2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修第二册 7.3 组合 课件（42张）

7.3组合第7章

计数原理教师xxx苏教版（2019）

选择性必修第二册从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？解析：从三名学生中选出两名学生，然后将选出的两名学生按照一定的顺序（上午和下午）进行排列，共有

种方法.

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲乙、甲丙、乙丙问题引入上面两个问题有什么区别？答：（1）第一个问题是从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列。不仅要选出2个元素，而且要对所选出的元素进行按照一定的顺序排列。（2）第二个问题是从已知的3个不同元素中取出2个元素,不需要按照一定的顺序排列.问题引入一、组合一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.思考：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，这是它们的共同点.但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的.探究新知例如，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，但不是相同的排列.由此，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图

所示.探究新知二、组合数

探究新知三、组合数公式

探究新知

探究新知因此这里n，m∈N*，并且m≤n.这个公式叫做组合数公式.

探究新知

探究新知四、组合数的两个性质一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，必然剩下（n-m）个元素，因此从n个不同元素中取出m个元素的组合，与剩下的（n-m）个元素的组合一一对应.这样，从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个不同元素中取出（n-m）个元素的组合数.于是我们有

性质1

探究新知在推导性质1时，我们运用了说明组合等式的一个常用而重要的方法，即把等号两边的不同表达式解释为对同一个组合问题的两个不同的计数方案.你能根据上述思想方法，利用分类加法计数原理，说明下面的组合数性质吗？

性质2

探究新知常考题型一、组合的概念及其简单应用例1判断下列各事件是排列问题还是组合问题.（1）从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？（2）从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？（3）10支球队进行单循环赛（每两队比赛一次），共需进行多少场次的比赛？（4）10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？探究新知【解】（1）是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数.（2）是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变.（3）是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别.（4）是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.探究新知◆区别排列与组合的方法1.区别一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，排列与选取的元素的顺序有关，组合与选取的元素的顺序无关，即有序是排列，无序是组合.2.判断一个问题是否有顺序：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，是排列问题；没有影响就是“无序”，是组合问题.B探究新知二、组合数及其应用1.利用组合数公式解方程、不等式例2［2020·河南信阳高二月考］满足条件Cn4>Cn6的正整数n的个数是 （）A.10

B.9

C.4

D.3【答案】C探究新知◆利用组合数公式解方程、不等式的方法技巧1.化简：先用组合数的两个性质化简；2.转化：利用计算公式将组合数的形式转化为常规的代数方程、不等式；3.求解：解常规代数方程、不等式；4.检验：注意由Cnm中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否符合题意.9【答案】DC探究新知三、组合应用题1.简单的组合应用题例4［2020·吉林延边二中高二期中］有4名学生要到某公司实践学习，该公司共有5个科室，由公司人事部门安排他们到其中任意3个科室实践，每个科室至少安排一人，则不同的安排方案种数为 （）A.120

B.240

C.360 D.480【答案】C探究新知◆解决排列组合简单应用问题的方法1.首先要判断它是组合问题还是排列问题；2.注意两个基本计数原理的运用，是分类还是分步，分类和分步时注意不要重复和遗漏；3.一般按先选再排，先分组再分配的原则处理.探究新知训练题1.［2020·广西南宁高三月考］从“cndream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合（顺序不变）的不同排列共有 （）A.360种 B.480种

C.600种 D.720种2.［2020·安徽师范大学附属中学高二期末］某县城中学安排4位教师去3所不同的村小支教，每位教师只能支教一所村小，且每所村小有老师支教.甲老师主动要求去最偏远的村小A，则不同的安排有 （）A.6种

B.12种

C.18种

D.24种3.［2020·福建省永春第一中学高二期末］4名学生被三所不同大学录取，若每所大学至少要录取1名，则共有

种不同的录取方法.CB36探究新知2.有限制条件的组合问题例5从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

种.【答案】34探究新知◆有限制条件的组合问题的解题原则和方法1.三大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则.2.常用方法（1）直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素，再安排其他元素.（2）间接法：原则是“正难则反”，也就是当正面问题分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.探究新知DC探究新知3.［2020·内蒙古集宁一中高二期中］一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行解答，其中至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 （）A.40

B.74

C.84 D.2004.［2020·吉林一中高二期末］从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A.140种

B.80种 C.100种 D.70种5.［2020·北京一零一中学高二期末］某中学从4名男生和4名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 （）A.68种

B.70种 C.240种 D.280种BDA探究新知3.分组、分配问题例66本不同的书在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（5）分成三组，1组4本，另外两组各1本；（6）分给甲、乙、丙三人，一人得4本，另外两人各得1本；（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.探究新知探究新知探究新知3.分配问题的处理方法.将n个元素按一定要求分给m个人，称为分配问题.分组问题和分配问题是不同的，对于分组问题，组与组之间只要元素个数相同，就是不可区分的；对于分配问题，若组与组之间元素个数相同，但因人不同，仍然是可以区分的.分组问题属于“组合”问题，分配问题属于“排列”问题.一般地，既有分组又有分配的问题，要先分组再分配.探究新知训练题1.［2020·宁夏银川一中高二期中］数学竞赛前，某学校由3名教师对5名参赛学生进行“特训”，要求每名教师的“特训”学生不超过2人，则不同的“特训”方案有 （）A.60种

B.90种 C.150种

D.120种2.［2020·山西省实验中学高二月考］某学校安排A，B，C，D，E五位老师去三个地区支教，每个地区至少去1人，则不同的安排方法有 （）A.25种

B.150种

C.480种

D.540种BB探究新知1．以下四个问题，属于组合问题的是 (

)A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地【答案】C【解析】只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．课堂练习2．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有 (

)A．36个 B．24个C．18个 D．6个

【答案】A课堂练习3．某班级要从4名男生、2名女生中派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 (

)A．14 B．24C．28 D．48【答案】A【解析】可分类完成．第1类，选派1名女生、3名男生(男1男2男3，男1男2男4，男1男3男4，男2男3男4)，有2×4＝8(种)选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生(男1男2，男1男3，男1男4，男2男3，男2男4，男3男4)，有1×6＝6(种)选派方案．故共有8＋6＝14(种)不同的选派方案．课堂练习4．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．【答案】60【解析】根据题意，一等奖有6种选法，二等奖由剩余的5名选手中选2人，共有10种选法(例举略)，其余的为三等奖，根据分步乘法计数原理所有可能的决赛结果有6×10＝60(种)．课堂练习5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成______条线段；如果是有向线段，共有______条．【答案】10

20课堂练习

【答案】ABC课堂练习7．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门．若要求A类课