近世代数习题拓展

本文格式为Word版，下载可任意编辑——近世代数习题拓展68、设G是一个群，H是G的一个子群，a是G中的一个n阶元素。证明：存在最小正整数m使am?H且m|n。证：由于|a|=n，故an令

n?mq?r,?e?H.从而存在最小正整数m使am?H。又

am?H0?r?m，则由于

H?G,和

，得

ar?an?mq?an?(am)?q?(am)?q?H.但m是使am?H的最小正整数，故

必r=0,从而m|n。

75、设H，K是群G的两个子群。证明：

HK?G?HK?KH.

证：设HK?KH,则任取x?HK,令x?kh,(k?K,h?H)

由于H?G,K?G,故h?1?H,k?1?K,从而x?1?(kh)?1?h?1k?1?HK.又

由

于

HH?H,KK?K,故

(HK)(HK)?H(KH)K?H(HK)K?(HH)(KK)?HK,即HK中任二元素之

积仍属于HK。故HK反之，设HK?G.

?G.任取x?HK,则x?1?HK,令x?1?hk,(h?H,k?K)于是

HK?KH。x?(hk)?1?k?1h?1?KH,故HK?KH.同理可证KH?HK,因此，

57、证明：交换群中所有有限价元素作成子群。对非交换群如何？证：设H是由交换群G中所有有限阶元作成的集合。显然e?H,故H非空。又若a,b?H,设|a|＝m，|b|=n。因G可交换，故(ab)?e,从而ab?H。又因|a?1|=|a|,故a?1?H.因此，H?G.

对非交换群一般不成立。例如，Q上全体2阶可逆方阵八成的乘

?13??12?群中，易知a???0?1??的阶有限，都是２，但易知其?0?1??，b??????乘积ab的阶却无限。即其全体有限阶元素不能作成子群。76、设G是一个阶数大于2的群，且G的每个元素都满足方程

x2?e.证明：G必含有4阶子群。

?e.而

证：证法１.由于G中每个元素都满足方程x2e的阶是1，

故G中除e外的元素的阶都是２，从而每个元素的逆元均为自身。由于G的阶大于２，在G中任取a?e,b?e,a?b,则由上所述，

e,a,b,ab是

G中4个不同的元素。由于G中每个元素都满足方程

x2?e.所以G是一个交换群，故H?{e,a,b,ab}是G的一个4阶子群。

证法2：在G中任取a?e,则由于a2?e,故H?{e,a}?G.又因G的阶大于2，故在G中存在元素b?H,而K?{e,b}?G.又因G是交换群，故HK?{e,a,b,ab}?G.

106、证明：若群G的n阶子群只有一个，则此n阶子群必是G的正规子群。

证：设H是群G的一个n阶子群，则对G中任意元素a,aHa?1也是G的一个阶子群。事实上，任取x,y?aH?1a,令

x?ah1a?1,y?ah2a?1,(h1,h2?H)则

xy?1?ah1a?1?(ah2a?1)?1?a(h1h2)a?1?aHa?1,故aHa?1?G.

?1又当h1?h2时显然ah1a?1?ah2a?1,故aHa?1也是G的一个n阶子群。但由题设，G的n阶子群只有一个，故aHa?1?H,(?a?G)从而H?G.128、证明：对任何固定的正整数n，互不同构的n阶群只有有限个。

证：由Cayley定理知，任何n阶群都同n次对称群Sn的一个子群同构，而Sn是n!阶有限群，它只有有限个子群，故互不同构的n阶群只有有限个。

11、设G是群，H?G,且[G:H]?m.证明：对每个x?G,都有xm?H.证明：由于H是G的正规子群，因此有商群G/H.又由于[G:H]?m.所以G/H.的阶为m.于是对任意的x?G,xmH?(xH)m?e?eH?H,因此xm?H.H

70、设G是一个2n阶交换群。证明：假使是n一个奇数，则G有而且只有一个2阶子群。（期中考试题）证：显然，即要证G有且仅有一个2阶元素。

由于阶数大于2的元素在G中成对出现，而单位元e的阶是1，又G的阶是2n，故G中必有2阶元素，且有奇数个。设a是G的一个2阶元素，则H?{e,a}便是G的一个2阶子群。假使G另有2阶元素b?a,则K?{e,b}便是一个异于H的子群。由于G是交换群，故HK?{e,a,b,ab}是G的一个4阶子群，于是由

Lagrange定理知，|HK|︳|G|,即

4|2n.这与n是奇数矛盾。故G只能

有一个2阶元素，即只能有一个2阶子群。

69、设H是群G的一个子群，a?G,又am?H,an?H,其中m,n是两个整数。证明：若(m,n)?1,，则a?H.（期中考试题）证：由于

(m,n)?1,故存在整数

s,t使

ms?nt?1.于是有

a?ams?nt?(am)s(an)t.但是由题设am?H,an?H,而H是群G的一个子

群，故a?(am)s(an)t?H.

58、试求出三次对称群S3?{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}的所有子群。（期中考试题）

解：易知S3的以下六个子集

H1?{(1)},H2?{(1),(12)},H3?{(1),(13)},H4?{(1),(23)},H5?{(1),(123),(132)},H6?S3对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子群。下证S3仅有这六个子群。

设H为S3的任一非平凡子群，则由于H的阶是S3的阶的因数，故只能H的阶为2,3.

（1）当H的阶为2时，H中除单位元外，另一个元素只能是一个2（12），（13），（23）阶元。但S3的2阶元只有三个，即，因此，H

只能是H2，H3，H4.

当H的阶为3时，由Lagrange定理知，H中元素