【易错题】高中必修五数学上期中试题(附答案)

【易错题】高中必修五数学上期中试题（附答案）一、选择题.己知等比数列｛%｝的各项均为正数,且%4+%%=18,则10g3+log3a2+log3+・・•+log］。10=（）A.10 B.12 C.l+log35 D.2+log35.己知等比数列｛%｝中,q=l,/+4=6,则%+%=（）A.12 B.10 C.125/2 D.6y/2.设等差数列｛qj的前〃项和为S“，且陪>S”（〃wN）若6+/<0,则（）A.S”的最大值是邑 B.S”的最小值是冬c.s”的最大值是邑 D.s”的最小值是邑3.若正数x，y满足工+2），一0=0,则^——的最大值为（）ZX+VTOC\o"1-5"\h\z3 3A.- B.— C.— D.13 8 7.在等差数列｛/｝中，43+。5+24。=4,则此数列的前13项的和等于（）A.16 B.26 C.8 D.13.己知而_L/，|通|=；,Mq=f,若P点是△ABC所在平面内一点，且—AB4AC人网+何，则的最大值等于（）.A.13 B.15 C.19 D.21A/?+C.在八45。中，角45,C的对边分别是cos2-=——,则AASC的形状为22cA.直角三角形 B,等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形.已知AA5。中，A，3,C的对边分别是。，b,c,且〃=3,c=33,6=30。，则AB边上的中线的长为（）TOC\o"1-5"\h\zA 3" D 3A. B.一\o"CurrentDocument"2 4「3f36 c 3T3"C.一或二― D.一或二—2 2 4 2x>09.已知工，），满足条件｛y<x 仅为常数），若目标函数z=%+3），的最大值为8,则2x+y^k<0

k=()A.-16B.-6D.6c.3.在△ABC中，角A,6,C所对的边分别为a,4c,S表示△A5C的面枳，若A.90°C.45°ccosB+bcosC=asmA.B.k=()A.-16B.-6D.6c.3.在△ABC中，角A,6,C所对的边分别为a,4c,S表示△A5C的面枳，若A.90°C.45°ccosB+bcosC=asmA.B.c),则4=D.30°.已知数列｛%｝中，％=2,a7,1、=1.若数列｛一｝为等差数列，则。9=（）%1A.-25B.一4C.4D.——3.已知a>0,x,x>ly满足约束条件"+y<3y>a(x-3),若z=2x+y的最小值为1,则全A.B."C.1D.2二、填空题.在人46c中，角4B,。所对的边分别为。力,c,且满足sillAsiii^+siirC=sin2A+siii2B>若6c的面积为JJ,则ab=_x+y+l>014.已知实数x,»'满足〈x-2y>0,则目标函数14.已知实数x,»'满足〈.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）.①abSl；②«+ ③屋+b畛2；©a3+b3>3;@l+l>2.ab.已知在△ABC中，角的对边分别为若a+b=2c,则NC的取值范围为 .某公司一年购买某种货物600吨，每次购买了吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则工的值是..设等差数列｛（｝,低｝的前〃项和分别为S“Z若对任意自然数〃都有19.2/7-3E，则/75+A 4+19.2/7-3E，则/75+A 4+b.J / 0T的值为已知数列｛《J的通项%=5//7+1+y[n,则其前15项的和等于y>x20.设变量满足约束条件:x+y«2,则z=x—3)，的最小值为20.设变量满足约束条件:X>-1

