惯性定理正定二次型

惯性定理正定二次型第1页，共28页，2023年，2月20日，星期四6.3

惯性定理和二次型的规范形定理6.3(惯性定理)对于一个n元二次型xTAx，不论做怎样的坐标变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p和负平方项的项数q是由A唯一确定的。或者说,对于实对称矩阵A，不论取怎样的可逆矩阵C,只要使CTAC==diag(d1,

,dp,dp+1,

,dp+q,0,,0)

其中，di>0(i=1,,p+q),p+qn

成立，则p和q是由A唯一确定的。第2页，共28页，2023年，2月20日，星期四证：因此，只需证明p由A惟一确定.由秩(A)=秩(CT

A

C)=p+q,知

p+q

由A唯一确定.设实二次型f=xT

A

x,经由坐标变换设p+q=r(A)=r,x=By

和x=Cz①(B,C都可逆)分别化为标准形：f=b1y12++bpyp2

bp+1yP+12-bryr2②f=c1z12++ctzt2ct+1zt+12

crzr2

③(bi,ci>0,i=1,,r)要证正平方项的项数是唯一的.即要证明：p=t.第3页，共28页，2023年，2月20日，星期四用反证法：假设p>t，此时由②和③可得f=b1y12++btyt2

+bt+1yt+12++bpyp2

bp+1yp+12bryr2

=c1z12++ctzt2ct+1zt+12

cpzp2cp+1zp+12

crzr2④由①

z=C1x=(C

1B)y=Dy（其中D=C1B），即⑤第4页，共28页，2023年，2月20日，星期四为了从④式中找到矛盾，令z1=z2==zt=0,yp+1==yn=0,代入⑤式,得到y1,y2,…,yn的线性方程组⑥齐次线性方程组⑥有n个未知量，但方程个数为

t+(np)=n(pt)<n,故必有非零解。第5页，共28页，2023年，2月20日，星期四由于yp+1==yn=0,故⑥式非零解中y1,y2,,yp

不全为零将它们再代入④式得f=b1y12++btyt2+bt+1yt+12++bpyp2

>0⑦将⑥的非零解代入⑤式得到z1,…,zt,…,zn的一组值(其中z1=z2==zt=0)将它们再代入④式，又得f=ct+1

zt+12cp

zp2

cr

zr20 ⑧⑦,⑧二式显然是矛盾的，故假设的p>t不能成立.同理可证tp，得p=t。故p

和q=r

p

是由A唯一确定的。第6页，共28页，2023年，2月20日，星期四定义6.3

二次型xTAx的标准形中，正平方项项数p称为二次型(或矩阵A)的正惯性指数；负平方项项数q=rp称为二次型(或矩阵A)的负惯性指数；正负惯性指数的差pq=2pr称为符号差。秩(A)=r

也叫二次型的秩。推论

设

A为

n

阶实对称矩阵，正、负惯性指数分别为

p和

q，则

A

≃

diag(1,

,1,1,,1,0,,0).其中1有p个,1有q个,0有n(p+q)个。换句话说，第7页，共28页，2023年，2月20日，星期四对于二次型xTAx

存在坐标变换x=Cy

，使得

xTAx=y12++yp2

yp+12-yr2

(r=p+q)上式右端称为xTAx的规范形。推论之证明:由定理6.2~6.3知

,存在可逆矩阵C1,使C1TAC1=diag(d1,

,dp,dp+1,

,dp+q,0,,0)其中di>0(i=1,,p+q)。取可逆阵第8页，共28页，2023年，2月20日，星期四则则

CTAC=diag(1,

,1,1,,1,0,,0)若n阶实对称矩阵A

与B

合同，也称对应的二次型

xT

A

x

和xT

B

x

合同。注意：一个实对称矩阵A的合同规范形是唯一的。1)两个n阶实对称矩阵A和B合同的充要条件是它们的正、负惯性指数分别相等；2)全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类(不考虑+1，1,0的排列次序)可以划分为(n+1)(n+2)/2类。第9页，共28页，2023年，2月20日，星期四6.4

正定二次型和正定矩阵定义6.4

如果n元实二次型f(x1,x2,,xn)=xTAx,x=(x1,x2,,xn

)T0(xRn),恒有xTAx

>0,就称xTAx为正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。由定义可得：(1)n元实二次型(标准形) f=(x1,x2,,xn)=d1x12+d2x22++dnxn2

正定的充分必要条件是di>0(i=1,2,,n)。充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在di0，取xi=1,xj=0(ji)，便有f(0,,0,1,0,,0)=di0。这与二次型正定相矛盾。第10页，共28页，2023年，2月20日，星期四(2)对二次型f=xTAx经过非退化的线性变换x=Cy,

化为f=yT(CTAC)y，其正定性保持不变。这是因为：y00，由于C可逆,相应的x0=Cy00若f=xTAx是正定的，f=y0T(CTAC)y0=x0TAx0>0，即

y0T(CTAC)y0正定，反之亦然。所以,一个二次型xTAx通过非退化的线性变换x=Cy,将其化为标准形

yT(CTAC)y=d1y12+d2y22++dnyn2,即A合同于对角矩阵

CTA

C=diag(d1,d2,,dn

)

