河南省郑州市高三理数三模试卷含答案解析

高三理数三模试卷一、单项选择题集合

，B.，那么 〔 〕C. D.2.1748

年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥〞.根据此公式可知，设复数 ，根据欧拉公式可知， 表示的复数的虚部为〔 〕A. B. C. D.假设直线 是函数 的一条切线，那么函数 不可能是〔 〕B. C. D.函数 的图像大致为〔

〕A.B.C.D.5.等差数列的公差不为零，且， 为其前

n

项和，那么〔 〕A.B.C.D.6.函数，，，，那么 ， ， 的大小关系

为〔 〕A.B.C.D.7.假设

、

满足条件，当且仅当，时，取最小值，那么实数 的取值范围是〔

〕A.B.C.D.8.数列的通项公式是，其中的局部图象如以下图，为数列的前

n

项和，那么的值为〔

〕A.

-1B.

0C.D.9.等腰三角形 的斜边 ，沿斜边的高线

AD

将，那么四面体ABCD

的外接球的体积为〔 〕折起，使二面角为A.B.C. D.长轴的两个端点，P、Q

是椭圆上关于x

轴对称的两点，直线

AP，.假设椭圆的离心率为 ，那么 的最小值为〔 〕C. D.中，点 平面 ，点

F

是线段 的中点，假设10.A，B

是椭圆BQ

的斜率分别为A.

1B.11.在棱长为

2

的正方体，那么面积的最小值为〔

〕A. B.

112.函数

，当

时，C.D.

2，假设在区间内，函数有四个不同零点，那么实数

a

的取值范围是〔

〕A. B.二、填空题C.D.，F为

AD

上任意一点，在矩形

ABCD

中，其中 ， ，AB

上的点

E

满足那么

.展开式中的

a

与

b

指数相同的项的表达式为

.15.双曲线 的右顶点、右焦点为A、F，过点A

的直线

与C

的一条渐近线交于点Q，直线QF

与C

的一个交点为B，

，且

，那么双曲线的离心率

为

.16.1967

年，法国数学家蒙德尔布罗的文章?英国的海岸线有多长？?标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977

年他正式将具有分数维的图形成为“分形〞，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实说明它们是描述和探索自然界大量存在的不规那么现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图

1，线段

AB

的长度为a，在线段

AB

上取两个点

C，D，使得 ，以CD为一边在线段

AB

的上方做一个正三角形，然后去掉线段

CD，得到图

2

中的图形；对图

2

中的线段EC､ED

作相同的操作，得到图

3

中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n

个图形(图

1

为第一个图形)中的所有线段长的和为整数

n，都有 ，那么a

的最大值为

.，假设存在最大的正整数a，使得对任意的正三、解答题17.如图，在中，，，点

D

在

BC边上，，为锐角.〔1〕求 ；〔2〕假设，求的值及

CD

的长.18.如图，在四棱锥，，中，平面 ，底面 是直角梯形， ，，E

是PB

的中点.〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设 ，直线

PA

与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.19. 芯片是一种硅板上集合多种电子元器件实现某种特定功能的电路模块，是电子设备中最重要的局部，承担着运输和存储的功能.某公司研发了一种新型 芯片，该公司研究部门从流水线上随机抽取

100件 芯片，统计其性能指数并绘制频率分布直方图(如图

1)：产品的性能指数在[50，70)的称为A

类芯片，在[70，90)的称为B

类芯片，在[90，110]的称为

C

类芯片，以这

100

件芯片的性能指数位于各区间的频率估计芯片的性能指数位于该区间的概率.〔1〕在该流水线上任意抽取

3

件 芯片，求

C

类芯片不少于

2

件的概率；〔2〕该公司为了解年营销费用

x(单位：万元)对年销售量

y(单位：万件)的影响，对近

5

年的年营销费用；和年销售量 (i=1，2，3，4，5)数据做了初步处理，得到的散点图如图

2

所示.〔i〕利用散点图判断， 和 (其中

c，d

为大于

0的常数)哪一个更适合作为年营销费用和年销售量的回归方程类型(只要给出判断即可，不必说明理由)；〔ii〕对数据作出如下处理：令 ， ，得到相关统计量的值如下表：150725550015750162556根据〔i〕的判断结果及表中数据，求

y

关于

x

的回归方程；〔iii〕由所求的回归方程估计，当年营销费用为

100

万元时，年销量

y(万件)的预报值.(参考数据：)参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为，.20.抛物线和圆，过抛物线上一点，作圆

E

的两条切线，分别与

x

轴交于A､B

两点.〔1〕假设切线PB

与抛物线

C

也相切，求直线

PB

的斜率；，求△

面积的最小值..〔2〕假设21.函数〔1〕求的最小值；〔2〕证明：对任意的，恒成立.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线

的极坐标方程 ，曲线

C

的极坐标方程为〔1〕写出直线

和曲线C

的直角坐标方程；．〔2〕点 ，假设直线

与曲

C

线交于

P、Q

两点，PQ

中点为

M，求23.函数 ．〔1〕在平面直角坐标系中画出函数 的图象；的值〔2〕假设对，恒成立，t

的最小值为

m，且正实数

a，b，c满足，求的最小值．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】，，所以，故。故答案为：D.【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合

