一元函数微分学教案

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.第二章一元函数微分学一、导数(一人导檄概念1、导数的定义：TOC\o"1-5"\h\z设函数)=/(%)在点X的某个邻域内有定义，当自变量在点X处取得改变量Ar时，0 0Ay函数/(%)取得相应的改变量，Ay=f(x+Ax)-f(x),如果当Arf。时，一的极限o o Ax「Ayrf(x+Ax)-/(x) ，/、存在，即hm/=hmJ—「 存在,则此极限值为函数/(x)在点x的导数,Ar->0八^Ax->0 AX 0可记作尸(X)或W 或乎或等210 A=A0dx『dxX』2、根据定义求导数的步骤(即三步曲) ”①求改变量Ay=/(x+Ax)-/(x)“Ay/(x+Ax)-/(x)lim/(x+Ax)~/(x)Ax—>0②舁比值至二一口一③取极限ylim/(x+Ax)~/(x)Ax—>0Ax->0例i：根据定义求y二举在点x=3处的导数。解：Ay=(3+Ax)2-32=6Ax+(Ax”—=6+AxAxAylim =lim(6+Ax)=6Ar—>0 Ar—>03、导数定义的几种不同表达形式「(、r于(x+Ax)-/(x)f(x)=lim o o-。20 AxU令1=x+Ax0/(x)=lim ° A->AQ ]一%j(x)=lim o-' 0A~oAxU当x=0时0③尸(0)=Hm如)一八°)x—>0 %4、左右导数的定义：Ay如果当—+3-。-)时，京的极限存在，则称此极限为小)在点工。为右导数(左

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.导数)，记为f；(x0)[f(x0)]于(x)一于(x/

x于(x)一于(x/

x-x0f(x)-f(x0)