，就容易判断其正定性。第11页，共28页，2023年，2月20日，星期四定理6.4

若A

为n阶实对称矩阵，下列命题等价：

(1)xT

A

x是正定二次型(或A是正定矩阵);(2)A的正惯性指数为n

，即A≃I；

(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；

(4)A的n个特征值1,2,,n都大于零。证:(1)(2)由定理6.2,对于A,存在可逆矩阵C,使得CTA

C=diag(d1,d2,,dn

)假设A的正惯性指数<n,则存在di0,作线性变换x=Cy,xTAx=yT(CTAC)y=d1y12+d2y22++dnyn2,取yi=1,yj=0(ji)，便有xTAx=yT(CTAC)y=diyi20与(1)矛盾，故A的正惯性指数=n,即A≃I第12页，共28页，2023年，2月20日，星期四(2)(3)∵A≃I，∴存在可逆阵C使得CTAC=I于是A=(C

T)1

C

1,令P=C

1，于是,A=P

T

P

。(3)(4)设Ax=x(x0),即(PT

P)x=x,从而有xTPTPx=xTx,即(Px,Px)=(x,x)由P是可逆矩阵和x0,得Px0，故特征值(4)(1)对于n阶实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得QTA

Q=diag(1,

2,,

n

)作正交变换x=Qy

得xTAx=1y12+2y22++nyn2由于1,,n

都大于零，故

xTAx是正定二次型。第13页，共28页，2023年，2月20日，星期四例1

证明:若A是正定矩阵,则A1也是正定矩阵。正定矩阵是满秩的实对称矩阵,所以A可逆,且证:A1

也是实对称矩阵。下证A1是正定的.方法1:用定义证.方法2:利用定理6.4中,(1)(4).设Ax=x(x0)，则A1

x=1

x(x0)。由于A的n个特征值都大于零，所以A1的n个特征值1也都大于零。故A1正定。第14页，共28页，2023年，2月20日，星期四例2

判断三元二次型是否是正定二次型。解:解法1:二次型的对应矩阵其特征多项式为

I

A=(1)[(

1)2

1/2]，所以二次型正定。解法2:用配方法得正定。第15页，共28页，2023年，2月20日，星期四例3

判别三元二次型是否是正定二次型。解法1：∵f(1,1,0)=3+14=0故f不

是正定的。解法2二次型的对应矩阵的特征方程为 I

A=(1)(

2

6

3)=0特征值故f不

是正定的。第16页，共28页，2023年，2月20日，星期四定理6.5

若n元二次型xTAx正定，则

(1)A的主对角元aii>0(i=1,2,…,n)；

(2)A的行列式detA>0。证：(1)因xTAx正定，取第i个分量xi=1,其余分量为0的向量ei=(0,,0,1,0,,0)T，则有eiTAei=aii>0(i=1,,n)。(2)因A正定，存在可逆矩阵P，使得A=PT

P

，从而A=PTP=P2>0或正定矩阵A的特征值都大于零,得A=12n>0。第17页，共28页，2023年，2月20日，星期四A=0，B<0，C

中c11<0根据定理，A,B,C都不是正定的。可见：D满足定理6.5的条件，却不是正定的。定理6.5的条件是矩阵正定的必要非充分条件。第18页，共28页，2023年，2月20日，星期四定理6.6

n元二次型xTAx

正定的充分必要条件是A

的n个顺序主子式都大于零。证：设A=(aij)nn,则A的k阶顺序主子式为：必要性：取xk=(x1,,xk)T0,x=(x1,,xk,0,,0)T,记为x=(xkT,0)T0,则有对一切xk0成立。故x1,,xk

的k元二次型是正定的。由定理6.5得Δk>0(k=1,,n).必要性得证.第19页，共28页，2023年，2月20日，星期四充分性：对矩阵A的阶数n作数学归纳法。当n=1时，a11>0,xTAx=a11x12>0

(x10),充分性成立.假设充分性对n

1元二次型成立；对n元二次型，将A分块为其中=(a1n,a2n,,an-1,n)T根据定理6.4，只需证明A≃I第20页，共28页，2023年，2月20日，星期四由于C12A=An-1b>0,An-1>0，即得

b>0。由归纳假设,An-1

正定,故存在n1阶可逆矩阵G，使得第21页，共28页，2023年，2月20日，星期四故

A≃I，A正定。证毕。这个定理称为霍尔维茨定理．第22页，共28页，2023年，2月20日，星期四例如判别二次型是否正定.解:它的顺序主子式故上述二次型是正定的.第23页，共28页，2023年，2月20日，星期四例4

证明：若A是n阶正定矩阵，则存在正定矩阵B，使得A=B

2。证：∵正定矩阵A是实对称矩阵,所以存在正交阵Q使得第24页，共28页，2023年，2月20日，星期四6.5其他有定二次型定义6.5

如果x

=(x1,,xn)T0，恒有二次型

(1)xTAx0,但至少存在一个

x00，使得

x0TAx0=0，则称

xTAx为半正定二次型，A为半正定矩阵；

(2)xTAx<0,则称

xTAx为负定二次型,A为负定矩阵；(3)xTAx0，但至少存在一个

x00，使得

x0TAx0=0，则称

xTAx为半负定二次型，A为半负定矩阵。第25页，共28页，2023年，2月20日，星期四正定,半正定,负定,半负定二次型统称为有定二次型.不是有定的二次型，就称为不定二次型。当di<0(i=1,2,,n)时，是负