二面角练习题

二面角练习题

一.选择题（共13小题）

1.（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD,

PA=AB,则PB与AC所成的角是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°£

2.（2015•贵州二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、

AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P,P点在4AEF

内的射影为O.则下列说法正确的是（）AD

A.O是aAEF的垂心B.O是^AEF的内心

C.O是aAEF的外心D.O是aAEF的重心,A

3.（2015•太原二模）已知长方体ABCD-AiBiCQi中，AA产AB=2,若棱AB上存在点P,

使得DiPJ_PC,则AD的取值范围是（）

A.[1,2）B.（1.回C.（0,1]D.（0,2）

4.（2015•合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD_L平面ABCD且PD=AD,则

下列命题中错误的是（）

A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点

B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点

C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的

中2点P

D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线1,则1〃AD\\\

影H必在（）

1

BC

।/、、\l

由

A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.△ABC内部

6.（2015•赫章县校级模拟）已知正方形ABCD的边长是4,对角线AC与BD交于O,将

正方形ABCD沿对角线BD折成60。的二面角，并给出下面结论：①ACJ_BD；@AD±CO；

③△AOC为正三角形；④cos/ADC=］，则其中的真命题是（）

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

7.（2014秋•德化县校级月考）在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）

---

、八、

A..z（-n----2n,n）B.z（-n----1n,n）C./（A0,——）D.z（-n----2n,-n----1n）

nn2nn

8.（2014•秦州区校级一模）己知等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AC,BC的中点分别

是D,E,将4CDE沿DE折起，使得C-DE-A为直二面角，此时斜边AC被折成折线

ADC,则/ADC等于（）

A.150°B.135°C.120°D.90°

9.（2014秋•常德校级期末）己知E,F分别是正方体ABCD-AiBiQDi的棱BC,CQ的

中点，则截面AEFDi与底面ABCD所成二面角的正弦值是

（）Di___________Q

B.返C,亚D.Z返

^33

10.（2013秋•青山区校级期末）ABCD是正方形,P是平面ABCD"

外一点，PD±AD,PD=AD=2,二面角P-AD-C为60。，则P到AB的距离是（）

A.2&B.73C.2D.V7

II.（2014秋•雅安期末）A、B是直二面角a-1-B的棱1上的两点，分别在a,。内作垂

直于棱1的线段AC,BD,已知AB=AC=BD=1,那么CD的长为（）

A.1B.2C.aD.愿

2

12.（2014秋•平顶山期末）如图，在60。二面角的棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在

这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,若AB=4,AC=6,BD=8,则线段CD的长

为（）

A.V29B-10C.2741D.2V17

13.（2012•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，2|AB『+|BD『-4=0,NABD=90。,

沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）

A.16nB.8nC.4nD.2n

二.填空题（共1小题）----D

14.（2014春•南关区校级期末）如图，P是二面角a-AB-0棱

AB上的一点，分别在a,0上引射线PM,PN,如果

NBPM=/BPN=45。，/MPN=60。，那么二面角a-AB-B的大小是____________.

B

三.解答题（共6小题）

15.（2011•浙江）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC,D为BC的中点，PO_L平面ABC,

垂足O落在线段AD上.

（I）证明：AP1BC；

（II）已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.求二面角

B-AP-C的大小.

16.（2010•四川）在正方体ABCD-AB9TT中,点M

是棱AA，的中点，点。是对角线BD，的中点.

（I）求证：OM为异面直线AA，和BD，的公垂线；

（II）求二面角M-BC-B，的大小.

3

17.（2009・陕西）如图所示，在直三棱柱ABC-ABCi中，AB=1,AC=AA产代,ZABC=60".

（1）证明：AB1A1C；

（2）求二面角A-A,C-B的余弦值.

18.（2009•北京）如图，在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,PA=AB,NABC=60。,

ZBCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上，且DE〃BC.

（1）求证：BC_1■平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值：

（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由.

4

D

B

C

19.(2008•天津)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,

PA=2,PD=2&,ZPAB=60°.

(I)证明AD1•平面PAB；

(II)求异面直线PC与AD所成的角的大小；

(III)求二面角P-BD-A的大小.