A，再利用指数函数的单调性求出集合

B，再结合交集和补集的运算法那么，从而求出集合 。2.【解析】【解答】由题意知： ，而 ，∴ ，即虚部为 。故答案为：C.，再结合【分析】利用欧拉公式得出 ，那么复数的乘除法运算法那么和复数虚部的定义，从而求出所求复数的虚部。3.【解析】【解答】由题设知：假设切点为 ，那么 ，A：，有；B：，有；C：，有；D：故答案为：D.，显然无解.【分析】利用求导的方法求出函数在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出函数在切点处的切线方程，从而结合条件得出不可能的函数。，那么4【.

解析】【解答】 的定义域为 ，且是偶函数，图象关于 轴对称，D

不符合题意；，A

不符合题意；，C

不符合题意.故答案为：B.【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由偶函数的定义

f(-x)=f(x)即可判断出该函数为偶函数，由偶函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除

D，再由特殊点法代入数值验证即可排除选项

A

与

C，由此得到答案。5【.

解析】【解答】设等差数列

的公差为

，那么由

知：

且

，∴ ，而 ，∴ 。故答案为：A.【分析】设等差数列

的公差为，首项为

,利用条件结合等差数列的通项公式，得出，

再利用等差数列前

n

项和公式得出与

n

的关系式。6.【解析】【解答】函数，那么，在 上递增，，，即。故答案为：A【分析】利用函数的解析式结合代入法，再结合求导的方法判断函数的单调性，从而结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出

a,b,c

的大小。7.【解析】【解答】作出不等式组所表示的可行域如以下图所示：联立，解得，即点，过点 时，直线由题意可知，当直线直线 的斜率为而直线 的斜率为故答案为：C.在 轴上截距最大，的斜率为 ，，直线，所以，。【分析】利用条件结合二元一次不等式组求出可行域，再利用可行域找出最优解，再结合最优解求出线性目标函数的最小值，再利用条件当且仅当 ，的取值范围。8.【解析】【解答】观察图象知：函数 周期为T，时，取最小值，从而求出实数， ，又 ，而，那么，所以 ，，数列 是周期数列，周期为

6，其前

6

项依次为，那么 ，，那么。故答案为：D.【分析】利用正弦型函数的局部图象求出正弦型函数的解析式，再利用代入法求出数列的通项公式，再结合数列的周期性结合数列求和的方法，从而求出数列

2021

项的值。9.【解析】【解答】依题意，四面体

ABCD

中，AD⊥BD，AD⊥CD，

为二面角

的平面角，即 ，而BD=CD=2，那么△BCD

是正三角形，AD⊥平面

BCD，AD=2,如图：取正△BCD

的边

BC

中点

F，连

DF，在

DF

上取点

O1 ，

使

DO1=2O1F，那么

O1

是正△BCD

的中心，O1

是四面体

ABCD

的外接球截平面

CDB

所得小圆圆心，设这个外接球球心为O，那么

OO1⊥平面

BCD，取球

O

的弦AD

中点

E，球心

O

必在过点

E

垂直于

AD

的平面上，连

OE，可得四边形

DEOO1

是矩形，OO1=DE=1，连

O1B，OB，那么 ，球

O

的半径，四面体

ABCD的外接球的体积为.故答案为：B【分析】依题意，四面体

ABCD中，AD⊥BD，AD⊥CD，所以

为二面角

的平面角，即 ，而

BD=CD=2，那么三角形△BCD

是正三角形，AD⊥平面

BCD，AD=2,取正三角形△BCD的边BC

中点

F，连

DF，在

DF

上取点O1 ，

使

DO1=2O1F，那么

O1

是正△BCD的中心，O1

是四面体ABCD的外接球截平面

CDB

所得小圆圆心，设这个外接球球心为

O，那么

OO1⊥平面

BCD，取球

O

的弦AD

中点E，球心O

必在过点E

垂直于

AD

的平面上，连

OE，可得四边形

DEOO1

是矩形，OO1=DE=1，连

O1B，OB，从而求出 的值

，再利用勾股定理求出球

O

的半径

，再结合球的体积公式，从而求出四面体

ABCD的外接球的体积。10.【解析】【解答】设点

，那么椭圆的对称性知，不妨令 ，而点A(-a，0)，B(a，0)，那么，显然有，那么，因椭圆的离心率为，即，，那么，因，所以，当且仅当时取“=〞，即 的最小值为故答案为：B.。【分析】设点，那么椭圆的对称性知，不妨令，而点

A(-a，0)，B(a，0)，再利用两点求斜率的方法得出，显然有，所以，因椭圆的离心率为，再利用椭圆的离心率公式结合椭圆中

a,b,c三者的关系式，从而得出

a,b

的关系式，再利用代入法结合椭圆的标准方程，得出 ，因，从而求出的最小值。11.【解析】【解答】如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，得，，平面，，当 时，函数取得最小值故答案为：C。【分析】以点

