九年级下册数学试卷期末测试卷

期末测试卷(3)

一.选择题

1.下列函数是二次函数的是()

A.y=3x+lB.y=ax2+bx+cC.y=x2+3D.y=(x-1)2-x2

2.如图，一次函数y=ax+b(aWO)与二次函数y=ax2+bx(aW0)图象大致是()

3.如果二次函数y=ax2+bx,当x=l时,y=2；当x=-1时，y=4,则a,b的值是

()

A.a=3,b=-1B.a=3,b=lC.a=-3,b=lD.a=-3,b=-1

4.如图，抛物线y=ax2+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐

标为(-1,0),其部分图象如图所示，下列结论：①4acVb2；②方程ax?+bx+c=O

的两个根是xi=-l,X2=3；③3a+c>0；④当x<0时，y随x增大而增大，其中

结论正确的个数是()

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿

BE玲E—DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都

是lcm/s.设P,Q出发t秒时，△BPQ的面积为yen?,已知y与t的函数关系的

图象如图2（曲线0M为抛物线的一部分）,则下列结论:

①AE=6cm；

②当0<tW10时，丫=42；

5

③直线NH的解析式为y=-5t+110；

④若4ABE与△QBP相似，则1=>四秒，

4

其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如果上=2017,则空等于（）

x-x

A.2017B.-2017C.2016D.-2016

7.爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，

事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女

士身高165cm,下半身长与身高的比值是0.60,为了尽可能达到好的效果，她应

穿的高跟鞋的高度大约为（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

8.如图，在^ABC中，ZADE=ZB,DE：BC=2：3,则下列结论正确的是（）

A.AD：AB=2：3B.AE：AC=2：5C.AD：DB=2：3D.CE：AE=3：2

9.在RtZXACB中，ZC=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶角。在AB边的中

点上，这块三角板绕0点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F,

连接EF,则在运动过程中，AOEF与aABC的关系是()

A.一定相似B.当E是AC中点时相似C.不一定相似D.无法判断

10.如图，在aABC中，AB=AC,ZBAC=120°,D,E是BC上的两点,且NDAE=30。，

将4AEC绕点A顺时针旋转120。后，得到AAFR,连接DF.下列结论中正确的个数

有()

①/FBD=60°；②△ABEs^DCA；③AE平分NCAD；④4AFD是等腰直角三角形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

11.如图，平面直角坐标系中，A(1,4)、B(3,1)、C(9,1)、D(13,1),

若以CD为边的三角形与AOAB位似,则这两个三角形的位似中心为()

C.(5,3)或(-7,1)D.不能确

定

12.如图，测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,则河宽AB为()

A.120mB.100mC.75mD.25m

二.填空题

13.为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了

如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测

量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)10米的点E处，然后沿着直线BE

后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察

者目高CD=1.6米，则树(AB)的高度约为米.

14.在直角三角形ABC中，ZC=90°,若AB=5,AC=4,则sinB=.

15.在Rt4ABC中，ZC=90°,若cosB=。，则sinB的值是___.

5

16.已知a,0均为锐角，且|sina总|+(tanB-1)2=0，则a+B=.

17.十二边形的内角和是1800度;cos35°^(结果保留四个有效数字).

18.如图，在Rt^ABC中，AC=2,斜边AB=JT^,延长AB到点D,使BD=AB,

连接CD,则tanNBCD=

三.解答题

19."富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情

况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查.根据统计数据绘制了如

下尚不完整的统计图.

我最再欢的亩春早点我最喜欢的富春早点

条隧计图扇形统计图

下列客专早点中你最喜欢的是（

［单选］

A.烧卖B.两包C蟹黄包

D.汤包E.三丁包F.其他

根据以上信息，解决下列问题：

⑴条形统计图中"汤包"的人数是人，扇形统计图中“蟹黄包"部分的圆心

角为°；

⑵根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢"汤包”的有多少

人？

20.如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时

俯角NEOA=30。，在OB的位置时俯角NFOB=60。，若OC_LEF,点A比点B高7cm.

求：

①单摆的长度（5=1.7）；

⑵从点A摆动到点B经过的路径长（71n3.1）.