三、解答题21.若数列｛可｝的前〃项和S”满足2sL3%—1?（〃gN.）,等差数列也｝满足b[=3区，"=S、+3.⑴求数列｛〃〃｝、｛"｝的通项公式；b.、（2）设g二工，求数列｛%｝的前〃项和为7；.22.在△22.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且7tasinB=_bsinA+t.⑴求A；（2）若aABC的面枳S=立不，求sinC的值.4.已知凡b,c分别是AABC的角4民。所对的边,且。=2d+/—4=。〃.（1）求角C；（2）若sin?6-sin?A=sinC（2sin2A-sinC）,求△A6C的面积..已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且1,久,S”成等差数列.（1）求数列｛%｝的通项公式；（2）若数列也｝满足。也=1+2〃/,求数列也｝的前〃项和.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且生=11,$7=161.（1）求数列｛可｝的通项公式；（2）若S.>6q「5〃-12,求〃的取值范围；（3）若々= ,求数列也｝的前〃项和anan+L4.在AABC中，角A,民C所对的边分别是。力,C,且cosA=§.(1)求 "十'+cos2A的值;2(2)若b=2,AA5c的面积S=3,求。的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题A解析：A【解析】【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列｛为｝的性质求解。【详解】因为10g3q+10g3a2+10§3。3…10g3。10=1。83（。口2。3…％o）=10g3（«AoA又%・%=生・。6=q・q°，由。4・%+。5・。6=18得q・《o=9,所以10g3q+log3a2+log3%・・・log3«10=log395=10.故选A。【点睛】本题考查了对数运算及利用等比数列｛为｝的性质，利用等比数列的性质：当tn+n=p+q,p,q£N*）时，。”=%,4g,特别地〃?+〃=2%,（〃7,〃火£%"）时，W&2,套用性质得解，运算较大。A解析：A【解析】由已知43+。5=<7：!+/=6，，^：2=2,工生+%=，（%+%）=2x6=12,故选A.D解析：D【解析】【分析】将所给条件式变形，结合等差数列前n项和公式即可证明数列的单调性，从而由<0可得/和/的符号，即可判断S“的最小值.【详解】由已知，得（〃+1）\<7?51+1,sS所以」nn+1力1〃（4+%）/（〃+1）（《+为+】）所以-9 < /―M ，2〃 2（77+1）所以凡<4+1,所以等差数列｛4｝为递增数列.又％+%<0,即”<T,al所以4>0,n7<0,即数列｛4｝前7项均小于0,第8项大于零，所以S“的最小值为邑，故选D.【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n项和最值的判断，属于中档题.A解析：A【解析】【分析】2 根据条件可得出x>2,y=--+1,从而2x+y八,2「，再根据基本不X-2 'Z{x-2)+-+3X-2TOC\o"1-5"\h\z3/3 1等式可得出——《可，则^——的最大值为；.zx+y3zx+y 3【详解】vx>0,y>0,x+2y-x)^=09x2 1八「・y= = x>0,x-2x-23 3 3•—2x+y2x+二-+12*-2)+二-+5'x~2 x—2•/2(x-2)+上一+524」。-2).」一+5=9x-2Vx-2•/2(x-2)+当且仅当x-2二」一,即x=3时取等号,x—23 1 <-2(x-2)+^-+53'x-2・••71•的最大值为二.2x+y 3故选：A.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.5.D解析：D【解析】【详解】试题分析：•••%+/+2。］0=4,，2%+2q0=4,，。4+《0=2,

... =13(q+q)=13(。+q0)=]3,13 2 2考点：等差数列的通项公式、前n项和公式.A解析：A【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则8(1,0)，Q0J),t_. /―1一AP=(1,0)+4(0,1)=(1,4),即尸(1,4),所以。6=(7-1,-4),PC=(-1,『―4),因此PAM1 1n =l-__4r+16=17-(-+4O,因为7+4/22),小=4,所以尸丛PC的最大值等于13,当1=4/,即1二1时取等号.t 2“C P1 A 】(--0)考点：1、平面向量数量枳：2、基本不等式.A解析：A【解析】【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.因为cos?!="£,所以2因为cos?!="£,所以22c1+cosAb+c ai.厂A.「 ・/a ——=——,ccosA=b,smCcosA=suiB=sin(A+C).,sinAcosC=0,因此cosC=0,C=2,选A.2【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.C解析：C【解析】【分析】由已知利用余弦定理可得力-9〃+18=0,解得a值，由己知可求中线=在△BCD中，由余弦定理即可计算力夕边上中线的长.【详解】解：・；b=3,c=35B=30,二由余弦定理夕=M+c2-2qccos5,可得9=标+27-2x4x3JJx整理可得："-94+18=0，/・解得。=6或3..•如图，6P为力夕边上的中线，则60=9。=占叵，2 2•・在△88中，由余弦定理8?=/+瓦>—2g6Ocos6,可得：CD，=6'+祖耳—2x6义业x叵,或CD?=寸+ —2x3x空x立,'2" 2 2 '2" 2 2••解得力夕边上的中线CQ=±或些.—【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于基础题.B解析：B【解析】【分析】【详解】1 7 x>0由Z=x+3），得Y=——x+二，先作出｛,的图象，如图所示,, 3 3 y<X因为目标函数Z=x+3)，的最大值为8,所以x+3)=8与直线)，=%的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+A=0,得女=-6..D解析：D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinA=l,即A=90。，由余弦定理、三角形面积公式可求角C,从而得到8的值.【详解】由正弦定理及ccosB+bcosC=asuiA,得sinCcosB+sin5cosc=siii2A,=>sin(C+5)=sin?A=>smA=1,因为0°<A<180°，所以A=90°;由余弦定理、三角形面积公式及S=¥(〃2+。？—/)，得加inC=¥-2HcosC,整理得tauC=JJ,又0°<C<90°,所以C=60°,故5=30°.故选D【点睛】本题考杳正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考杳计算能力和转化思想，属于中档题.C解析：C【解析】【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果【详解】依题意得：%=2，%=1，因为数列｛'｝为等差数列，玛所以」的生2~ 1，所以一=一十(9-7)><3=］，所以《二二，故选c.d= = =— Clq O4 57-3 7-38【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础

