人教A版高中数学必修5全册课时练习

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1.1.1正弦定理第1课时

1.若△4%'中，a=4,4=45°,6=60°,则边6的值为（）

A.乎B.水

C.2#D.476

【答案】C

4X平

a______b__asinB4Xsin600

【解析】在△/a'中，由得仁=正=2在

sinAsinEsinAsin45°

2

2.在△能7中，若a=5,6=3,c=7,则sin4：sin6的值是（）

53

A,3B,5

35

C.-D.-

【答案】A

inA35

【解析】在△/欧中，由正弦定理得一

sinBb3

...“sinAcosB、

3.在△4%中，若-----,则N8的值为（z）

ab

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【答案】B

•sinBcosB.„.„人

【解析】・-----=-;-=-;-，..cosB=sinB,从而tan5=1•°<i?<180°,

abb

・・・3=45°.

4.以下关于正弦定理的叙述或变形中，错误的是（）

A.在△46。中，a'.b\c=sinA*sinB\sinC

B.在中，若sin2J=sin2B,则4=3

.,ab+c

C.在△A?!%中，一-TV―—7

smAsm/十sinC

D.在△/比中，正弦值较大的角所对的边也较大

【答案】B

【解析】对于B,若sin24=sin26,贝24=26或24=n—26,即4=6或4+6=5,

•••B选项错误.

3a

5.在△血中，角48的对边分别为a,6且22hsin8飞，则泊值是()

34

A.B.

55

由正弦定理得AsinAsin2B

sinBsinB

2sinBcosB8_

sin8=2cosB=g,故选D.

6.若勿中，4C=小,4=45°,C=75°,则%的值为.

【答案】小

【解析】；4C=#,力=45°,仁75°,8=180°一4一「=60°,...由正弦定理」■

vsin

BC―勿AC9sinA

行1，可得

2

7.根据下列条件，解三角形.

(口△/%中，已知8=/，3=60°,c=l；

(2)/\/仇?中，已知°=/，4=45°,a=2.

【解析】⑴由正弦定理，得sinC=^•sin."=30。或。=150。.

\9A+B+C=180°,故C=150°不合题意，舍去.

.•・力=90°,a=y]If+c=2.

c•sin力_msin450_2^3

(2)由正弦定理，得sinC='a~=2=2•

・・・。=60°或C=120°.

csinBMin75。

当C=60°时，8=75°b=;=4+l.

sinCsin60°

csinByj&sin15°

当。=120°时，3=15°，b=

sinCsin120°

，6=/+l,6=75°,C=60°或b=小T,315°,0=120°.

8.在△村•中，角4B,。所对的边分别为a,b,c且C=24tanA=±~,a+c=5.

J

(1)求sinA,cosA；

⑵求〃

【解析】(D'ltan」=s"?=坐'Ksin:'/+cos2/4=l,

cosA3

y[73

Asincos/=[.

、asinAsinA12

(z2)—=-----=------=------=一，

csinCsin2A2cosA3

又w+c=5,:.a=2,c=3,

sinC=2sin4cos仁平

cosC=2cos2J—1=~,/.sin8=sin(/+0=sinJcosC

oo

一八巾1,33s5s

484816

ab.asinB5

sinAsinK'•sinA2"

9.在△力比、中，角力，B,。所对的边分别为a,b,c.若acosn=6sin8,则sin力cos

J+COS2T?=()

11

AB

-2-2-

C.-1D.1

【答案】D

【解析】VacosA=bsinB,Asin/cosA=six\B=1—cos'B.:.sin/Icos/+cos'8

=1.

10.设a,b,c分别是中N4ZB,NC所对边的边长，则直线xsinA+ay+c

=0与方x—ysin6+sin。=0的位置关系是（）

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

【答案】C

【解析】：％=一也必，在=」4，•为=-1....两直线垂直.

asinb

11.在△/6C中，a=x"=2,8=45°,若该三角形有两个解，则x的取值范围是.