E

21.如图，B、C、D在同一直线上，AABC和4DCE都是等边三角形，且在直线

BD的同侧，BE交AD于F,BE交AC于M,AD交CE于N.

(1)求证：AD=BE；

(2)求证：△ABFs/^ADB.

22.如图，QABCD的对角线交于点。，点E在边BC的延长线上，且OE=OB,连

接DE.

⑴求证：4BDE是直角三角形；

⑵如果OEJ_CD,试判断4BDE与4DCE是否相似，并说明理由.

23.如图，抛物线y=2x2+Lx+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连

44

结AB,点C(6,孕)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.

⑴求c的值及直线AC的函数表达式；

(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,

连结M。并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.

①求证：△APMSAAON；

②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).

24.如图，二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,

OB=OC.点D在函数图象上，CD〃x轴，且CD=2,直线I是抛物线的对称轴，E

是抛物线的顶点.

①求b、c的值；

⑵如图①，连接BE,线段OC上的点F关于直线I的对称点F恰好在线段BE

上，求点F的坐标；

⑶如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,

与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与^APM的面积

相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明

理由.

答案

一.选择题

1.下列函数是二次函数的是()

A.y=3x+lB.y=ax2+bx+cC.y=x2+3D.y=(x-1)2-x2

【考点】Hl：二次函数的定义.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】依据一次函数、二次函数的定义求解即可.

【解答】解：A、y=3x+l是一次函数，故A错误；

B、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故B错误；

C、y=x?+3是二次函数，故C正确；

D、y=(x-1)2-x?可整理为y=-2x+l,是一次函数，故D错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.

2.如图，一次函数丫=2*+1)(2工0)与二次函数y=ax2+bx(aW0)图象大致是()

【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用一次函数的图象的性质确定a、b的符号，然后看二次函数是否符

合即可确定正确的选项.

【解答】解：A、一次函数y=ax+b(aWO)中a>0,b>0,二次函数y=ax2+bx

(aWO)中a>0,b<0,故错误，不符合题意；

B、一次函数y=ax+b(aWO)中a>0,bO,二次函数y=ax?+bx(aWO)中a>0,

b<0,故正确，符合题意；

C、一次函数y=ax+b(aWO)中a>0,b<0,二次函数y=ax2+bx(aWO)中aVO,

b>0,故错误，不符合题意；

D、一次函数y=ax+b(aWO)中a>0,b=0,二次函数y=ax2+bx(aWO)中a>0,

b<0,故错误，不符合题意；

故选B.

【点评】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各

个函数的图象与系数的关系，难度不大.

3.如果二次函数y=ax?+bx,当x=l时，y=2；当x=-1时，y=4,则a,b的值是

()

A.a=3,b=-1B.a=3,b=lC.a=-3,b=lD.a=-3,b=-1

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】把两组对应值分别代入丫=2*2+6*得到关于a、b的方程组，然后解方程

组即可.

【解答】解：根据题意得［a+b=2,

la-b=4

解得尸3.

Ib=-1

所以抛物线解析式为y=3x2-x.

故选A.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次

函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入

数值求解.一般地，当己知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三

元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式

来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

4.如图，抛物线y=ax?+bx+c(aWO)的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐

标为(-1,0),其部分图象如图所示，下列结论：①4acVb2；②方程ax2+bx+c=0

的两个根是Xi=-1,X2=3；③3a+c>0；④当x<0时，y随x增大而增大，其中

结论正确的个数是()

【考点】HA：抛物线与x轴的交点；H4：二次函数图象与系数的关系.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得

到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3,0）,则可对②进行判断；由对称轴方程

得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断；

根据二次函数的性质对④进行判断.

【解答】解：:♦抛物线与x轴有2个交点，

/.b2-4ac>0,所以①正确；

•.•抛物线的对称轴为直线x=l,

而点（-1,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（3,0）,

•■•方程ax?+bx+c=0的两个根是X[=-1,X2=3,所以②正确；

".'x=-*-=1,即b=-2a,

2a

而x=-1时，y=0,即a-b+c=0>

a+2a+c=0,

3a+c=0,

所以③错误；

•抛物线的对称轴为直线x=l,

...当xVl时，y随x增大而增大，所以④正确.

