高考调研人教版数学理课件配套练习

第7课时

空间向量的应用(一)平行与垂直2011·考纲下载

1．能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直．

2．理解直线的方向向量与平面的法向量．

3．能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立几中的作用.请注意！本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择、填空题型式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题.课前自助餐课本导读1．直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数多个．2．平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的．3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)．如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；若l⊥α，则u∥n⇔u＝kn⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)；平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)

若α1∥α2，则u1∥u2⇔u1＝ku2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)若α1⊥α2，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.教材回归答案A答案D答案A答案B答案B解析方法一：如下图甲所示，连结A′B，AB′，AF，DE易知A′B是D′E在平面ABB′A′上的射影．∵AB′⊥A′B，∴D′E⊥AB′.又由BE＝CF，知EC＝FD，而AD＝CD，∴Rt△DCE≌Rt△ADF.∴∠EDC＝∠FAD.而∠EDC＋∠EDA＝90°，∴∠FAD＋∠EDA＝90°，从而AF⊥DE.又易知DE是D′E在底面ABCD上的射影，∴D′E⊥AF.综上，知D′E⊥平面AB′F，从而D′E⊥B′F.

题型一证明平行关系授人以渔探究1(1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可．

(2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向向量与平面法向量垂直．

(3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相垂直来证．(2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.题型二证明垂直关系探究2

(1)要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是证明线面垂直，面面垂直的基础．(2)证明线面垂直，可利用判定定理．如本题解法，也可证明此直线与平面的法向量共线．(3)用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直．题型三平行、垂直的综合问题例3如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求证：B1F⊥平面AEF.探究3

(1)证明线面平行须证明线线平行，只须证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行．可用传统法也可用向量法．用向量法更为普遍．(2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明．(3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明．

用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：(1)