x-x0f(x)=lim 0 0-二limTOC\o"1-5"\h\z一0 AxAxf0- Ax Ax-0-f(x+Ax)一f(x)f(x)=lim o o—=lim+o AxAx-0+ 八^ Ax-0+5、函数f(x)在点x0处可导的充要条件：f(x)在点x0的左、右导数都存在且相等即尸(x0)存在=f^(x0)=f(x0)【或lim包存在olim—=lim包】Ax―0Ax Ax—0-AA—0+Ax6、函数的可导性与连续性的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续，反之不一定成立。即可导—连续° °例如：y例如：y=1xI在x=0处连续，但不可导。解：0y=IxI=limAy=limAx=0连续TOC\o"1-5"\h\zA―0 Ax—0f(x)—f(x) r—x—0又0f(x)=lim 0-=lim =—1° Ax—0- x Ax—0- xf(x)—f(x)x—01f(x)=lim o-=lim =1+° x—0+ x x—0+xf;(0)中f[(0) f(0)不存在7、导数f(x)与导函数f'(x)之间的区别，联系是什么？0①区别：f'(x0)是数值，x0G(a,b),(x0是取定的)；f(x)是函数xe(a,b),(x是任意一点)；②联系：f'(x)I =f'(x)0x=x0注：导函数f'(x)简称导数8、导数的物理意义和几何意义?①物理意义：瞬时变化率因变量相对自变量的瞬时变化率②几何意义：曲线y=f(x)在点(x0f(x0))处切线的斜率。此时曲线 y=f(x)过点(x0f(x0))处的切线方程：y—f(x0)=f(x0)(x—x0)TOC\o"1-5"\h\z“、 1 ， ,…一法线方程：y一f(x)=-77---(x一x) (f(x)丰0)0f(x) 0 0_o例2、根据定义求y=vG的导数解：Ay=yx+Ax—v：x「Ay - vx+Ax—、；x x+Ax—x 1 1lim——=lim =lim . -=lim -=———Ax—0AxAx—0 Ax Ax—0Ax(%：x+Ax+x;x) Ax—o%：x+Ax+vx 2、、.:x,-、， 1,-、， 1因此(>9)=-产2*xd(\；x) 1或 = -dx 2jx文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.同理可推导：y=Xny'=nxn-1例3、根据定义求y=sinx的导数y'=lim—=y'=lim—=limAxf0AxAxf0sin(x+Ax)-sinxAxAx Ax2cos(x+——)sin一=-lim 2 -Axf0 Ax,.Ax、.Axcos(x+——)sin——=-lim 2 -=cosxAxf0 A~2因止匕(sinx)'=cosx同理可推导(cosx)'=-sinx例4、根据定义求y=lnx的导数AyAy ln(x+Ax)-lnxy=lim=lim Axf0AxAxf0 Axln(1+区)x Ax\，=lim -=limln(1+——)AxAxf0 Ax Axf0 x=lim[ln(1+——)Ax]x=lnex=TOC\o"1-5"\h\zAxf0 x x一 . ,兀 …、一例5、求正弦曲线y―sinx在x—-时的切线方程和法线方程。九1解：y—cosxk—y1 —cos———x」 323•一兀、回y—sin————3 2切线方程:y切线方程:y-福-1(x」)2 2 3即3x-6y-兀+3V3=0<3 -兀、法线方程：y—-——2(x—-)即：12x+6y-4九一3七’3―0小结如何验证y—f(x)在x0处的可导性：⑴、用定义的三种表达形式之一；⑵、也可以用左导数，右导数是否存在并且相等；⑶、下列三种情况之一，函数在x0处肯定不可导：①、函数在x0处不连续；②、函数在x0处左导数和右导数至少有一个不存在;③、函数在x0处左、右导数都存在，但不相等。(二)导数的基本公式与运算法则1、导数的四则运算⑴、(u±vy—u，土M例5、y—x4+sinx-lnx1解：y―4x3+cosx一一文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.⑵、(uv)'=u'v+uv'当u=C时，(cu)'=cu'⑵、(uv)'=u'v+uv'当u=C时，(cu)'=cu'(uvw)=ufvw+uv'w+uvw'例6、J=x7cosx解：J'=(x7)'cosx+x7(cosx)'=7x6cosx-x7sinxiInx例7、J=log,x=吊解：J'=—(lnx)'=---Ina x.lna即:⑶、(logx)'=-1-a x.lna，，(uyuv-uvv例8、J=tanx解：, .sinx、，(sinx)'cosx-sinx(cosx)' cos2x-sin2x1j=( )= = = =sec2xcosx cos2x cos2x cos2x即：(tanx)'=sec2x同理可推得(cotx)'=一csc2x例9、J=secx,/1、,一(cosx)' sinx解：J=( )= = =secx.tanxcosxcos2xcos2x类似可得：(cscx)'=一cscx.cotx2、导数的基本公式1、(C)'=0 2、(xa)'=axa-13、(ax)'=axlna (a>0,a丰1) 4、(ex)'=ex5、(logx)'=—axlna(a>0,a中1)6、(lnx)'=—x7、(sinx)'=cosx8、(cosx)'=-sinx9、9、(tanx)'=sec2x10、(cotx)'=-csc2x11、11、(secx)'=secxtanx12、(cscx)'=-cscxcotx13、1(arcsinx)=113、1(arcsinx)=1—x214、(arccosx)'=- 11-x215、(arctanx)'=—1+x2116、(arccotx)= 1+x2(三)求导方法1、复合函数求法设函数J=f(u)、u=甲(x)且①(x)在点X处可导，f(u)在对应点u处可导，则复合文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.