故选B.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数

y=ax2+bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，

抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a

共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a

与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位

置：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b?-4ac

>0时，抛物线与x轴有2个交点；4=^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

△=b2-4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

5.如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点，点P点Q同时从点B出发，点P沿

BEfED〉DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都

是lcm/s.设P,Q出发t秒时，△BPQ的面积为yen?,已知y与t的函数关系的

图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分）.则下列结论：

①AE=6cm；

②当OVtWlO时,y=&2；

5

③直线NH的解析式为y=-5t+110；

④若△ABE与△QBP相似，则t=圆秒,

4

其中正确结论的个数为（

1014

图2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】①观察图2得出“当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；当t=14时,

点P、D重合"，结合矩形的性质以及线段间的关系即可得出AE=6,即①正确；

②设抛物线OM的函数解析式为丫=2*2,由点M的坐标利用待定相似法即可求出

结论，由此得出②成立；③通过解直角三角形求出线段AB的长度，由此可得出

点H的坐标，设直线NH的解析式为y=kt+b,由点N、H点的坐标利用待定系数

法即可得出直线NH的解析式，由此得出③成立；④结合①的结论可得出当OVt

W10时，△QBP为等腰三角形，结合③可得出4ABE为边长比为6：8：10的直

角三角形，由此可得出④不成了.综上即可得出结论.

【解答】解：①观察图2可知：

当t=10时，点P、E重合，点Q、C重合；

当t=14时，点P、D重合.

.,.BE=BC=10,DE=14-10=4,

；.AE=AD-DE=BC-DE=6,

.•.①正确；

②设抛物线0M的函数解析式为丫=2*2,

将点(10,40)代入y=ax2中，

得:40=100a,解得:a=2,

5

.,.当0<tW10时，y=Zt2,②成立；

5

③在Rt^ABE中，ZBAE=90°,BE=10,AE=6,

,，,AB=7BE2-AE2=8,

点H的坐标为(14+8,0),即(22,0),

设直线NH的解析式为y=kt+b,

../40=14k+b,解得：4=-5,

I0=22k+blb=110

二直线NH的解析式为y=-5t+110,③成立；

④当0<t<10时，△CIBP为等腰三角形，

△ABE为边长比为6：8：10的直角三角形，

.•.当1=毁秒时，4ABE与ACiBP不相似，④不正确.

4

综上可知：正确的结论有3个.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数图象、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解

题的关键是结合函数图象逐项分析4条结论是否成立.本题属于中档题，难度不

大，解决该题型题目时，找出点的坐标,利用待定系数法求出函数解析式是关键.

6.如果上=2017,则空等于（）

x-x

A.2017B.-2017C.2016D.-2016

【考点】S1：比例的性质.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由£=2017得到y=2017x,代入代数式即刻得到结果.

x

【解答】解：♦.•工=2017,

X

Ay=2017x,

...空=2017x-x=-20i6,

-x-X

故选D.

【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

7.爱美之心人皆有之，特别是很多女士，穿上高跟鞋后往往会有很好的效果，

事实上，当人体的下半身长度与身高的比值接近0.618时，会给人以美感，某女

士身高165cm,下半身长与身高的比值是0.60,为了尽可能达到好的效果，她应

穿的高跟鞋的高度大约为（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【考点】S3：黄金分割.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】先求出下半身的长度，然后再根据黄金分割的定义求解.

【解答】解:根据已知条件得下半身长是160X0.6=96cm,

设需要穿的高跟鞋是ycm,

则根据黄金分割的定义得：空匕=0.618,

160+y

解得:y七8cm.

故选C.

【点评】本题主要考查了黄金分割的应用.关键是明确黄金分割所涉及的线段的

比，难度适中.

8.如图，在AABC中，ZADE=ZB,DE：BC=2：3,则下列结论正确的是（）

B，-----------------------------十

A.AD：AB=2：3B.AE：AC=2：5C.AD：DB=2：3D.CE：AE=3：2

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由在^ABC中，ZADE=ZB,NA是公共角，可得△ADES/SABC,然后

由相似三角形的对应边成比例，求得答案.