B解析：B【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时，Z取得最小值，而点A的坐标为（1,-24）,所以2-24=1,解得。=1,故选B.【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.二、填空题.4【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得由余弦定理可得根据同角三角函数基本关系式可得进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】由正弦定理可得即：由余弦定理可得可得的面积为可得解得故答案为4【点睛解析：4【解析】【分析】由正弦定理化简己知等式可得这+〃由余弦定理可得cosC,根据同角三角函数基本关系式可得sinC,进而利用三角形面积公式即可计算得解.【详解】sinAsinB+siii2C=siii2A+sin25，由正弦定理可得,ab+c2=a2+b2»即：a2+b2-c2=abt••・由余弦定理可得，CQsC=（l'"h'~C'2ablab2可得sinc=Ji-cos2C=正2ablab22

△45C的面枳为，可得、8=；4bsmc=乎ab,••・解得。〃=4,故答案为4.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理：以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到..5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域利用数形结合即可得到z的最大值【详解】作出实数xy满足对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=-2x+z平移直线y=-2x+z由图象可知当直线y=-2x+解析：5【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到z的最大值.【详解】x+y+l>0作出实数x,y满足<x-2y>0对应的平面区域，如图：Ix-y-1<0由z=2Ay得y=-2/z,平移直线y=~2,v+z由图象可知当直线y=-2,v+z经过点A时，直线y=-2,v+z的截距最大.又x—y-1=0与x—2y=0联立得A(2,1)此时z最大，此时z的最大值为z=2X2+l=5,故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查了z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键..①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出

②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为。>0,所以。+b=2"/蒜，所以凉）W1，故①项正确；对于②：左边平方可得：（、石+\恶）2=。+匕+2V存42+2=d,所以V万+v%«2,故②项错误；而利用特殊值。=1,b=l代入②中式子，也可得出②错误的结论：对于③：因为M+庐=5+6尸—2〃b=4—2而，由①知从W1,所以M+*24—2=2,故③项正确；对于④：=（。+6）（。2-而+/?，=2x［（4+Z?f-3"=8—&心之8-6=2,故④项错误；ab2对于⑤!+」二“，二丁22,故⑤项正确：aaabab故本题正确答案为：①③©..【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析，呜］【解析】【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cosC的范围.得出角C的范围.【详解】解：在6c中，•.•4+〃=2c,/.（a+b）2=4c2,a2+b2=4c2-lab>2ab，即/>ab，当且仅当4二〃是，取等号,由余弦定理知，cosC=3(cosC=3(:-2ab

2ab【点睛】考杳余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题.•【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正（即条件要求中字母为正数）定（不等式的另一边必须为定值）等（等号取得解析：30【解析】【详解】总费用为4x+&x6=4（x+理）24x2回5=240,当且仅当工=吧，即x=30时X X X等号成立.故答案为30.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误..【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】•・•{an}{bn}为等差数列・・・・・•=・••故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题解析：41【解析】【分析】Sn由等差数列的性质和求和公式可得原式=六，代值计算可得.【详解】••・{aj,{bj为等差数列，&+4bg+bq 2b6 2b6 2b6 b6..5U_aL+an_2a6 2x11-3_19•"=・ 4+，2/?6-4xll-3-4l，41119故答案为上.41【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题..【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还解析：3

