时发生

答案C

解析AUB表示事件A,B至少有1个发生，石表示事件A,8至少有一个不发生，

.,.(AUB)(TU石)表示A与B恰有一个发生.

6.设某随机试验的样本空间Q={0』,2,3,4,5,6,7,8},A={2,3,4},B={3,4,5},C={5,6,7}.则：

(1)4UB=；

(2)TAB=；

(3)An(BDC)=.

答案(1){2,3,4,5}(2){5}(3)0

7.在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三

学生，事件C表示该生是运动员，则事件AB下的含义是.

答案该生是大三男生，但不是运动员

8.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、

物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则事件取出的是理科书可记为.

答案BUDUE

解析由题意可知事件”取到理科书”可记为BUDUE.

9.从某大学数学系图书室中任选一本书.设4={数学书};8={中文版的书};C={2000年后

出版的书}.问：

(l)ACBC下表示什么事件？

(2)在什么条件下有AA80C=A?

(3)如果N=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？

解(1)4ABC下={2000年或2000年前出版的中文版的数学书).

(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A