20.(2008•北京)如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2,ZACB=90°,AP=BP=AB,PC±AC.

(I)求证：PC±AB；

(II)求二面角B-AP-C的大小；

(III)求点C到平面APB的距离.

5

p

6

2015年10月15日nxyxy的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共13小题）

1.（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA_L平面ABCD,

PA=AB,则PB与AC所成的角是（

A.90°B.60°C.45°D.30°

考点：直线与平面

垂直的判定；

异面直线及

其所成的角.

专题：计算题：空间

位置关系与

距离.

分析：将其还原成

正方体

ABCD-

PQRS,连接

SC,AS,可

得NASC（或

其补角）即为

所求角.

解答：解；将其还原

成正方体

ABCD-

PQRS,连接

SC,AS,则

PB〃SC,

7

R

i____________________

D

AZACS（或

其补角）是

PB与AC所

成的角

,/△ACS为

正三角形，

/.ZACS=60

/.PB与AC

所成的角是

60°

故选B.

点评:本题考查线

线角的计算，

考查学生分

析解决问题

的能力，属于

中档题.

2.（2015•贵州二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，沿AE、

AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P,P点在aAEF

内的射影为O.则下列说法正确的是（）

A.O是^AEF的垂心B.O是^AEF的内心

C.O是aAEF的外心D.O是aAEF的重心

考点：直线与平面

垂直的性质；

8

棱锥的结构

特征.

专题:空间位置关

系与距离.

分析:先证明

PA1EF,

PO±EF,可

证EF_L平面

PAO,从而可

得EF±AO,

同理可知：

AE1F0,

AF±EO,从

而判定O为

△AEF的垂

心.

解答:解：由题意可

知PA、PE、

PF两两垂直，

由PA_1_平面

PEF,从而

PA1EF,

而PO_L平面

AEF,则

PO±EF,

所以EF_L平

面PAO,

/.EF1AO,

同理可知：

AE1FO,

AF±EO,

.*.0^JAAEF

的垂心.

故选：A.

点评：本题主要考

9

查了垂心的

判定，考查了

直线和平面

垂直的判定

和性质以及

直线和直线

垂直的判

定.在证明线

线垂直时，其

常用方法线

证明线面垂

直，再证明线

线垂直，属于

中档题.

3.（2015•太原二模）已知长方体ABCD-AiBiGDi中，AAi=AB=2,若棱AB上存在点P,

使得DiP^PC,则AD的取值范围是（）

A.[1,2)B.(1.C.(0,1]D.(0,2)

考点：直线与平面

垂直的性质.

专题：空间位置关

系与距离.

分析：建立空间直

角坐标系，设

AD=a,求出

用、CP）

利用

求出a的范

围.

解答：解：如图建立

坐标系，

设AD=a(a

>0),AP=x

(0<x<2),

则P(a,x,2),

C(0,2,2),

DiP=1a，

x,2),CP=

10

(a,x-2,

0),

VDiP±PC,

，百甘CP=

0,

即a2+x(x-

2)=0,

7-X2+2X=

C~(x-1)

当0<x<2

时，a€(0,

!].

故选：C.

“z

A/D

：/P

1-

点评:本题考查棱

柱的结构特

征，是基础

题.

4.（2015•合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD_L平面ABCD且PD=AD,则

下列命题中错误的是（）

A.过BD且与PC平行的平面交PA于M点，则M为PA的中点

B.过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N为PB的中点

C.过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点

D.过P、B、C的平面与平面PAD的交线为直线1,则1〃AD

11

考点：直线与平面

垂直的性质.

专题：空间位置关

系与距离.

分析：设

ACnBD=O,

由ABCD是

正方形，得0

是AC中点，

从而

OM〃PC,由

此得到M是

PA中点;设N

为PB的中

点，连结AN,

贝ijAN与PB

不一定垂直，

从而得到N

不一定是PB

中点；由已知

得PA=AC,

PD=DC,从而

H为PC的中

点；由

AD〃BC,得

到

1〃AD〃BC.

