试题及其答案-弹性力学与有限元分析

12126IIIIIIV345I.编码，以下叙述正确的是(D)。A.①③B.②④C.①④D.③⑤，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力 xyxy121axyxy11axyxy12110、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 . 的位移连续性。 1.边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式，条件和混合边界条件。2.体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为L-2MT-2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为L-1MT-2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，反之为负。3.小孔口应力集中现象中有两个特点：一是孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边1.5倍孔口尺寸的范围内。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。5.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。2．一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程(变形协调条件)。D等于杆截面内的扭矩M。准点)到任一点外力的矩。ij,jiij2i,jj,i+Xij,jiij2i,jj,i.隙。(×)zzxzyxyxyzzxzyxyxy本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力.，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远力分量与求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看(1)取三角形单元的结点位移为基本未知量。(2)应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。(3)应用几何方程，由单元的位移函数求出单元的应变。(4)应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。(5)应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。(6)应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。(7)列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形中各点的位置坐标有关较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是单为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的。 (1)u(x,y)=a+ax2+ay，v(x,y)=a+ax+ay2123456 (2)u(x,y)=ax2+axy+ay2，v(x,y)=ax2+axy+ay2123456答：(1)不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x，y。(2)不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力(主矢与主矩相同)，则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：(1)将次要边界上复杂的面力(集中力、集中力偶等)作分布的面力代替。(2)将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数Q的分离变量形式。题二(2)图(a)〈(a)〈(b)〈(b)〈题二(3)图EEla2b2qa2b2(1)EqSPlE4．图示曲杆，在rb边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力P。试写出其边界条件(除固定端外)。题二(4)图(1)r(2)rq,rbrarrrb0rarraa5．试简述拉甫(Love)位移函数法、伽辽金(Galerkin)位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性LoveGalerkin问题的基本思想：位移函数u(x,y),v(x,y),w(x,y)或ur(r,),u(r,)为求一些特殊函数，如调和函数、重调和函数。(2)变求多个函数为求单个函数(特殊函数)。.Galerkin位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。1.(8分)弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：(答出标注的内容即可给满分)1)连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2)完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。3)均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数(如弹性模量E和泊松比μ等)就不随位置坐标而变化。4)各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5)小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2.(8分)弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量装,装,T存在，且仅为x,y的函数。xyxy平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量c,c,Y存在，且仅为x,y的函数。xyxy(3)若为多连体，还须满足位移单值条件。么？(5分)理性质在各个方向上均相同。因此，物体的弹性.切变模量G和泊松系数(泊松比)μ都不随方向而改变(在各个方向上相同)。(5分)平衡微分方程、位移边界条件和(用位移表示的)应力边界条件既是求解的条件，V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建在研究内容方面：材料力学研究杆件(如梁、柱和轴)的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在材料力学基础上研究杆系结构(如桁架、刚架等)；在研究方法方面：理力考虑整体的平衡(只决定整体的V运动状态)；材力考虑有?x4?x2?y2?y4中，哪一种解法不需要将相容方程作为基本方答：(1)连续体的形变分量(和应力分量)不是相互独立的，它们之间必须满足相存在，相容方程也因此成为判断弹性力学问题解答正(2)对于按位移求解(位移法)和按应力求解(应力法)两种方法，对弹性力学问题|?x?y.(3)(定义)按位移求解(位移法)是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件只含位移分量的方程和相应的边界条件，并由此解出xyxyxyxy解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：(1)在区域内的平衡微分方程ss)对于多连体的位移单值条件。(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此(2)为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系BCx1y22xy23得2.23即1323Q3C2023QQQQQQxyxyxyxyxy yxxyxyy2xyx2yxxyy2xyx2yxxyxyxyy2x1yx2y1x1xy2()2()y2x1yx2y1x1xyxyxy xyxy.xyxy xyxy即(1)相容。xyxyOOyx (==2b，(==0，T=_=0x?y2y?x2xy?x?y当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四fTf2xxyy=_hyyy=_h222xxyy=hyyy=h22.2xxx=一lyxyx=一l22xxx=lyxyx=l2应力函数Q=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布压力(b<0)的问题。