【答案】(2,2m)

【解析】已知a=x,8=2,8=45°,若该三角形有两个解，则asinB<b<a,即xsin

45°<2<x,解得2〈水

12.在中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,已知6=3嫡，sin6=cosA

平，6为钝角.

(1)求a的值;

(2)求cosC的值.

【解析】⑴在△/!况1中，：cos4=雪

坐

Asincos2A=

.3.X坐

ab得片如上/=--尸二=3

由，

sinAsinS借sinB查士

3

⑵为钝角,

/.cosB=—yj1—sin2^—

3.

T7.」“亚.，’

乂sinQcossinA—V3

o3

r

cos6'=cos兀一(4+0]=-cos(4+@=-cosA•cos夕+sin/sinB=

o

LI.1正弦定理第2课时

1.在中，sin4=sinC,则△4%7是()

A.直角三角形B.等腰三角形

C.锐角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】由正弦定理知sinzl=sinC^a=c,故笫为等腰三角形.

2.已知△48。的面积为4且a=4,6="^,则sinC=()

A/31

A.~~B.-

C.坐D.小

【答案】A

【解析】由已知，得4=<X4X#^XsinC,Asin

乙j乙

3.在中,内角4B,C的对边分别为a,b,c,a=3*,b=2小,cosC=L

o

则△/!眩的面积为（）

A.3小B.2小

C.4y/3D.小

【答案】C

【解析】•；cosc=^,AsinC=yJ1-cos2C=^^-.又a=3m,b=2小,SAMC=〈

O04

ateinC=！X3巾X2小X萍=4小.故选C.

乙o

4.在△?!比1中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若a=l,N8=45°,的面

积S=2,则c-,

【答案】472

【解析】Tan,N6=45°,根据三角形的面积公式可得5=|acsin8=91义坐c

—2,c—4y[2.

5.在△四。中，6=60°,最大边与最小边之比为(小+1)：2,则最大的角度数为

【答案】75。

z»sinC

【解析】设C为最大角，则/为最小角，什。=120。，.•.-=「；=

asmA

sin1200cosH——cos120°sinH#cosJ,1J3,1.cosA

^Tl+2=2+?1.tanA=l./.

sinA2*,sinA

J=45°,0=75°.

6.已知△力比'中，角4B,。的对边分别为a,b,。且asin仆/ccosA.

(D求角A；

(2)若。=2,△力为。的面积为十，求a

【解析】(1)由asinC=y[3ccos力及正弦定理得sin力sinC=，§sin6cosA.

VsinOO,；・上式可化为tanA=y[3,・••力=7.

⑵由心侬・=/得孤sin4二小,

将6=2,力=2代入，解得c=2.

为正三角形，Aa=2.

7.在△EBC中,若sin/=2sin&osC且sinMusinW+sin’C,试判断三角形的形状.

【解析】B,。是三角形的内角，一(8+0.

sin/=sin(6+0=sinBcosC+cosZfein6—2sinBcosC.

/.sinBcosC-cosj?sinC=0,/.sin(5—0=0.

又0<6Vn,0<C<Jt,n<B~C<n,:.B=C.

又sin'/4=sinJj?+sin,iG

.•.才=62+5,，力是直角.

.♦.△/SC是等腰直角三角形.

8.中，a,b,c分别为角4B,C所对边的长，acos6=1,bsin4=点,A-B

(1)求a的值；

⑵求tanA的值.

【解析】(1)由正弦定理知，bsin4=asinB=y[2t

又acosB—1,

(asinS)~+(acos&2=3.

Vsin2i?+cos25=l,・・・d=/(舍去负值).

(2)'"啦,即tanB=y12f

cosBN'

nJI

*/A~B=—,A=B+—.

44

JI

(兀、tanB+tan—r-

/.tanJ=tanf--------------------=-----3—2^/2.