解答：解：设

ACnBD=O,

VABCD是

正方形，...0

是AC中点，

,••过BD且与

PC平行的平

面交PA于M

点，

.,.OM//PC,

AM是PA中

点，故A正

确；

设N为PB的

中点，连结

AN,

12

VPA与AB

不一定相等，

.,.AN与PB

不一定垂直，

.•.过AC且与

PB垂直的平

面交PB于N

点，则N不一

定是PB中

点，故B错

误；

•••四边形

ABCD为正

方形,PD,平

面ABCD且

PD=AD,

，PA=AC,

PD=DC,

.,•过AD且与

PC垂直的平

面宛PC于H

点，则H为

PC的中点，

故C正确；

：AD〃BC,

平面PAD与

平面PCB有

公共点P,

."A//AD//B

C,故D正确.

故选：B.

点评:本题考查命

题真假的判

断，是中档

题，解题时要

认真审题，注

意空间思维

13

能力的培养.

5.（2015•哈尔滨校级三模）如图所示,在斜三棱柱ABC-A|B|C,中，NBAC=90。,BCi±AC,

则Ci在面ABC上的射影H必在（）

A.直线AB上B.直线BC上C.直线CA上D.△ABC内部

考点：平面与平面

垂直的判定；

棱柱的结构

特征.

分析：如图，G在面

ABC上的射

影H必在两

个相互垂直

平面的交线

上，所以证明

面ABC±13

ABCi就可以

了.

解答：解：

fCAlAB）

ICAlBClJ

=>CA±®

ABCi

=面ABC!

面ABCi，

过Ci在面

ABC内作垂

直于平面

ABC,

垂线在面

ABC,内，也

在面ABC内，

...点H在两

面的交线上，

即HGAB.

故选A

点评：本题通过射

14

影问题来考

查线面垂直

和面面垂直

问题.

6.（2015•赫章县校级模拟）已知正方形ABCD的边长是4,对角线AC与BD交于O,将

正方形ABCD沿对角线BD折成60。的二面角，并给出下面结论：①ACJ_BD；②AD_LCO；

A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③

考点：与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题:综合题.

分析:由题意，作出

如图的图象，

由正方形的

性质知，

CO±BD,

AO1BD,可

得8口_1_面

AOC,且

AC=AO=CO

=2加，

AD=CD=4,

可由线面垂

直判断

AC1BD,

AD_LCO可

反证确定它

不成立，③可

由正三角形

的性质判断，

④可由余弦

定理直接求

出

3

COSNADC,

,由此可选出

正确答案

解答:解：由题意,

可作出如图

的图象，在下

图中，由正方

15

形的性质知，

C01BD,

AO±BD,故

可得8口_1_面

AOC

由此可得出

BD±AC,

ZAOC=60",

故①正确，

又由题设条

件0是正方

形对角线的

交点，可得出

AO=CO,于

是有

③△AOC为

正三角形，可

得③正确；

由上证知，

CO与面ABD

不垂直且

CO1BD,故

AD与CO不

垂直，由此知

②不正确：

由上证知，

△AOC是等

边三角形，故

AC=AO=CO

=2加’

AD=CD=4,

所以

cos/ADC=

16+16-8=

2X4X4-

心故④正确

4

由上判断知

①③④

故选A

16

B

点评:本题考查与

二面角有关

的综合问题，

考查了线面

垂直，面面角

的平面的确

定等问题，这

是一个翻折

问题，此类问

题理解翻折

过程中的变

与不变是解

题的关键

7.(2014秋♦德化县校级月考)在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是()

__-_

.n2、口n1、〃ZA冗、n/n2n1、

A.(z-------n,n)B.z(-------n,n)C.(0,——)D.(-------n,-------n)

nn2nn

考点：与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题：计算题.

分析：当正n棱锥的

顶点无限趋

近于底面正

多边形中心

17

时，则底面正

多边形便为

极限状态；当

棱锥高无限

大时，则正n

棱柱便又是

另一极限状

态.

解答：解：当正n棱

锥的顶点无

限趋近于底

面正多边形

中心时，

则底面正多

边形便为极

限状态，此时

棱锥相邻两

侧面所成二

面角a玲冗，

且小于n；当

棱锥高无限

大时，正n棱

柱便又是另

一极限状态，

此时

4n-2

a->-----n,

n

且大于

n-2

-----n,

n

故选A.