【解析】【分析】将“衍力15项的和.【详解】通过分母有理化，化简得出后【解析】【分析】将“衍力15项的和.【详解】通过分母有理化，化简得出后T-6,再利用裂项相消法求出前利用分母有理化得对=1y/n+1+y/n（或+1+ +l-而）=y/n+1-yfn,设数列｛%｝的前〃项的和为S“，所以前15项的和为：=y/2—1+5/3—yfl.H F-\/15*—J14+yjlG—>/15*=y/16—1=4-1=3即：S15=3.故答案为：3.【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前〃项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题..-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10【解析】TOC\o"1-5"\h\zX7 X7由Z=X—3），得），二二一二，平移直线），二——：,由图象可知当直线经过点A时，直线33 , 33X 7），二——二的截距最大，此时Z最小3 3

x=—1由｛得4(-1,3),此时z=—1—3x3=—10x+y=z故答案为-10三、解答题21.⑴=久=2死+1；⑵(=2—【解析】【分析】(I)由数列递推式求出a1，在数列递推式中取n=n-l得另一递推式，作差后得到数列｛aj为等比数列，则数列｛aj的通项公式可求，再由bk3a1，b3=S?+3求出数列｛bj的首项和公差，则｛EJ的通项公式可求；b(II)把数列｛aj、｛bj的通项公式代入g=”，直接由错位相减法求数列｛cj的前n项和为Tn.【详解】(I)当〃=1时，2S]=3q—1,/.q=1当刀之2时，2azi=2S,「2s,i=(3qT)-(3%T),即93ult-l二数列｛q｝是以4=1为首项，3为公比的等比数列，.•.卬=3"T.设也｝的公差为d，4=3q=3也=S?+3=7=2d+3,d=2.,也=3+(〃-l)x3=2〃+l,2〃+1.3572〃+1H F 3〃•+2〃+1M+1②,2由①一©得，2〃+1H F 3〃•+2〃+1M+1②,2由①一©得，-7；,=1+21 1 1-r-4 -+•• 3- 33 3"2〃+13〃+i42/7+4=—H 3 3〃+i【点睛】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题.(1)—；(2)YZ6 14【解析】【分析】

TOC\o"1-5"\h\z(I)利用正弦定理化简己知等式即得A=—.(2)先根据4ABC的面积S=Ie，得到b=6 45/3C,再利用余弦定理得到a="c,再利用正弦定理求出sinC的值.【详解】7t 7t(1)因为asinB=-bsin(A+—)>所以由正弦定理得sinA=—sin(A+—)»即sinA=——sinA—Y^cosA,化简得tanA=— ,2 2 3因为A£(0,n),所以A=2.6A=~be»得b=^Tc,(2)因为A=',所以sinA=L,由S=正小=A=~be»得b=^Tc,所以/=旷+£—2卜85A=7c：,则2=6。，由正弦定理得sinC=*a=1.a14【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(1)C=—(2)3 3【解析】试题分析：(1)由余弦定理得cosC值，再根据三角形内角范围求角C；(2)由正弦定理将条件化为边的关系：b2+c2-a2=4accosA^再根据余弦定理得2。=b,代人解得a二空,b=史,c=2,由勾股定理得8=2,最后根据直角三角形面枳公式得3 3 2△A5C的面积.试题解析：解：(1)由余弦定理，得试题解析：解：(1)由余弦定理，得cosC=a2+b2-c2 a2+b2-22ab12ab2ab2ab2又Ce(O,〃)，所以c=g.(2)Fhsm2B-sm2A=smC(2sm2A-smC),得sin16+sin2C-siii2A=2sin2AsinC，得sin2B+sin2C-sin2A=4siii4cosAsmC,•2 2 2再由正弦定理得4*cosA，所以cos4二+、-I.①4ac▽小入叶小而，曰ab2+c2-a2节、又由余弦定理，得cosA= ,②2bc

TOC\o"1-5"\h\z।gg^b2+c2-a2b2+c2-a24H. ~4H_ .由@得 = ,4ac=2bc,得2a=b,4bc 2bc,、a2+b2-4=ab,qJT联立《 ， ，得。=包，匕=竺归,b=2a 3 3所以尸=标+/.所以5=2.2所以aA5c的面积S=Lqc=1x毡>2=毡.2 2 3 3(2)n2+n+2-2“t(1)4(2)n2+n+2-2“t【解析】【分析】(1)利用数列的递推关系式推出数列｛qj是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式.(2)化简数列的通项公式，利用分组求和法求和即可.【详解】(1)由己知1,。“，s“成等差数列得2〃”=1+S”①，当〃=1时，2q=1+A,q=1,Fq-umR2r,,当〃之2时，ciB= -=3m/s-②①_<§)得2%- =。〃即an=2。〃_],因q=1w0,所以％工0,〃-1・••数列｛为｝是以1为首项，2为公比的等比数歹IJ,・•・4“=1x2"T=2"t.(2)由。也=1+2〃