【解答】W：VZADE=ZB,ZA=ZA

.'.△ADE^AABC,

AAD：AB=DE：BC=2：3.

故选A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.注意相似图形中的对应关系.

9.在Rtz^ACB中，ZC=90°,AC=BC,一直角三角板的直角顶角。在AB边的中

点上，这块三角板绕。点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F,

连接EF,则在运动过程中，aOEF与aABC的关系是（）

A.一定相似B.当E是AC中点时相似C.不一定相似D.无法判断

【考点】S8：相似三角形的判定.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】首先连接0C,由等腰直角三角形的性质，易证得△COE之△BOF,则可

得AOEF是等腰直角三角形，继而可得aOEF与4ABC的关系是相似.

【解答】解:连结。C,

VZC=90°,AC=BC,

/.ZB=45O,

•.•点。为AB的中点，

.*.OC=OB,ZACO=ZBCO=45°,

,/ZEOC+ZCOF=ZCOF+ZBOF=90",

/.ZEOC=ZBOF,

在△COE和中，

fZ0CE=ZB

<OC=OB

ZE0C=ZF0B

.♦.△COE义△BOF(ASA),

.".OE=OF,

.•.△OEF是等腰直角三角形，

，ZOEF=ZOFE=ZA=ZB=45°,

/.△OEF^ACAB.

故选：A.

【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角

三角形性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的

应用.

10.如图，在ZXABC中,AB=AC,ZBAC=120°,D,E是BC上的两点,且NDAE=30°,

将AAEC绕点A顺时针旋转120。后，得到AAFR,连接DF.下列结论中正确的个数

有（）

①NFBD=60°；②△ABEsaDCA；③AE平分NCAD；④4AFD是等腰直角三角形.

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性

质.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据旋转的性质得出NABF=NC,求出NABC=NC=30。，即可判断①；

根据三角形外角性质求出NADC=NBAE,根据相似三角形的判定即可判断②；求

出NEAC大于30。，而NDAE=30。，即可判断③；求出^AFD是直角三角形，但是

不能推出是等腰三角形，即可判断④.

【解答】解:•.•在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,

/.ZABC=ZC=30o,

•.,将AAEC绕点A顺时针旋转120。后，得到△AFB,

.,.△AEC^AAFB,

/.ZABF=ZC=30o,

.,.ZFBD=30°+30o=60°,.•.①正确；

ZABC=ZDAE=30°,

，NABC+NBAD=NDAE+NBAD,

即NADC=NBAE,

VZABC=ZC,

/.△ABE^ADCA,.,.②正确；

VZC=ZABC=ZDAE=30°,ZBAC=120°,

.".ZBAD+ZEAC=120°-ZDAE=90°,

.,.ZABC+ZBAD<90",

，ZADC<90°,

AZDAO60°,

AZEAC>30°,

即NDAEWNEAC,...③错误；

•.,将4AEC绕点A顺时针旋转120。后，得到AAFB,

；.AF=AE,NEAC=NBAF,

VZBAC=120°,ZDAE=30°,

/.ZBAD+ZEAC=90°,

/.ZDAB+ZBAF=90°,

即aAFD是直角三角形，

V^ADAE中，ZADE=ZBAC+ZBAD,ZAED=ZC+ZEAC,ZABC=ZC,但是根

据已知不能推出NBAD=NEAC,

ZADE和NAED不相等,

AAD和AE不相等，

即aAFD是直角三角形，但是不一定是等腰三角形，.•.④错误；

故选B.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，

全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，

题目比较典型，但是有一定的难度.

11.如图，平面直角坐标系中，A(1,4)、B(3,1)、C(9,7)、D(13,1),

若以CD为边的三角形与AOAB位似，则这两个三角形的位似中心为()

A.(0,0)B.(3,4)或(-6,2)C.(5,3)或(-7,1)D.不能确

定

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】作AE_LDB于E,CFLBD于F,分点，是CA、DB的延长线的交点、点P

是CA、DB的交点两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.