OOyxx?y2y?x2xy?x?y当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四x?y2y?x2xy?x?y当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四xxyy=一hyyy=一h222xxyy=hyyy=h22ll2xxx=一lyxyx=一l2ll2x=xxlx=2yxyyxylx2xxQ(x,y)=f(x)y+f(x)12满足的相容方程则可得.OObpgqyy的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解(全柱内的y值都应该满足它)，，即1d4fd4f(x)x2对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得y?x2_(T)=C=0xyx=0xyxyyxxy?x?y.b00y0000xyb(b)xyb(b)虽然上述结果并不严格满足上端面处(y=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远示为f=-，ff=-，f=-，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，x?xy?yxyxy|l?yy?x?B?B.|?xx?y|?xx?y得通解，将其中第一个方程改写为?xx?yyxx?yyxx?yyx?x?yy?xyx?A?B=?x?y=因而又一定存在某一函数p(x,y)，使得?y?x.xyyxxy?x?yxyyxxy?x?y应力问题的相容方程，得应变问题的相容方程，得axayx?y2xy?x2yxy?x?yx?y2xy?x2yxy?x?y.xyxy23xyxy设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tana=h。根据力的平衡，固定端对梁的约束l1反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为一pglh。因此，所求装在这部分边界上2x1合成的主矢应为零，t应当合成为反力一pglh。xy200x=l0120xyx=l0222OOay22式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二装=-xf=2cx+6dy装=-xf=2cx+6dy,装=-yf=6ax+2by-pgy,T=-=-2bx-2cyx?y2xy?x2y1xy?x?y2-(装)=-6dy=pgyxx=02d=-2d=-26-(T)=2cy=0xyxx2y1xy(2)22111613222x2y1221xy2三、计算题1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d的集中力作用，单位宽度上集中力的题三(1)图rr?rr2?92r2rr?rr2?92r2o=9?r2代入应力分量式，有r1(2A+B)=0r2(2)取一半径为r由该脱离体的平衡，得将t代入并积分，有r9"r9_2"r2"r2_2Asin29+B+M=0得B"+M=0(2)"_2联立式(1)、(2)求得：MPdPdMPdPd代入应力分量式，得r"r29r9"r2r"r29r9"r2结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力o由材料力学公式给出，试由平衡微x分方程求出t,o，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。xyy(12分)(4)22(4)22.题三(2)图解：(1)求横截面上正应力装x任意截面的弯矩为M=-任意截面的弯矩为M=-0x3，截面惯性矩为I=，由材料力学计算公式有l12My2q(1)(1)xIlh3(2)由平衡微分方程求T、装xyy其中，X=0,Y=0。将式(1)代入式(2)，有 积分上式，得xylh31h2h24lh31T将式(4)代入式(3)，有积分得f(x)=-3q0x2h214lh3lh4?ylh34yqxy?ylh34xylh3342qyy=-hlyy=+h(6)ql23=-0=Mhy(6)ql23=-0=Mhy.llh32482ff(x)=-0x2l将其代入第一式，得-0x--0x-0x=-0x2l2ll自然成立。2y将f(x)代入2y(5)(5)装=My=-2q0x3yxIlh3T=3q0x2(y2-1h2)xylh34ylh3342lylh3342l(1)梁左端的边界(x=0)：代入后可见：自然满足。代入后可见：自然满足。22(2)梁右端的边界(x=l)：-hxx=l-hlh32-hxyx=l-hlh34222x=l-hxx=l-hlh33lh3-222x=l-2可见，所有边界条件均满足。检验应力分量装,T,装是否满足应力相容方程：xxyy常体力下的应力相容方程为条2((+()=(?2+?2)((+()=0xy?x2?y2xy将应力分量(,T,(式(6)代入应力相容方程，有xxyy?x2xylh3?y2xylh324q0xy士0xy?x2?y2xylh3显然，应力分量(,T,(不满足应力相容方程，因而式(6)并不是该该问题的正确解。xxyy3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度EI为常数，梁端支承弹簧的刚度系(1)构造两种形式(多项式、三角函数)的梁挠度试函数w(x)；(2)用最小势能原理或Ritz法求其多项式形式的挠度近似解(取1项待定系数)。(13分)题二(3)图解：两种形式的梁挠度试函数可取为3ml12——多项式函数形式——三角函数形式1232mlmx=0lmx=0梁的端部边界条件。梁的总势能为=2]01=2]01|.1代入总势能计算式，有201012113213A=0A=0代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为w(x)=ql30x23(4EIl+kl4)xyzxyx(12分)ll113=3=「0ij||1202]00||(l)11|11||l1J1N1111(1))=-qyxy)=-qyxyh1分)1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2.圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同)，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以1.(12分)试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应yy=-h2yxy=-h2yy=+h2j+h2(o)dy=-F，j+h2(o)ydy=-M，j+h2)dy=-F-h2xx=0N-h2xx=0-h2xyx=0Sx=lx=l改用三个积分的应力边界条件代替：j+h2(o)dy=-F+ql，j+h2(o)ydy=-M-Fl-ql2+qlh，j+h2)dy=-F-ql-h2xx=0N1-h2xx=0S62-h2xyx=0S22.(10分)试考察应力函数C=cxy3，c>0，能满足相容方程，并求出应力分量(不计体力)，画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。|-h2xx=l-h22xxy?y4xxy?y4x?y2yxy 2yy=士h2xyy=士h24||3.(14分)设有矩形截面的长竖柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力q,如图5-3所示，试求应力分量。(提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量装=0)x解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可xx(2)推求应力函数的形式。此时，体力分量为f=0,f=pg。将装=0代入应力公式xyxxyx=-b24.G=?2C有G=?2C=0对x积分，得?C=f(x)，(a)x?y2x?y2?y其中f(x)，f(x)都是x的待定函数。1(3)由相容方程求解应力函数。将式(b)代入相容方程C4=0，得d4f(x)dx4dx4这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根(全部竖柱内的y值都应该满足)，可见ddxdx4fxAx+Bx2+Cx，f(x)=Dx3+Ex2(c)1f(x)中的常数项，f1(x)中的一次和常数项已被略去，因为这三项在C的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数(4)由应力函数求应力分量。x?y2xy?x2yTCAxBx-C.xy?x?y(5)考察边界条件。利用边界条件确定待定系数xx=土b2xyx=-b2xyx=+b2e(g)代入，这些边界条件要求：Ab2-Bb-C=qxyx=+b24(f)(i)由(h)(i)(j)得y件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为-b2y-b-b2y-b2j+b2)dx=j+b2(|-3Ax2+qx-C)|dx=-Ab3-bC=0(k)-b2xyy=0-b2(b)4由(h)(j)(k)得qA=-,2q4ABCDEef)(g)得应力分量为：xyb2bxyb2b4?x02h13一阶差分公式为(?f)=1?x02h13(