函数的幂级数展开41704

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§2函数的幂级数展开

(一)教学目的：

把握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开．熟记一些初等函数的幂级数展开式.(二)教学内容：

泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义；五种基本初等函数的幂级数展开式．基本要求：

(1)把握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开．(2)学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开．(三)教学建议：

(1)要求学生必需把握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂级数展开某些初等函数或作间接展开．

(2)对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题Taylor级数

设函数f(x)在点x0有任意阶导数.

Taylor公式：f(x)??k?0nf(k)(x0)(x?x0)k?Rn(x)?k!f??(x0)f(n)(x0)2?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x).

2!n!余项Rn(x)的形式:

Peano型余项:Rn(x)?o(x?x0)n,

（只要求在点x0的某邻域内有n?1阶导数，f(n)??(x0)存在）

f(n?1)(?)(x?x0)n?1,?在x与x0之间.Lagrange型余项:Rn(x)?(n?1)!或Rn(x)?f(n?1)?x0??(x?x0)?(n?1)!(x?x0)n?1,0???1.

积分型余项:当函数f(x)在点x0的某邻域内有n?1阶连续导数时,有Rn(x)?

1x(n?1)nf(t)(x?t)dt.?x0n!

Cauchy余项:在上述积分型余项的条件下,有Cauchy余项

Rn(x)?1(n?1)?x0??(x?x0)?(1??)n(x?x0)n?1,0???1.fn!特别地，x0?0时，Cauchy余项为Rn(x)?1(n?1)f(?)(x??)nx,?在0与x之间.n!Taylor公式的项数无限增多时,得

f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)???(x?x0)n???f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2!n!

?n?0?f(n)(x0)(x?x0)n,n!自然会有以下问题:对于在点x0无限次可导的函数f(x),在f(x)的定义域内或在点x0的某邻域内,函数f(x)和其Taylor级数是否相等呢?回复是否定的.例1函数f(x)?n!1(n),在点x?0无限次可微.求得f(x)?n?1(1?x)1?x(x?1),f(n)(0)?n!.其Taylor级数为

2n1?x?x???x????xn?0?n.

?该幂级数的收敛域为(?1,1).仅在区间(?1,1)内有f(x)=由于级数发散.

?xn?0n.而在其他点并不相等,

那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有f(x)和其Taylor级数相等呢?回复也是否定的.

??12?x例2函数f(x)??e,x?0,在点x?0无限次可导且有f?x?0.?0,其Taylor级数?0，在(??,??)内四处收敛.但除了点

(n)(0)?0.，因此

x?0外,函数f(x)和其Taylor级数并不相等.

另一方面,由（和函数的性质）知：在点x0的某邻域内倘有f(x)???an?0?n(x?x0)n,则

f(x)在点x0无限次可导且级数?an(x?x0)n必为函数

n?0f(x)在点x0的Taylor级数.

综上,我们有如下结论:

(1)对于在点x0无限次可导的函数f(x),其Taylor级数可能除点x?x0外均发散;参阅复旦大学编《数学分析》下册P90第9题);即便在点x0的某邻域内其Taylor级数收敛,和函数也未必就是f(x).由此可见,不同的函数可能会有完全一致的Taylor级数.

(2)若幂级数

?an?0?n(x?x0)n在点x0的某邻域内收敛于函数f(x),则该幂级数就是

函数f(x)在点x0的Taylor级数.

于是,为把函数f(x)在点x0的某邻域内表示为关于(x?x0)的幂级数，我们只能考虑其Taylor级数.

4.可展条件:

定理1(必要条件)函数f(x)在点x0可展,?f(x)在点x0有任意阶导数.定理2(充要条件)设函数f(x)在点x0有任意阶导数.则f(x)在区间

(x0?r,x0?r)(r?0)内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对?x??(x0,r),有limRn(x)?0.其中Rn(x)是Taylor公式中的余项.

n??证把函数f(x)展开为n阶Taylor公式,有

|f(x)?Sn(x)|?|Rn(x)|,?f(x)?limSn(x),?limRn(x)?0.

n??n??定理3(充分条件)设函数f(x)在点x0有任意阶导数,且导函数所成函数列

{f(n)(x)}一致有界,则函数f(x)可展.

证利用Lagrange型余项,设|f(n)(x)|?M,则有

|x?x0|n?1f(n?1)(?)n?1|Rn(x)|?(x?x0)?M??0,(n??).

(n?1)!(n?1)!例3展开函数f(x)?x?2x?x?3,1）按x幂;2）按(x?1)幂.解f(0)32?x3?2x2?x?3,f(0)(0)?3,f(0)(?1)??1;

2f??3x?4x?1,f?(0)?1,f?(?1)?8;

f???6x?4,f??(0)??4,f??(?1)??10;f????6,f???(0)?6,f???(?1)?6;f(4)???f(n)???0.

所以,1）f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2f???(0)3x?x?3?x?2x2?x3.2!3!可见,x的多项式Pn(x)的Maclaurin展开式就是其本身.2）f(x)?f(?1)?f?(?1)(x?1)?f??(?1)f???(?1)2(x?1)?(x?1)3?2!3!23??1?8(x?1)?5(x?1)?(x?1).

二.初等函数的幂级数展开式

为得到初等函数的幂级数展开式,或直接展开,或间接展开.

1e?x?n?0?xn,x?(??,??).(验证对?x?R，fn!(n)(x)?ex在

区间[0,x](或[x,0])上有界,得一致有界.因此可展).

a?a?xxlnaxnlnna??,|x|???.

n!n?0?nx2n?12sinx??(?1),x?(??,??).

(2n?1)!n?0x2ncosx??(?1),x?(??,??).

(2n)!n?0?n

可展是由于f(n)n???(x)?sin?x??在(??,??)内一致有界.

a??3.二项式(1?x)m的展开式:

m为正整数时,(1?x)m为多项式,展开式为其自身;

m为不是正整数时,可在区间(?1,1)内展开为

(1?x)m?1?mx?m(m?1)2m(m?1)(m?2)?(m?n?1)nx???x??2!n!对余项的探讨可利用Cauchy余项.

进一步地探讨可知(参阅Г.М.Фихтенгольц《微积分学教程》Vol2其次分册.):

m??1时,收敛域为(?1,1);?1?m?0时,收敛域为(?1,1];m?0时,收敛域为[?1,1].

利用二项式(1?x)的展开式,可得到好多函数的展开式.例如取

mm??1,得

??1?x?x2???(?1)nxn??，x?(?1,1).1?x1m??时,

211?x?1?11?321?3?53x?x?x??,x?(?1,1].22?42?4?6间接展开:利用已知展开式,进行变量代换、四则运算以及微积运算,可得到一些函数的展开式.利用微积运算时,