函数y=f[①(x)]在点x处可导，且d=f(u)甲'(x)dx,、 ,dydydu,、 ,dfdfdu或写成丁=丁. 或写成丁=丁.一dXdudX dXdudX例10、y=cot3x解：函数的复合形式y=u3、u=cotxy'=(u3)'(cotx)'=3u2(-csc2x)=-3cot2xcsc2x例11、y=lnsinx3解：函数的复合形式y=lnw、w=sinu、u=x31 1=—cosu.3X2= .cosX3.3X2=3X2.cotX3w sinx32、2、Iu(X),X<X设分段函数f(X)=\,、、0IV(X),X>X0①按导数公式分别求U'(X)、M(X)②判定f(x)在分段点xo处的连续性，若在分段点f(x)不连续，则f(X)在点x0不可导，如果f(X)在点x0处连续，则继续讨论。TOC\o"1-5"\h\z③求分段点的左(右)导数limu'(x)、limv'(x)，如果limu'(x)=limv'(x)，则f(x)XfX- X-X+ XfX- X-X+在点X0处可导。、 IX2,X<1 r例12、设f(X)={ ，试讨论在X=1处的连续性与可导性。[X,X>1解：由于f(1-0)=limf(X)=limx2=1xt!- x-1-f(1+0)=limf(x)=limx=1xt1+ x-1+所以有limf(x)=1=f(1)x—1因此，函数在点X=1处连续f(X)-f(1) X2-1又由于f(1)=lim- =lim——-=2x—1- X1 x-1-X1f(X)-f(1) ].X-11f(1)=lim =lim =1+ xt1+ X-1 xt1+X-1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.0f(1)丰f(1)函数在x=1处不可导。例13、求f(x)=<1「一sin2x,xx0f(1)丰f(1)函数在x=1处不可导。例13、求f(x)=<1「一sin2x,xx0,x=0中0在x=0处导数。解：f'(0)=limf(x)-f⑼x—0 x一01「—.sin2xlim- x—0 xsinx=lim( )2=1x—0x即：f'(0)=1Ix2,x<1例14、设f(x)=|Iax+b,x>1=1处连续且可导，问a,b应取何值。解：0f(x)在x=1处连续，则有limf(x)=x—1-limf(x)=f(1)x—1+lim(ax+b)=a+b=1，即a+b=1x—1+又0f(x)在x=1处可导，则有limf'(1)=limf'(1)x-1一x-1+limx—1一x2—1 ax+b-1 =lim x—1+2=lim =a (a=1-b)x—1+x-1「.a=2，b=1例15、若f(x)的一阶导数存在，且f'(x0)=4，解：limAx—0lim2Ax-02Axf(x0+1)-f(x0) ； +Ax工f(x=lim Ax—01rlim2Ax-02Ax Axf(x0+E)-f(x0-万)试求lim Ax—0 AxAx Ax+k)-f(x)-[f(x-k)-f(x)]2 0 0 2 0AxAxT2八%2八%)+2f，(x0)=f，(x0)=43、隐函数的求导法①、方程两端对自变量x求导②从求导结果中解出y'例16、x2+y2=R2解：2x+2yy'=0文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.y'=-xy(隐函数求导)或y=rR2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.y'=-xy(隐函数求导)或y=rR2—x22\R2—x2 rR2—x2y例17、sin(xy)—ln(x+y)=01+y'c解：cos(xy)(y—xy)— =0x+ycos(xy)(y—xy')(x+y)—1—y'=0y(X+y)cos(xy)—11—x(x+y)cos(xy)4、对数求导法：,1(x—1)(x—2)例18、求y=丫--的导数x—3解：Iny=—[ln(x—1)+ln(x—2)—ln(x—3)]2,1：(x—1)(x—2)y=2\： x—3 (例19、求f(x)=xsinx的导数解：lnf(x)=sinxInxf'(x)=(sinx)'lnx+sinx(lnx)'=cosx.lnx+sinx.—xsinxf(x)=xsinx(cosx.lnx+ )x或f(x)=xsinx=esinxlnx1 sinx\f(x)=esinxlnx(cosx-lnx+sinx•—)=xsmx(cosx-lnx+ )xx5、参数方程的求导法dyIx=W(t)设参数方程1 、Iy=w(t)则dy=d=")