1—tan仇an—

4

3

9.在△/阿中，sin力=彳，a=10,则边长。的取值范围是()

B.(10,+8)

D.(0,10)

【答案】c

3@c

【解析】...在中,sinJ=?a=l。，，由正弦定理京=「得。

lOsinC40的取值范围是[(。，引40].故选

=-3-=TsinC,V0<sin2,.♦•cC.

4

10.在△4比中，若方=1,c=木,/a等，则a=.

O

【答案】1

【解析】在△城中，由正弦定理，得七二-^,解得sin34，因为X0

sm3

JIJI

故角6为锐角，所以4不，则仁石,即a=6=l.

3

11.在△/比中，内角儿B,。所对的边分别为a,b,c,已知cos2J+-=2cosA.

(1)求角力的大小；

(2)若a=l,求△力比的周长/的取值范围.

【解析】(1)2COS2J+^-=2COSA,

即4cos‘4一4cos4+1=0,

/.(2cos力-1)2=0,cosJ

V0<J<JI,：.A=—

J

(2)；a=l,

Q]jc22

.•・根据正弦定理-­；7>=~'7。得b—质sinB,c—/~sinC.

sinAsinBsinCU3U3

2

；・/=l+6+c=l+-7=:(sin8+sin0).

2”

：.B+C=—

o

'2n2n

sin6+sinB\=l+2sinvo<^<—,A7e(2,3].

o

1.1.2余弦定理

1.在△/%'中，a?等于（）

A.a+/?'—2aAcosCB.+c2—2AcsinC

C.a+c2-2accosBD.62+c2—2Z,ccosA

【答案】D

【解析】利用余弦定理的定义判断即可.

2.在△/8C中，角4B,C的对边a,b,c满足//+1=@2+且6c=8,则△/以

的面积等于（）

A.2小B.4

C.473D.8

【答案】A

/一o2hr1

【解析】b'+c=a~+bc,可得Z/+c'一/=历，.'.cosA--------=yr-=-VJe

2be2be2

n11yfip-

（0,n）,：.A=—,••・区候=加竞逐力=5><8义-^-=243.故选人.

o乙乙乙

3.如图，在△49。中，点〃在〃'上，ABLBD,BC=3/,BD=5,sin/4?C=乎，则

切的长度等于（）

5陶晶卜•

A.4B.5

C.4A/2D.572

【答案】A

【解析】由题知sin//6C=¥^=sing+NM）=cos/Q»，由余弦定理得切=初

+*一260BD-cosZGffi9=27+25-2X3^/3X5X^=16.：.CD=\.

4.已知a,b,c为的三边，8=120°,则―+1+&。­62=.

【答案】0

【解析】•."L；=a'!+c"-2accos3=a'+c'-2ac•cos120°=a"+c~+ac,.,.a'+c'+ac

—9=0.

5.在△/18。中，4=60°,最大边与最小边是方程/—9犬+8=0的两个实根，贝U边6。

长为

【答案】^57

【解析】•.3=60°,・••可设最大边与最小边分别为b,c.又b+c=9,bc=8,：.B©

=l}+c-2bccQsA=(b+c)2-2bc-2bccos/=92-2X8-2X8Xcos60°=57,：.BC=

庖

B

6.在△月比中，8侬=15馅，a+b+c=30tA+C=-,求三角形各边边长.

【解析】*：A+C=^fAy=180°,5=120°.

]/3

由S^Anc：=-acs\.n6=牛3。=15/,得ac=60,

由余弦定理6'=d+c'一2wccos6=(a+c)2—2ac(l+cos120°)=(30—60,得力

=14,；・a+c=16.

：.a,c是方程f-16X+60=0的两个根.

a=10,|a=6,

c=6Ic=10.

，该三角形各边长为a=6,Z?=14,c=10或a=10,0=14,c=6.

7.在△力比中，已知484,BC=5.

(1)若N/=60°,求cos少的值；

7

⑵若cosa-8)=6，点〃在边8C上，满足如=以，求⑦的长度.