为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为

0

的等价关系，再结合数量积的坐标表示，得出 ，

因为平面 ，再结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，再利用三角形的面积公式得出 ，

再利用二次函数图象求最值的方法，从而求出三角形

面积的最小值

。12.【解析】【解答】因 时， ，那么 时， ，，时， ， ，时，，，的图象如图：那么在 内，观察图象知，只需在有四个不同零点，当且仅当 的图象与直线y=a

有四个不同的公共点，内， 的图象与直线y=a

有两个不同的公共点即可，时，在 内， 的图象与直线 有一个公共点，，由 得 ，即 ， 在点当直线

y=a

经过点，处的切线为，如图：即在内，的图象与直线有一个公共点，而 ，要在 内，所以所求实数

a

的取值范围是的图象与直线y=a

有两个不同的公共点，即有，。【分析】因时，，那么时，，，当时，，那么，当时，那么，，从而得出，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用其图象结合函数的零点与两函数

y=a

与交点的横坐标的等价关系，从而结合条件函数二、填空题有四个不同零点，进而求出实数

a

的取值范围。13.【解析】【解答】∵知： 为靠近

B

的三等分点，∴，如上图示，，又因为，。∴故答案为：-3。【分析】因为，所以

为靠近B

的三等分点，所以，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而结合 ，

进而求出数量积的值。14【.

解析】【解答】由题意结合二项式定理知：∴a

与b

指数相同的项，有 ，得 ，∴ 。故答案为： 。，【分析】利用条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式为，

再利用

a与b

指数相同的项，从而求出r

的值，进而求出展开式中的a

与b

指数相同的项的表达式

。中，A(a，0)，渐近线，设右焦点为,即15.【解析】【解答】双曲线F ，由由双曲线对称性知，不妨令

Q(a，b)，设，直线

l：x=a，，那么，，因，那么 ，解得，又点

B

在双曲线C

上，那么有，即点，解得，因e>1，那么双曲线的离心率为。故答案为：。【分析】在双曲线 中，A(a，0)，渐近线再利用数量积的运算法那么结合数量积为

0

两向量垂直的等价关系，那么，设右焦点为F ，，因为直线l：x=a，由双曲线对称性知，不妨令Q(a，b)，设共线的坐标表示，求出点，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量，又因为点

B

在双曲线C

上，结合代入法和双曲线中

a,b,c三者的关系式以及双曲线离心率公式变形，从而求出结合双曲线离心率的取值范围，进而求出双曲线的离心率。16.【解析】【解答】由题设知： 且 ，图

2

相对图

1：线段长度之和的增量为 ，图

3

相对图

2：线段长度之和的增量为

，图

4

相对图

3：线段长度之和的增量为 ，…图

n

相对图 ：线段长度之和的增量为 ，∴ ，要使∴ ，即 ，又因为

a

为正整数，对任意的正整数

n

成立，∴ 。故答案为：1010。【分析】由题设知： 且 ，进而得出图

n

相对图 的线段长度之和的增量为，再利用等比数列前

n

项和公式得出第n

个图形(图

1

为第一个图形)中的所有线段长的和

，要使 对任意的正整数n

成立，从而求出 ，又因为a

为正整数，从而求出a

的最大值

。三、解答题17.【解析】【分析】

〔1〕在

中，由余弦定理得

或

，再利用分类讨论的方法结合余弦定理，从而找出满足题意得

BD

的长。〔2〕

在 中，利用余弦定理得出 的值，再利用同角三角函数根本关系式得出 的值

，又因为

，再结合角之间的关系式结合两角差的正弦公式，从而求出 的值

，在 中，由正弦定理得出 的长。平面ABCD，再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，，∴所以 ，再利用勾股定理推出 ，

再利用线线平面PBC，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面 平18【.

解析】【分析】〔1〕因为因为 ，垂直推出线面垂直，

所以面

PBC。〔2〕

以

C

为原点，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，

设P(0，0，a)(a>1)，

再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式结合诱导公式，从而求出直线PA

与平面

所成角的正弦值，再结合条件直线PA

与平面

所成角的正弦值为

，

从而求出a

的值，再利用数量积向量求向量夹角公式求出二面角 的余弦值。【解析】【分析】〔1〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，得出A､B､C

类芯片所占频率，取出

C

类芯片的概率为

，再利用二项分布求概率公式结合互斥事件加法求概率公式，从而求出

C

类芯片不少于

2

件的概率。〔2〕

〔i〕

利用条件结合散点图判断出明显不是线性，那么用

更适合；

〔ii〕

利用条件结合散点图中的数据，再结合最小二乘法，从而求出y

关于

x

的线性回归方程

；

〔iii〕

利用线性回归直线方程结合代入法，从而求出当年营销费用为

100

万元时，年销量

y(万件)的预报值。【解析】【分析】〔1〕

由题意，可设切线

PB

的方程为

，代入抛物线的方程结合直线于抛物线相