、dxdx①，(t)dtTOC\o"1-5"\h\zIx=acost dy例20、已知圆的参数方程为：| .，求JIy=asint dxdyacost =—cott—asintacost =—cott—asint解： -dxdx (acost)dt

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.Ix=acos31dy例21、设参数方程为：〈 ，求与y=bsin31dxdy解：dy=_d_•dxdxdt(bsin31)' 3bsin21.cost b= = =——tant(acos31)' 3acos21(-sint) a综合举例：例22、已知y=ln[cos(10+3x2)]求y', 1 -sin(10+3x2)(10+3x2)'TOC\o"1-5"\h\z解：y': [cos(10+3x2)]'= -cos(10+3x2) cos(10+3x2)=-6xtan(10+3x2)… 〃； ,y例23、lnx,x2+y2=arctan一确定y是x的函数，求yx解：—[ln(x2+y2)]'=(arctan—)'2 xx2——1——(2x+2yy)=—1—2(x2+y2) 1+(—)x2xx+yy'町'-yx+yy，=xy'-y5、高阶导数如果函数y'=f'(x)的导数存在，则这个导数叫做原来函数y=f(x)的二阶导数，记作用极限来描述f用极限来描述f〃(x)=limAx-0Ax尖—=d(3)或d2f(x)dx2dxdxldx2如果函数y''=f(x)的导数存在，则这个导数叫做原来函数y=f(x)的三阶导数，记作用极限来描述f用极限来描述f''(x)=limAx-0f〃(x+Ax)-f〃(x)

Ax如果函数y(n-1)=f(n-1)(x)的导数存在，则这个导数叫做原来函数y=f(x)的n阶导数，文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.记作y”=fn(x)通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数，四阶以上用数字y(4)表示。求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方法。例25、求y=e的n阶导数。解：y'=exy"=e y(n)=ex例26、求y=xn的n阶导数。解：y'=nxn-i y"=n(n-1)x(n-2) y(n)=n!即：(xn)(n)=n!例27、设f(x)=e-x2求f〃(x)及f〃(0)解：f'(x)=e-x2(-x2)'=-2xe-x2f(x)=-2e-x2+[-2xe-x2(-2x)]=2e-x2(2x2-1)f〃(0)=-2同理可推得(cosx)(n)=cos(x+n.例28、设f(x)=sin(lnx)求f〃(x)解：f'(x)=cos(lnx)(lnx)'=—cos(lnx)xf"(x)=(—)'cos(lnx)+-[cos(lnx)]'=-——cos(lnx)+ [-sin(lnx).—]x2 x x=--[cos(lnx)+sin(lnx)]x2例29、求y=sinx的n阶导数。, 兀解：y=cosx=sin(x+一)2y"=cos(x+—)=sin(x+2.—)22— —y=cos(x+2.—)=sin(x+3.—)y(4)=cos(x+3.—)=sin(x+4.—)22y(n)=sin(x+n.—)二、微分1、微分的定义设函数y=f(x)在点x0处可导，Ax是自变量x的改变量，称f(x0)Ax为函数f(x)在点x0处关于Ax的微分，记为dy=f'(x0)Ax或dy=y'Ax。文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.例1、y=x2在x=1，Ax=0.1，Ax=0.01时的增量及微分。解：Ay=(x+△x)2—x2=2xAx+(Ax)2dy=y'Ax2x.Ax当x=1，Ax=0.1时Ay=2x1x0.1+(0.1)2=0.21dy=2x1x0.1=0.2Ay—dy=0.01当x=1，Ax=0.01时Ay=2x1x0.01+(0.01)2=0.0201dy=2x1x0.01=0.02Ay—dy=0.0001当Ax很小时，Ay—dy更小(即Ay—dy比Ax更高阶的无穷小)即当Ax—0时，Ay—dyf0dy与Ay是等价无穷小(Axf0)求自变量x的微分(即求y=x的微分)dx=dy=(x)，Ax=1.Ax=Ax因此，函数的微分可以写成：dy=y'dx2、分的几何意义当Ay是曲线上割线纵坐标的增量时，dy是对切线的纵坐标增量。3、微分与导数的关系f(x)在点x可微of(x)在点可导，且dy=f(x)dx即f'(x)=与所以导数又叫微商。dx4、微分公式设y=sinx贝|y'=cosx一dy即一=cosx所以微分dy=cosxdxdx同理d(cosx)=—sinxdxd(ax)=axInadxd(tanx)=sec2xdxd(u±v)=du±dvd(u.v)=udv+vdu5、一阶微分形式的不变性设y=f(u)无论u是自变量还是中间变量，其一阶微分都具有形式dy=f(u)du当u是中间变量u=①(x)时，dy=y'dx=f'(u)甲'(x)dx=f'(u)du例2、设y=eax+bx2，求dy解：dy=d(eax+bx2)=eax+bx2d(ax+bx2)=(a+2bx)eax+bx2dx或y'=[eax+bx2丫=eax+bx2(ax+bx2)'=(a+2bx)eax+bx2即：dy=(a+2bx)eax+bx2dx例3、设y=sin(2x+3)，求dy10