O

【解析】⑴由正弦定理知系=占,45

即击下

sin60°

解得sin8=挛.

'：AC<BC,.,.N6〈//l=60°.

；.NB为锐角.

(2)'：AD^BD,:"DAB=/B.

,*7

/.cosZCAD=cos(A—助=q.

o

在中，设则缪=5—*.

7

由余弦定理得(5—X)2=42+V—2X4XXXG，

O

解得x=3,则49=3,32.

8.在△力配中，4=30°,BC=24，点、。在AB边上,且N8或为锐角，67)=2,丛BCD

的面积为4.

⑴求cos/及力的值；

⑵求边/C的长.

【解析】⑴：a'=24，32,

则S4K£产，CD，sinNBCQ4,

,2m

Asin/BCD=等.

o

Acos/鹏

._A/R

(2)在△应方中，徵=2,BC=2木,cos4Bg拳

由余弦定理得所=5+配一2G9•a1•cos/BCE=16,即加=4.

波+切=初，:.NBDC=9G,

即△/切为直角三角形，

•."=30°,:.AC=2CA4.

9.在中，6=60°,&=ac，则此三角形一定是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】由余弦定理，得万'—ac,5Lb：—ac,.".a'+c—2ac—O,即(a—c)2=0,

；.a=c.•.♦8=60°,4=<7=60°.故。是等边三角形.

10.在△4比中，有下列关系式：

①asin8=Asin4②a=bcosC+ccosB；

③c2=2aZ>cosC-,④6=csinJ+asinC.

一定成立的有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【解析】对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立.对于②，由正弦定理及sin/=

sin(5+6)=sin&os(7+sinCeosB,知显然成立.对于④，利用正弦定理，变形得sin6

=sinCsinJ+sinAsinC=2sinJsinC,又sin6=sin(/l+0=cos6sinJ+cos力sin

C,与上式不一定相等，所以④不一定成立.故选C.

11.已知三角形两边长分别为1和十，第三边上的中线长为1,则三角形的外接圆半径

为.

【答案】1

^2।1_]

【解析】如图，AB=\,BD=\,BC=&设AD=DC=x,在△4®中，cosZADB=’「一

Xx1—3X—/

=2,在△胭•中，cos"=F-=FNADB与NBDC互补，：.ss4ADB一

,A/3

cosN邮...x厂一x方_2-,...x=l,...4=6。。'由熹「=2AZ得QL

12.已知△48C是斜三角形，内角力,B,C所对的边的长分别为a,b,c.若csin4=#

acosC.

(1)求角C；

(2)若且sinC+sin(8—/)=5sin2A,求△力回的面积.

【解析】(l)：csinA=yj3acosC,由正弦定理可得sinCsin4=小sinJcosC,sin

/WO,

C=75cosC,得tan，=彩=m.

.".sin

,JI

V(0,n)，/.C——.

J

(2)VsinC+sin(8一力)=5sin2J,sinC=sin(/1+E,

.•・sinC4+。)+sin(夕-4)=5sin2A,

.\2sinBcosJ=2X5sinAcosA.

・・・△?(根为斜三角形，

/.cos/WO,.,.sin8=5sinA.

由正弦定理可知8=5a①

由余弦定理1=3+4—2dZ?cosC,

得21=3+Z?2—2a6X；,②

联立①②，得a=1,6=5.

.「1,.八1m5m

=

••S^ABC'"^dbsin1X5XQ=A,

1.2.1应用举例第1课时

1.如图，从气球/测得正前方的两个场馆8C的俯角分别为a,B,此时气球的高

度为方，则两个场馆6,C间的距离为（）

力sinasin£h£一。

sinasin£

Asino力sinB

C------------------

•sin£a-8sinoa-B

【答案】B

【解析】过力作垂线/〃交的延长线于〃，则在RtzM如中，ZABD=a,AB=—^.

hB—Q

又在△/）中，NACB=五一f,/BAC=8一a,由正弦定理，得BC=—:-----:—,即

sinasmP

hB—Ct

两个场馆B,C间的距离为一一4—7-.故选B.

sinasinp

2.某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并

保持坡高不变，则坡底需加长（）

A.100yf^mB.100小m

C.50（啦+乖）mD.200m

【答案】A

【解析】如图，由条件知，47=100m,NQ30°,/4375°,N劭C=45°.由

ACsinZBACr-..

