2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修第二册 7.2 排列 课件（33张）

7.2排列

第7章

计数原理教师xxx苏教版（2019）

选择性必修第二册A，B，C，3个同学排成一行照相，有多少种不同的排法？①A、B、C②A、C、B③B、A、C④B、C、A⑤C、A、B⑥C、B、A共有6种排法.在排列位置照相时，先确定第一个人的位置，其他两人自由排列，数出有几种排列方法，依次类推，这样可以不重复、不遗漏地数出一共有多少种排法.问题引入从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?上午下午相应的选法乙丙

甲乙甲丙丙甲乙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙我们把上面问题中被取出的对象叫做元素.上述问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法．共有6种选法.问题引入从a、b、c、d这4个字母中，每次取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分3个步骤：第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法．探究新知a

bcdbcdacdabdabccdbdbccdadacbdadabbcacab所有的排法abcabdacbacdadbadc

bacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdb

dabdacdbadbcdcadcb探究新知树形图的画法：(1)确定首位，以哪个元素在首位为分类标准进行确定首位.(2)确定第二位，在每一个分支上再按余下的元素，在前面元素不变的情况下定第二位并按顺序分类.(3)重复以上步骤，直到写完一个排列为止.探究新知上面三个问题有什么共同特征？答：上面三个问题都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.探究新知一、排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.定义中包含两个基本内容：取出元素按照一定的顺序排列判断一个问题是否是排列的标志探究新知1.元素不能重复，n个元素中不能重复，m个元素中也不能重复.2.“按一定顺序”，就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键.3.两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同.概念剖析探究新知例1某省中学生足球预选赛每组有6支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1场，那么每组共进行多少场比赛？分析：每组任意2支队之间进行的1场比赛，可以看作是从该组6支队中选取2支，按“主队、客队”的顺序排成的一个排列.解：先从这6支队中选1支为主队，然后从剩下的5支队中选1支为客队，按照分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为：6x5=30典型例题例2（1）一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法？解：可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，共有5x4x3=60种不同的取法.（2）学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？解：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为5x5x5=125典型例题问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法?解析：要解决该问题，可以分为两个步骤：（1）从甲、乙、丙3名同学中选择1名参加上午的活动，有3种方法；（2）从剩下的2名同学中选择1名参加下午的活动，有2种方法；根据分步乘法计数原理，总共有3x2=6种不同的方法.二、排列数探究新知问题2：从a、b、c、d这四个字母中，每次取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分3个步骤：第一步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；第三步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，共有4×3×2=24种不同的排法．探究新知

排列数探究新知从n个不同元素中取出m个元素的排列数

(m≤n)是多少？

（1）可以先从特殊的情况开始研究，如求排列数.

假设有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中选取2个元素去填空，一个空位填上1个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数.

第一步，填第1个位置的元素，可以从n个不同元素中任取1个，有n种选法；第二步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任取1个，有(n-1)种选法；根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为

探究新知（2）同理，求排列数可以按照依次填3个空位的方法来考虑，有

（3）同理，求排列数可以按照依次填m个空位的方法来考虑，

第一步：从n个不同元素中任选一个填在第1位，有n种选法；第二步：从剩下的(n-1)个元素中任选一个填在第2位，有(n-1)种选法；第三步：从剩下的(n-2)个元素中任选一个填在第3位，有(n-2)种选法；......第m步：从剩下的[n-(m-1)]个元素中任选一个填在第m位，有[n-m+1]种选法；根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：n(n-1)(n-2)...[n-m+1]探究新知排列数公式

把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列。此时，排列数公式中m=n，即有

正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，记作n!，所以n个元素的全排列数公式可以写成

规定：0!=1因此，

探究新知总结归纳：（1）排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是n，后面每一个因数都比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数相乘.（2）一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好．（3）排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。探究新知D探究新知

解：根据排列数公式可得（1）=7x6x5=210

（2）=7x6x5x4=840

（4）=6x5x4x3x2x1=6!=720

典型例题例2用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊元素.解法一：由于三位数的百位上不能是0，所以可以分两步完成：根据分步乘法计数原理，所求三位数的个数为：

第一步：确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取1个，有种取法；

第二步：确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取2个，有种取法；

典型例题解法二：符合条件的三位数可以分三类：根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为：

第一类：每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；

第二类：个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在十位和百位，有种取法；

第三类：十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在个位和百位，有种取法；

典型例题

典型例题排队问题的解题策略（相邻、不相邻、定序等问题）：(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.(4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”的原则解决.探究新知1．(多选)下列问题不是排列问题的是 (

)A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？【答案】ACD

【解析】排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选ACD．课堂练习2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为(

)A．6 B．4C．8 D．10【答案】B

课堂练习3．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，则不同的播放方式有 (

)A．12种 B．16种C．18种 D．24种【答案】A

【解析】可分二步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在余下的三个位置排第二个商业广告和两个公益宣

传广告，有3×2×1＝6(种)．根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×6＝12(种)．课堂练习4．2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为________．【答案】60

【解析】由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．课堂练习5．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案(用数字作答)．【答案】60

【解析】将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种)．课堂练习6．