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.解：dy=cos(2x+3)d(2x+3)=2cos(2x+3)dx求dy例4、设y-ex+In求dy解：y，=ex+1y，y(1-y)y,-exy'ex.yy-(1-y)y,-exy'ex.yy-iex.y,即：dy dxy-i6、微分在近似计算中的应用。Ay六dyf(x+Ax)-f(x)氏f'(x)Axf(x+Ax)=f(x)-ff(x)Ax0令x-x+Ax，即Ax=x-x0f(x)氏f(x)+f'(x)Ax例5、利用微分求x2的近似值。解：令f(x)-xx，x-1.96，Ax=0.04<2-f(x)氏f(x0)+f(x0)Ax=<1.96+ 1 x0.04-1.4+004=1.414231.96 2.8例6、利用微分求30.02的近似值。解：令f(x)-3x，x-1，Ax=0.0230.02-f(x)氏f(x)+f(x)Ax二万+」x0.02-1+-二巴3" 150150例7、利用微分求sin290的近似值。兀 兀解：令f(x)=sinx，x=300--，Ax 0 6 180sin290-f(x)氏f(x)+f(x)Ax.兀,兀/兀、1 <33.14159-sin—+cos—x(- )---——x 0.4546 6 180 2 2 180例8、利用微分求sin30030'的近似值。兀 兀解：令f(x)-sinx，x=300--，Ax 0 6 360sin30。30'-f(x)氏f(x)+f'(x)Ax=sin—+cos—义o o-1+亘X--0.5+0.0076-0.507663602 2 360例9、利用微分求e1.01的近似值。解：令f(x)-ex，x-1，Ax-0.01e1.01-f(x)氏f(x0)+f(x0)Ax-e1+e1xAx-2.71283+2.71283x0.01-2.71283+0.0271-2.7454例10、证明当x-0时11文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.ln(1+x)氏x(x-0)=x设f(x)=ln(1+x)，取x0ln(1+x)=ln(1+0)+七即：ln(1(x-0)=xsinxpx设f(x)=sinx，取x=0，f'(x)=cosxsinxpsin0+cos0(x-0)=x即：sinxpxtanxpx设f(x)=tanx，取x=0，f'(x)=sec2xtanxptan0+sec20(x-0)=x即：tanxpxexp1+x设f(x)=ex，取x0=0，f'(x)=exexpe0+e0(x-0)=1+x即：exp1+xn1+xp1+—xn设f(x)=n1+x，取x=0，f'(x)=—(1+x)n-1 . 1i1 1n1+x氏n1+0+-(1+0)”t(x-0)=1+-xn1即：n1+xp1+—xn三、导数的应用1、罗尔定理：设函数f(x)满足如下条件：⑴在［a,b］上连续⑵在(a,b)内可导⑶f(a)=f(b)则在(a,b)内至少存在一点自，使得f也)=0几何意义： a<&<b如果例1、设f(x)=x2-2x-3验证它在区间［—1，3］上是否满足罗尔定理的三条件,如果12文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.满足，试求出自的值，使尸值)=。解：因为了(X)=X2-2x-3是初等函数，它在(—00,00)内连续，当然在［—1,3］上连续，因为尸(%)=2%-2在(-1,3)内存在，故了(%)在(-1,3)内可导。在区间端点/(—1)=。、/(3)=0即：/(—1)=/(3)故函数/(%)在［―1,3］满足罗尔定理的三个条件令广(%)=2%-2=2(%-1)=0、解得x=lxe(-1,3)故存在自二1、使得广色)=。2、拉格朗日中值定理设函数/(%)满足如下条件：⑴在［a,b］上连续⑵在(a,b)内可导则在(a,b)内至少存在一点J使得/隹)=〃?一〃")b-a推论1：若尸(%)=。，%£(〃/)则/(%)=。(常数)推论2：若广(x)=g'(x),%£(〃/)则/(%)=翼%)+^例2：验证函数/(X)=ex在区间［0,1］上满足拉格朗日中值定理，并找出相应的点自，使尸1-U解：/(X)=ex在区间［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且尸(x)=ex,则函数在［0,1］上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在一点自，&e(0,1),使广⑼即：诞=『)=m=1口(”1) (0<ln(e-1)<1)例3：证明Isina—sinZ?IVI”一〃I证：令/(x)=sinx,在区间［a,b］上对/(x)应用拉格朗日中值定理，有sinZ?-sina=cos^.(b-a］ a<^<b故Isina-sinb1=1cos^.(b-a)\<\a-b\例4：证明当x>。时，ln(l+x)<x13