正弦定理得•:.BC=--——=10(h/2(m).

sinABACsinH

3.已知4,6两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,现测得/被7=120°,

则4C两地的距离为（）

10^7kmB.10km

10^5kmD.10\/3km

【答案】A

【解析】在中，J5=10(km),8C=20(km),N/a1=120°,则由余弦定理，得,

=14+%一2AB,BCcosZABC=100+400-2X10X20cos1200=100+400一

2X10X20X（—，=700,；.4C=1八斤km,即4,C两地的距离为10于km.

4.如图，为测得河对岸塔18的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底8的正东方向上，

测得点4的仰角为60°,再由点，沿北偏东15°方向走10m到位置。，测得/劭C=45°,

则塔位?的高是（单位：米）（）

修

A.l（h/2B.10乖

C.10y[3D.10

【答案】B

【解析】设塔高为x米，根据题意可知在△力比'中，NABC=90°,N/⑵=60°,AB=

r

x,从而有a'=岑乂在△以》中，W=10,/比。=90°+15°=105°,NBDC=45°,Z

C次)=30°'由正弦定理得sinNBD(TsinZCBD比=sin30。=1岫=£见解得x

=10m，所以塔4?的高是1琲米.故选B.

5.学校里有一棵树，甲同学在/地测得树尖的仰角为45°,乙同学在8地测得树尖的

仰角为30°,量得46=4C=10m,树根部为C（46,C在同一水平面上），则/力位=.

【答案】30°

【解析】如图，力。=10,/如£45°,:.DC=\Q':NDBg3Q°,；.BC=1即,cosZ

W+m2—我Jj

ACB=---------_7=—=个,，//龙=30°.

2X10Xl(hj32

6.如图，在山脚/测得山顶尸的仰角为。=30°,沿倾斜角£=15°的斜坡向上走a

米到8在5处测得山顶〃的仰角7=60°,则山高沟=米.

【答案】乎a

【解析】在△为8中，NPAB=a—8=15°/朋1=（90°—a）—（90°~/）=y~

a=3。。，/物=135。，所纥』=11r6,则用=后所以止阳sina=M

asin30°（米）.

7.如图，在一条海防警戒线上的点4B,C处各有一个水声检测点，B,C到4的距离

分别为20千米和50千米，某时刻8收到来自静止目标户的一个声波信号，8秒后4。同

时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.

⑴设4到2的距离为x千米，用x表示6,C到。的距离，并求出x的值:

（2）求一到海防警戒线4C的距离.

【解析】（1）依题意，有PA=PC=x,即=x-1.5X8=x-12.

P#+A”P百V+ZO。-x-3叶32

在△阳8中，47=20,cosAPAB=

2PA•AB2x・205x

X+502-X25

同理，在△阳C中，47=50,cosNPAC=2PA-AC=2%•50

3%+3225

Vcos/PAB=cos/PAC,.・；_，-=」,解得*=31.

oxx

⑵如图，过点尸作如，力。于交力。于点〃

p

ABDC

由PA=PC,可得力。=；/C=25.

又PA=31,二切7戌_｛炉=#312_252=4a.

故尸到海防警戒线4c的距离为4弧千米.