点评：本题主要考

查了二面角

的度量方法、

极限思想及

运算推理能

力.

8.(2014•秦州区校级一模)已知等腰直角三角形ABC中，NB=90。，AC,BC的中点分别

是D,E,将aCDE沿DE折起，使得C-DE-A为直二面角，此时斜边AC被折成折线

ADC,则NADC等于()

A.150°B.135°C.120°D.90°

考点：与二面角有

关的立体几

18

何综合题.

专题：计算题；空间

角.

分析：设等腰

△ABC中，

AB=BC=2,

由NB=90°,

AC,BC的中

点分别是D,

E,知

AD=DC=&

,DE=CE=1,

/DEC=90。，

AE=A/5-由C

-DE-A为

直二面角，知

ZAEC=90°,

AC=泥，由

此利用余弦

定理能求出

ZADC的大

小.

解答：解：如图，设

等腰4ABC

中，

AB=BC=2,

,/ZB=90°,

AC,BC的中

点分别是D,

E,

；.AD=DC=

近，

DE=CE=1,

ZDEC=90°,

AE=A/^，

,将ACDE

沿DE折起，

使得C-DE

-A为直二

面角，

ZAEC=90

o

AC=J5+1=

娓,

19

.".cosADC

AD2+DC2-A

2AD-DC

2+2-6

2XV2><V2

攵，

/.ZADC=12

0°,

故选c.

点评:本题以等腰

直角三角形

的翻折问题

为载体，考查

空间角的求

法，解题时要

认真审题，注

意翻折前后

常量与变量

的相互关系

的合理运用.

9.（2014秋•常德校级期末）已知E,F分别是正方体ABCD-A|B|C|D|的棱BC,CJ的

中点，则截面AEFDi与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）

20

考点：与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题：计算题；转化

思想.

分析：因为D|DJ_

面ABCD,故

可由三垂线

定理法作出

二面角的平

面角，再求

解.

解答：解：因为

DiDJ-面

ABCD,过D

做DH_LAE

与H,连接

DiH,则

ZDiHD即为

截面AEFD,

与底面

ABCD所成

二面角的平

面角，

设正方体

ABCD-

A]BiC]D|的

棱长为1,在

△DiHD中，

DjD=l,因为

ADAH-

△ABE,所以

DH=

DA.1

7£XyABR=-r

虫+

所以

DiH=

分考

，所以

sinZD]HD=

21

M1

故选c

点评:本题考查二

面角的做法

和求解、解三

角形知识，考

查空间想象

能力和运算

能力.

10.（2013秋•青山区校级期末）ABCD是正方形，P是平面ABCD外一点，PD±AD,

PD=AD=2,二面角P-AD-C为60°,则P到AB的距离是（）

A.2MB.V3C.2D.V7

考点：与二面角有

关的立体几

何综合题；

点、线、面间

的距离计算.

专题:计算题.

分析:要想求P到

AB的距离要

先证明AB1

平面PEF,即

PF1AB,根

据题中已知

条件求出PE

的长度，再根

据勾股定理

便可求出PF

的长度.

解答:解：过P作

PE-LCD,过E

作EF〃BC,

连接PF,

VAD1CD,

PD1AD,

22

.•.AD，平面

PDC,

又在平

面PDC上，

/.AD1PE,

又

VPE1CD,

...PEJ•平面

ABCD,

APE1AB

VEF//BC,

AAB1EF,

...AB,平面

PEF,

/.PF1AB,

.,.PF即为P

到AB的距

离，

NPDC=60

°,PD=2,

.•.PES，

：EF=AD=2,

由勾股定理

可得

PF=\3+4=

Vr.

故选D.

点评:本小题主要

考查空间线

面关系、二面

角的度量、点

线面距离的

技计算等知

识，考查数形

结合、化归与

转化的数学

思想方法，以

及空间想象

能力，耍求同

23

学们熟练掌

握.

11.（2014秋•雅安期末）A、B是直二面角a-1-B的棱］上的两点，分别在a,0内作垂

直于棱1的线段AC,BD,已知AB=AC=BD=1,那么CD的长为（）

A.1B.2C.&D.«

考点：与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题：空间位置关

系与距离.