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.证：令f(x)=lnx，在区间［1,x+1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理，有ln(1+x)-ln1=匕(1+x)-1]= 2x 2<1+x 故-1<1由上式得ln(1由上式得ln(1+x)<x罗比塔法则设函数f(x),g(x)在a的一个邻域内可导，且⑴limf(x)=0,limg(x)=0⑵在点a的某个领域内(点a可以除外)，且g(x)中0⑶limS⑶limSx—ag'(x)=A(或8)例7、求limx—0x-xcos例7、求limx—0x-xcosxx-sinxlimx—01-cosx+x.sinxlimx—01-cosx02cosx+cosx-xsinx(0)0/0sinx+sinx+xcosx/0、

(—)=lim (—)sinxcosxlimSx—ag，(x)1-cosx例5、求lim x—0sinx=lim 二x—02x31+x—1例6、求lim x—0 x一.ex-1例8、求lim x—0x-(1+x)--(1+x)-3=lim x—0 114

ex2x-l文档来源为:从网络收集整理.wordex2x-l一x—sinx,0、例9、求hm (-)%―0011-cosx/0、一sin%,0、1「sinx1=hm (-)=hm\)=—hm =—x->0 3%2 0 x->06x06一0x 6,, ln(l+x)例10、求hm (2)xf0 不20=limx—>01TOC\o"1-5"\h\z=lim =oo.52x(x+1).1x2sm— 0例H、求lim—；一- (-) 罗比塔法则失效(P152例6)…smx 0,11 xsm—八「x.1 % 0八=hm .xsm—=hm—； =—=0Dsinxx5sinx1说明在罗比塔法则中①将1—。、改为％-8,法则仍然成立_ 00②条件①改为lim/(x)=oo,limg(x)=oo结论仍然成立(―)00例12、求下列极限COln2xCO①lim X—>+coX2In% 2=lim———=lim21n'=lim—=01 x 1X—>+00 A Xf+8人 X—>+00A00JQ200②lim—— (a>0)尤一+8eax=lim(—)=lim—?—=0%—>+oo“eax x—>+ooa?eax「ln(sinax)产、③lim ； (―)1