8.若甲船在6岛的正南方4处，46=10km,甲船以4km/h的速度向正北航行，同时,

乙船自8岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，在甲船到达6之前，当甲、乙

两船相距最近时，它们的航行时间是（）

15,

A.年minB.—h

C.21.5minD.2.15h

【答案】A

【解析】设航行时间为b如图，/CBD=120°,即=10—43BC=6t.在丛BCD中,利

用余弦定理，得Clf=(10-4r)2+(6t)2-2X(10-4^)X6tXcos120°=28r2-20f+

ioofo<r<|l

〃/

A

当乂指=77®，即〒min时，切最小.

ZAZoI

9.某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶。到其正上方｛点的距离，他

站在地面。处，利用皮尺测得及7=9米，利用测角仪器测得仰角//%=45°,测得视角/

4切后通过计算得到sin/4W=喏，则/〃的高度为（）

A.2米B.2.5米

C.3米D.4米

【答案】C

【解析】设AD=x,贝ij故=9-x,0）=y[^+~_xt在XACD中，由正弦定理得

♦.*•多即五+广二=*，所以2[92+（9—*）2]=26/整理得2?+

sinZZWCsmZACff-Jg可26

226

3x-27=0,即（2x+9）（x—3）=0,所以x=3（米）.

10.如图所示，为了测量48处岛屿的距离，小明在。处观测，A,6分别在。处的北

偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至。处，观测6在。处的正北方向,

4在6■处的北偏西60°方向，则48两处岛屿间的距离为（）

A.2(h/6海里B.40-\/6海里

C.20(l+V3)海里D.40海里

【答案】A

【解析】连接46.由题意可知5=40,N4DC=105°,NBDC=45：NBCQ90。，

Z/109=30°，,NG4Q45°,ZADB=60°.在^心力中，由正弦定理得.名。=.，匚。

sin30sm45

；.4。=20P在Rt△腼中，BD=用CD=40®在△ABD中，由余弦定理得AB=

、800+3200-2X20^X4咪Xcos60°=2琲.故选A.

11.游客从某旅游景区的景点｛处至景点C处有两条线路.线路1是从4沿直线步行到

C,线路2是先从/沿直线步行到景点6处，然后从目沿直线步行到C现有甲、乙两位游

客从1处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的弓5•倍，甲走线路2,乙走线路1,最后

他们同时到达。处.经测量，AB=\040m,比-500m,则sin/员1C等于

5

【答案】

1O

【解析】设乙的速度为xm/s,则甲的速度为§xm/s.因为4?=1040,比’=500,所以

AC1040+500初+—―我

,解得然=1260.在中，由余弦定理可知cos/物C=

：=n2AB•4c

10402+126O2-5OO2125

2X1040X1260=T?13,

12.如图，在海岛/上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站只上午11时,

测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的8处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,

俯角为60°的C处.

(1)求船的航行速度是每小时多少千米？

(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的〃处，问此时船距岛力有多远？

【解析】⑴在Rt△*6中，NAPB=60°,PA=\,

、后

在Rt△用C中，/加。=30°,：.AC=^.

在中，/。6=30°+60°=90°,

,BCf西^7净+小2=粤.

则船的航行速度为粤+《=24(千米/时).

(2)在中，/刃仁90°-60°=30°,

ABA/33J10

sin=sin(180°-ZJCB)=sinNACB=b+=^~,

BC2/3010

3

sin/烟=sin(//"—30°)

,.Tmzi=,ADAC

由正弦定理得一："/~nCA=—"/CDA'

smZ.DCAsinACDA

国酒

.心sinNDCA3109+:

・“修sin乙CDA=—5=13'

20

故此时船距岛1有安但千米.

10

1.2.2应用举例第2课时

1.在钝角中，若sinJ<sinB<sinC,则()

A.cosA•cosOOB.cosB*cosOO

C.cosA•cosD.cosA•cosB•cosOO

【答案】C

【解析】由正弦定理得aVZ?Vc,・••角。是最大角，，角。为钝角，，cosCVO,cos力

>0,cos皮>0.故选C.

2.已知△力a'的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小

内角的余弦值是()

57

C.D.

6To

【答案】B

V—