【解答】解：作AE_LDB于E,CF1.BD于F,

则AE〃CF,

当点P'是CA、DB的延长线的交点时，

VA(1,4)、B(3,1)、C(9,7)、D(13,1),

.,.HE=1,AE=3,BE=2,BD=10,FD=4,CF=6,EF=8,

解得，P'E=8,

.•.P'H=7,

...三角形的位似中心为（-7,1）,

当点P是CA、DB的交点时，

同理可得，三角形的位似中心为（5,3）,

故选：C.

X

【点评】本题考查的是位似变换的性质，掌握坐标与图形的关系、相似三角形的

判定定理和性质定理是解题的关键.

12.如图，测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,则河宽AB为（）

E

A.120mB.100mC.75mD.25m

【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】由两角对应相等可得△BADS^CED,利用对应边成比例可得两岸间的

大致距离AB.

【解答】解：VZADB=ZEDC,ZABC=ZECD=90°,

.'.△ABD^AECD,

•.•AB_一BD,

ECCD

AB=BDXEC=12QX50=1Q0（米）.

CD60

则两岸间的大致距离为100米.

故选:B.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的

两三角形相似；相似三角形的对应边成比例.

二.填空题

13.为了测量校园内水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了

如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测

量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）10米的点E处，然后沿着直线BE

后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A再用皮尺量得DE=2.0米，观察

者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为米.

【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据镜面反射的性质求出△ABEs^CDE,再根据其相似比解答.

【解答】解：根据题意，易得NCDE=NABE=90°,ZCED=ZAEB,

则△ABEs^CDE,

贝1」些=旭，即改=唐,

DECD21.6

解得：AB=8米.

故答案为：8.

【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解

答此题的关键.

14.在直角三角形ABC中，ZC=90°,若AB=5,AC=4,则sinB=.

【考点】T1：锐角三角函数的定义.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据三角函数的定义可得出sinB=^,代入计算即可.

AB

【解答】解：•.•NC=90。，

/.sinB=—,

AB

VAB=5,AC=4,

•\sinB=—=—,

AB5

故答案为里.

5

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三个三角函数的定义是解题

的关键.

15.在RtaABC中，ZC=90°,若cosB=2,则sinB的值是____.

5

【考点】T3：同角三角函数的关系.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】sin2B+cos2B=lcosB=—,即可求出答案.

5

【解答】解:

*.,sin2B+cos2B=l,cosB=—,

5

/.sin2B=l-(3)2=也，

525

•••/B为锐角,

•\sinB=—,

5

故答案为且.

5

【点评】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道sin2B+cos2B=l是解此

题的关键，难度适中.

16.已知a,P均为锐角，且|sina—1+(tanB-1)2=0,则a+B=-

【考点】T5：特殊角的三角函数值；16：非负数的性质：绝对值；1F：非负数的

性质：偶次方.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】先根据非负数的性质求出sina,tan。的值，再由特殊角的三角函数值得

出a、B的度数，进而可得出结论.

【解答】解：:|sina=|+(tanB-1)2=0,a,0均为锐角，

Asina--=0,tanP-1=0,

.".sina=-1-,tanP=l,

Aa=30°,0=45°,

a+p=30°+45°=75°.

故答案为:75°.

【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答

此题的关键.

17.十二边形的内角和是1800度:cos35。心(结果保留四个有效数字).

【考点】T6：计算器一三角函数；L3：多边形内角与外角.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)・180。进行计算即可；

利用计算器，先按35,再按cos即可求出(计算器的型号不同可能按键的顺序有

所不同，要具体情况具体对待).

【解答】解：(12-2)•180°=1800°；

cos35°^0,8192.

故答案为:1800,0.8192.

【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与计算器的应用，是基础题.

18.如图，在RtZ\ABC中，AC=2,斜边AB=阮，延长AB到点D,使BD=AB,

连接CD,贝Ijtan/BCD=.

【考点】T7：解直角三角形.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】过点B作AC的平行线.交CD于E,由勾股定理求出BC=^AB2_AC2=3,

由平行线分线段成比例定理得出CE=DE,与平行线的性质得出NCBE=NACB=90。,

证出BE是4ACD的中位线，由三角形中位线定理得出BE=LAC=1,再由三角函

2

数的定义即可得出结果.