a.cosax=lim^^ i0°1

a.cosax=lim^^ i0° bCOSbxsinZ?xa「sinbx.cosaxa-bx.cosax,=—hm- =—hm =1b°+8sinax.cosbx b~+0cax.cosbx例13、求下列极限15文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.eeX⑴lim—(n为自然数)Xf+—Xn=lim=limXf+—nXn-1xf+-n(n―1)xn一=lim=limXf+—nXn-1xf+-n(n―1)xn一2一. ex=lim—=+—工n!X-+8 ’•Xn⑵lim—Xf+—eXnxn-1lim n!=lim一=0Xf+-eXlnnX⑶lim Xf+—Xn.(lnx)n-11=lim Xn.(lnx)n-1 n(n-1)(lnx)n-2lim =lim Xf+8n!-=lim—=0Xf+-X例14、求lim兀X-2tanxtan3xlimcoS2X1cos23x1 2cos3x.(-3sin3x)=—lim =—lim COS23X3Kcos2XXf23江2cosx.(-sinx)X-2s.sin6x

s.sin6x

lim 兀sin2xXf2「6cos6x.lim =3兀2cos2xXf2例15、=lim求limxf0+1(例15、=lim求limxf0+1( .(■cotXIncotxInxXf0+sin2x1=一limXf0+sinx.cosx=-limXlimxf0+sinXXf0+cosX(n>0)(n>0)例16、求lim-Xf+-Xn1=lim—X—=limXf+—nXn-1 Xf+—nXneX例17、求lim一Xf+—X2exex=lim——=lim—=+—,2X,2Xf+—'人Xf+—J例18、求下列极限16

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.TOC\o"1-5"\h\zx-sinx /0、lim (一)x.0 2x3 0-cosxO0sinx1=lim (—)=lim=—x.06x2 0 x.012x12xm-am /0、lim (—)x.axn-an 0mxm-1=limmxm-1=lim x.anxn-1其它未定式①（08）②（8-8）③（00）④（18）⑤（80）兀例19、求limx(一-arctanx)x.+8 2（0.8）兀--arctanx八二lim2_^其它未定式①（08）②（8-8）③（00）④（18）⑤（80）兀例19、求limx(一-arctanx)x.+8 2（0.8）兀--arctanx八二lim2_^(0)x.+8 0=lim—1+x2x.+8=lim=1x.+81+x2例20、求limx21nxx.0+（0.8）x.0+x-2 8x.0+—2x-3=limx.0+例21、求lim(x.1x-1lnx（8-8）=limx-.1xlnx-x+1(x-1)lnx「lnx+1-1 -lnx=lim =lim x.1x——+lnx x.11--+lnxxx=limx.111——+—x2 x11例22、求lim(----)x.0sinxx（8-8）=limx.0x-sinx/0、 (—)=lim1-cosx0 (―)=limsinxx.sinx0 x.0sinx+x.cosx0 x.0cosx+cosx-x.sinxTOC\o"1-5"\h\z例23、求lim(sinx)2x (00)x.0+解：设>-(sinx)2x lny=2xln(sinx)2ln(sinx)尸、limlny-lim2xln(sinx)-lim (一)x.0+ x.0+ x.0+ x-1 8cosx-lim―sinx-lim(-2x.cosx.>)-0x.0+-x-2 x.0+ sinx因止匕 lim(sinx)2x-exi二lny-e0-1x.0+17文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.例24例24、求limxxx—0+(00)解：设y解：设y=xxlny=xlnxlnxlimlny=limx.lnx=lim=limlnxlimlny=limx.lnx=lim=lim—x—=lim(-x)=0x—0+limxxx—0+x—0+limx.lnx=ex—0+x—0+x-1 x—0+-x-2x—0+例25、求limx1-x