分析：由于本题中

的二面角是

直角，且两线

段都与棱垂

直，可根据题

意作出相应

的正方体，

CD恰好是此

正方体的体

对角线，由正

方体的性质

求出其长度

即可.

解答：解：如图，由

于此题的二

面角是直角，

且线段AC,

BD分别在a,

B内垂直于棱

1,

AB=AC=BD

=1,

作出以线段

AB,BD,AC

为棱的正方

体，CD即为

正方体的对

角线，

由正方体的

性质知，

CD=

Vi2+i2+i2

24

故选D.

点评:本题考查与

二面角有关

的线段长度

计算问题，根

据本题的条

件选择作出

正方体，利用

正方体的性

质求线段的

长度，大大简

化了计算，具

体解题中要

注意此类问

题的合理转

化.

12.（2014秋•平顶山期末）如图，在60。二面角的棱上有两点A、B,线段AC、BD分别在

这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB,若AB=4,AC=6,BD=8,则线段CD的长

为（）

A.V29B-I。C.2A/41D.2V17

考点：与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题：空间位置关

系与距离.

分析：CD=CA+AB+1

25

,利用数量积

运算性质可

得

—*2—»2—"

CD=CA+AE

+2CA_^

2区砺

2AB-BD.根

据以1版，

BD1AB）可

得

以语0，

BD-AB=0,

由60。二面角

可得；

H-BD=

|CAIiBDlco

,代入计算即

可得出.

解答:解：

CD=CA+AB+1

nn

CD=ck+AE

+2CA^^

2欣砺

2AB-BD.

VCA1AB.

BD1AB.

••­CA•AB=0

，BD-AB=0,

H'BD=

26

ICAI|BD|co

~^X6X8

=-24.

••CD2=62+42

+82-

2x24=68,

•*.ICD|=2

故选：D.

点评:本题考查了

利用向量的

多边形法则、

数量积的运

算性质、向量

垂直与数量

积的关系，考

查了空间想

象能力，考查

了推理能力

与计算能力，

属于中档题

13.（2012•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，2|AB『+|BD|2-4=0,ZABD=90°,

沿BD折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积是（）

D.2n

考J，占、、、•・与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题:综合题.

分析:先确定三棱

锥A-BCD

的外接球的

直径为AC,

27

再根据

2|AB|2+|BD|2

-4=0,求得

外接球的半

径为1,从而

可求表面积.

解答:解：平行四边

形ABCD中，

,/ZABD=90

O

/.AB1BD,

CD±BD

•.•沿BD折成

直二面角A

-BD-C,

；.AB_L平面

BCD,CD±

平面ABD

.".AB1BC,

CD±DA

...三棱锥A

-BCD的外

接球的直径

为AC,且

|AC|2=|AB|2+|

BD『+|CD/=2

|AB|2+|BD|2=

4

.•.外接球的

半径为1,表

面积是4n.

故选C.

点评:本题考查几

何体的外接

球，考查球的

表面积，解题

的关键是确

定外接球的

直径.

二.填空题（共1小题）

14.（2014春•南关区校级期末）如图，P是二面角a-AB-B棱AB上的一点，分别在a,

B上引射线PM,PN,如果NBPM=/BPN=45°,NMPN=60。，那么二面角a-AB-。的大

小是90。.

28

aAf

'B

考点:与二面角有

关的立体几

何综合题.

专题:计算题；压轴

题.

分析:本题考查的

知识点是二

面角及其度

量，我们要根

据二面角的

定义，在两个

平面的交线

上取一点Q,

然后向两个

平面引垂线，

构造出二面

角的平面角，

然后根据平

面几何的性

质，求出含二

面角的平面

角的三角形

中相关的边

长，解三角形

即可得到答

案.

解答:解：过AB上

一点Q分别

在a,。内做

AB的垂线，

交PM,PN于

M点和N点

则ZMQN即

为二面角a-

AB-0的平

面角，如下图

所示：

设PQ=a,则

29

"/ZBPM=Z

BPN=45°

，QM=QN=a

PM=PN=V5I

又由

ZMPN=