【解答】解：过点B作AC的平行线.交CD于E,如图所示：

在ABC中，AC=2,斜边AB=JF，

BC=VAB2-AC2=3,

：BE〃AC,BD=AB,

；.CE=DE,NCBE=NACB=90°,

，BE是4ACD的中位线，

.•.BE=LAC=I,

2

/.tanZBCD=—=—；

BC3

故答案为：1.

3

A

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、三角

形中位线定理、三角函数等知识；通过作辅助线得出BE是三角形的中位线是解

决问题的关键.

三.解答题

19."富春包子”是扬州特色早点，富春茶社为了了解顾客对各种早点的喜爱情

况，设计了如右图的调查问卷，对顾客进行了抽样调查.根据统计数据绘制了如

下尚不完整的统计图.

我最喜欢的富冬早点我最喜欢的富春早点

条形统计图扇形貌计图

50

45

下列富春早点中你最喜欢的是()40

［单国35

A.烧麦B肉包C蟹黄包30

D.汤包E.三丁包F.其他

融肉包蟹黄葬三丁其住

根据以上信息，解决下列问题：

①条形统计图中"汤包"的人数是.人，扇形统计图中"蟹黄包"部分的圆心

角为。；

⑵根据抽样调查结果，请你估计富春茶社1000名顾客中喜欢"汤包”的有多少

人？

【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由喜欢"其他”的人数除以所占的百分比即可求出调查的总人数；由

喜欢"汤包”所占的百分比乘以总人数求出"汤包"的人数；由喜欢"蟹黄包"的人数

除以调查的总人数即可得到所占的百分比，再乘以360即可求出结果；

⑵用顾客中喜欢"汤包”所占的百分比，乘以1000即可得到结果.

【解答】解：⑴84-5%=160（人），

160X30%=48（人），

324-160X360°

=0.2X360°

=72°.

故条形统计图中"汤包"的人数是48人，扇形统计图中"蟹黄包"部分的圆心角为

72°；

（2）30%X1000=300（人）.

故估计富春茶社1000名顾客中喜欢"汤包"的有300人.

故答案为：48人，72.

【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意

是解本题的关键.

20.如图，物理教师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在OA的位置时

俯角NEOA=30。，在OB的位置时俯角NFOB=60。，若OCLEF,点A比点B高7cm.

求：

⑴单摆的长度（«=1.7）；

⑵从点A摆动到点B经过的路径长（H-3.1）.

E,。一

30。\/，:/go。

J*

O

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；04：轨迹.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】⑴作APJ_OC、BQ_LOC,由题意得NAOP=60°、NBOQ=30°,设OA=OB=x,

根据三角函数得OP=OACOSNAOP=LX、OQ=OBCOSZBOQ=^X,由PQ=OQ-OP

22

可得关于x的方程，解之可得;

⑵由①知NAOB=90。、OA=OB=7+7«,利用弧长公式求解可得.

【解答】解：(1)如图，过点A作APLOC于点P,过点B作BQ_LOC于点Q,

E,°”

30。\/"'、/60。

J»

J'L\

正.......CP\

Q3……说

VZEOA=30\NFOB=60°,且。CLEF,

，NAOP=60°、ZBOQ=30°,

设OA=OB=x,

则在RtAAOP中，OP=OAcosZAOP=lx,

2

在Rt^BOQ中，OQ=OBCOSNBOQ=KX,

2

由PQ=OQ-OP可得逞x-lx=7,

22

解得:x=7+7«"18.9(cm),

答：单摆的长度约为18.9cm；

(2)由(1)知，ZAOP=60\ZBOQ=30°,且OA=OB=7+7遂，

，ZAOB=90",

则从点A摆动到点B经过的路径长为织士*士叵1心29.295,

180

答：从点A摆动到点B经过的路径长为29.295cm.

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意构建直角

三角形，利用三角函数的定义表示出所需线段的长度及掌握弧长公式是解题的关

键.

21.如图，B、C、D在同一直线上，AABC和4DCE都是等边三角形，且在直线

BD的同侧，BE交AD于F,BE交AC于M,AD交CE于N.