x—1(1s)解：设y=xi-x则lny=-^lnx

1-xlimlny=limlnx1-x=lim—x—1—1limx1limx1-x=e-1x—1例26、求lim(cotx)lnx

x—0+(80)解：设y解：设y=(cotx)lnx则lny=—!—lncotx

lnxlimlny=limx—0limlny=limx—0+—lncotxlnx=limx—0+cotx.sin2x=limx—0+cosx.sinx故lim(cotx)故lim(cotx)lnx=exRlnyx—0+1=e-1=-e(三)导数的几何应用1、函数的增减性设函数f设函数f(x)在区间(a,b)内可导那么①如果在(a,b)内f'(x)>0，则f(x)在该区间内单调增加(上升)②如果在(a,b)内f'(x)<0，则f(x)在该区间内单调减少(下降)确定函数y=f(x)的单调区间的步骤:18文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.①求出f'(%)=0的点(驻点)及f'(x0)不存在的点；②确定y=f(x)的定义域，由①中的点将f(x)的定义域分成若干个部分区间；③在每个部分区间上讨论f'(x)的符号，根据f(X)在每个部分区间上的符号，决定函数的单调区间。例27、确定函数f(x)=x3—3x的单调增减区间。解：f(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)令f(x)=0，则xi=-1，x2=1x(-8,-1)(-1,1)(-1,+8)y'++y上升/下降'上升/例28、确定函数f(x)=x3的单调增减性。解：0f(x)=3x2>0二•函数f(x)=x3在内(-8,+8)单调增加2、函数的极值1、函数极值的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，且①若对邻域中任何点x恒有f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大值，x0称为函数f(x)的极大值点;②若对邻域中任何点x恒有f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极小值，x0称为函数f(x)的极小值点。2、极值点的必要条件：设函数f(x)在点x0有导数，且x0是f(x)的极值点，则函数在x0处的导数f(x0)=0。［说明］:⑴对可导函数而言，使fr(x)=0的点叫f(x)的驻点。0⑵若f(x)导数不存在的点也可能是f(x)的极值点。例如：y=1xI+1在x0=0处不可导，但y(0)=1是y的极小值。19文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.所以f(x0)是极值的必要条件又可以叙述为：x0是驻点或是不可微点。3、极值的第一判定法设f(x)在x°及其邻域可导，且f'(x°)：0(或在x°处可以不可导，但连续)⑴若f'(x)经过x°由正变负，则f(x°)是极大值；⑵若f'(x)经过x°由负变正，则f(xO)是极小值；⑶若f'(x)经过x°不变号，则f(x°)不是极值。求极值的步骤：①求f'(x)②令f(x)=0求出所有驻点和不可导点；③判别f'(x)在驻点和不可导点左右附近的符号变化情况；④求出极值。x42 x2例29、求f(x)=---x3+--+2的极值。I-J 4解：f'(x)=x3-2x2+x=x(x-1)2令x(x-1)2二°，驻点为5=°，x2=1x(-8,0)°(0,1)1(1,+8)y°十°十y下降'极小值f(0)=2上升/上升/当x=°时，f(x)有极小值f(°)=2(极小值点为x=°)例3°、求函数f(x)=(x-1)2(x+1)3的单调增减区间和极值。解：f'(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2:(x-1)(x+1)2[2(x+1)+3(x-1)]:(x-1)(x+1)2(5x-1)令/(x)=0，得驻点x=-1,%=!x=11 2 5 32°文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.x(—8,-1)—1(-1，15)出(⑷)1(1,+8)f(x)十0十00十f(x)上升/上升/极大值下降'极小值f(1)=0上升/1 “1、3456当x=彳时，有极大值于(―)二百不J J JJL/J当x=1时，有极小值f(1)=0… 32例31、求函数f(x)=x--x3的单调增减区间和极值。乙1解：f'(x)=1-x一3可能的极值点5=1(驻点)和,x2=0(不可导点)x(-8,0)0(0,1)1(1,+8)f(x)十不存在0十f(x)上升/极大值f(0)=0下降'极小值f(1)=-1/2上升/当x=0时，有极大值f(0)=0当x=1时，有极小值f(1)=-14、极值的第二种判定法设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f'(x)=0，f〃(x)中0，则⑴f〃(x0)<0，则f(x0)是极大值⑵f"(x0)>0，则f(x0)是极小值注：当f〃(x)=0时(第二判别法失效)例32、求函数f(x)=x3-3x的极值。解：f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)f〃(x)=6x21文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.令f(x)=0时，得x1=—1,x2=1f〃(—1)=—6<0，所以f(-1)=2为极大值f