(1)求证：AD=BE；

(2)求证：△ABFSAADB.

BD

【考点】S8：相似三角形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三

角形的性质.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】⑴利用等边三角形的性质证明4BCE之AACD,就可以得出结论；

⑵由△BCEgZiACD,得NCBE=NCAD,根据三角形的内角和定理可知：Z

AFB=60°=ZABC,并由公共角NBAF=NBAD,得△ABFS^ADB.

【解答】证明：⑴:△ABC与4DCE都是等边三角形，

，AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°.

/.NACB+NACE=NACE+NDCE,

即NBCE=NACD.

在4BCE和4ACD中，

"BC=AC

<NBCE=NACD，

CD=CE

/.△BCE^AACD(SAS),

，AD=BE；

(2)由(1)知：ABCE^AACD,

/.ZCBE=ZCAD,

又,.,NBMC=NAMF,

，ZAFB=ZACB=60°=ZABC,

XVZBAF=ZBAD,

/.△ABF^AADB.

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形和相似三角形的判定

和性质的运用.线段相等问题常常运用全等解决.

22.如图，口ABCD的对角线交于点。，点E在边BC的延长线上，且OE=OB,连

接DE.

⑴求证：4BDE是直角三角形；

(2)如果OE_LCD,试判断4BDE与4DCE是否相似，并说明理由.

【考点】S8：相似三角形的判定；L5：平行四边形的性质.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由平行四边形ABCD对角线互相平分、已知条件OE=OB以及等边

对等角推知NBED=NOEB+NOED=90°,则DEJ_BE,即ABDE是直角三角形；

⑵利用两角法证得aBDE与4DCE相似.

【解答】⑴证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，OB=OD,

VOE=OB,

/.OE=OD,

/.ZOBE=ZOEB,ZODE=ZOED,

,/ZOBE+ZOEB+ZODE+ZOED=180°,

ZBED=ZOEB+ZOED=90°,

••.DE±BE,即4BDE是直角三角形；

(2)解:ABDE与4DCE相似.

V0E1CD,

,ZCEO+ZDCE=ZCDE+ZDCE=90",

/.ZCEO=ZCDE,

VZOBE=ZOEB,

，NDBE=/CDE,

VZBED=ZDEC=90°,

.'.△BDE^ADCE.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定.熟知两组对应角相

等的两个三角形相似是解答此题的关键.

23.如图，抛物线y=—x2+—x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连

44

结AB,点C(6,竽)在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.

⑴求c的值及直线AC的函数表达式；

(2)点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M,

连结M0并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.

①求证：△APMS^AON；

②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】⑴把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐

标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；

(2)①在RtAAOB和RtAAOD中可求得/OAB=NOAD,在RtAOPQ中可求得

MP=MO,可求得NMPO=NMOP=NAON,则可证得△APMS/\A0N；

②过M作MEJ_x轴于点E,用m可表示出AE和AP,进一步可表示出AM,利

用AAPMSAAON可表示出AN.

【解答】解：

①把C点坐标代入抛物线解析式可得U-9+3+C,解得C=-3,

22

.♦.抛物线解析式为y=-x2+lx-3,

44

令y=0可得+誉x-3=0,解得x=-4或x=3,

AA(-4,0),

设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k#0),

r0=-4k+b(

把A、C坐标代入可得15，解得7，

E+b|b.3

，直线AC的函数表达式为y="x+3；

4

(2)①•在RtZ\AOB中，tan/OAB=^=』，在RtAOD中，tan/0AD=^=2,

0A40A4

/.ZOAB=ZOAD,

•.,在Rt^POQ中，M为PQ的中点，

.,.OM=MP,

/.ZMOP=ZMPO,且NMOP=/AON,

,ZAPM=ZAON,

/.△APM^AAON；

②如图，过点M作ME±x轴于点E,则OE=EP,

•点M的横坐标为m,

/.AE=m+4,AP=2m+4,

tanZOAD=—,

4

二・cosZEAM=cosZOAD=—,

5

•-•AE_—4

AM5

.•.AM=~^AE=5(1TH'G,

44

VAAPM^AAON