IIR数字滤波器设计

IIR所以IIR主要介绍经典方法设计IIR模实际设计时，整个过程的运算量是很大的。设计阶数较高的IIR滤波器时，计算量更大，设计过程中转变参数或滤波器类型时都要重计算。地简化计算量。MATLAB的信号处理工具箱是特地应用于信号处理领域的专用工具箱，它的两个根本组成就得到正确的设计结果，使用格外便利。其次章IIR数字滤波器的设计数字滤波器的技术要求H(ej一般为复函数，所以通常表示为H(ej)|H(ej|ej() 式〔2-3〕其中，|H(ej|称为幅频特性函数;(称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各IIR数字FIR数字滤波器设计实现。IIR2-3所示2-3低通滤波器的幅度特性图中p

0s

，在通带中，要

〕<H(ej)1；阻带频率范围为

H(ej)

；从 到称为p s

， p s 20lgp

HH(ej0)H(ejp) 20lgs

HH(ej0)将H(ej0)为1时,式(2-4)，式(2-5)可表示成式(2-6)式(2-7)s当幅度降到22时，=，此时， =3dB，称为3dB通带截止频率。 ， ， 统称为c p c p s c边界频率。IIR滤波器的特点IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式〔2-1〕所示，由于它的脉冲响应序列h(n)是无限长的，故称为无限脉冲响应滤波器。IIR滤波器系统函数的极点可以位于单位圆内的任的非线性为代价的，选择性越好，相位非线性越严峻。IIR滤波器可以借助于模拟滤波器的成果，一般都有有效的封闭式设计公式可供准确计算，计算工作量比较小，而计算工具要求不高。原型模拟滤波器本节主要介绍常用的低通原型模拟滤波器的主要特点,包括巴特沃斯滤波器、切比雪夫Ⅰ型滤引起低通模拟原型滤波器变换得到。巴特沃斯滤波器巴特沃斯Butterworth低通滤波器的平方幅度响应为H(j)2

A(2)

11

2

式〔2-18〕c其中，n为滤波器的阶数，为低通滤波器的截止频率。该滤波器具有一些特别的性质：c①n，都有当=0时Hj0)2

1；c②n，都有当=c

时，H(j c

12；③H(j)2是的单调递减函数，即不会消灭幅度响应的起伏；④当n时，巴特沃斯滤波器趋向于抱负的低通滤波器；⑤在=0处平方幅度响应的各级导数均存在且等于0，因此H(j)2在该点上取得最大值，且有最大平坦特性。⑥传递函数无零点，极点等距离分布在以｜s｜=ωc为半径的圆周上。图2-8 2，4，8阶巴特沃斯低通滤波器平方幅频图2-6呈现了2阶、4阶、8n越高，其幅频特N越高，特性越接近矩形，过渡带宽越窄。切比雪夫滤波器ChebyshevChebyshevⅡ型。ChebyshevⅠ型ChebyshevⅠ型模拟低通滤波器的平方幅值响应函数为H(j)2

A(2)

112C2

N c其中，

为截止频率；NChebyshev多项CN

c

cChebyshev多项式，定义为cos(Ncos1(x))2-20C(x)2-20N cosh(Ncosh1(x))可知，传递函数没有零点，极点分布在一个椭圆上。以以下图为8阶切比雪夫1型低通滤波器原型的平方幅频图，图2-9 8阶切比雪夫1型低通滤波器平方幅频图由图可知，切比雪夫Ⅰ型滤波器的特点：通带内具有等波浪起伏特性，而在阻带内单调下降，N越高，特性越接近矩形。切比雪夫Ⅱ型ChebyshevⅡ型模拟低通滤波器平方幅值响应函数为H(j)2

A(2)

11

c12C2 cN N越高，特性越接近矩形。传递函数即有极点又零点。切比雪夫Ⅱ型滤波器的平方幅频图如以以下图所示图2-10 8阶切比雪夫2型低通滤波器平方幅频图椭圆〔Elliptic〕滤波器椭圆〔Elliptic〕低通滤波器原型的平方幅值响应函数为H(j)2

112E2

N c贝赛尔滤波器滤波器乎不变。在零频时的群延迟为2N!1N，由于这一特点，贝

N!塞尔模拟滤波器通带内保持信号外形不变。其传递函数为H(s) ksp(1))(sp(2))...(sp(n)) 式〔2-25〕82-8所示。IIR数字滤波器的设计方法滤波器的系统函数如式(1-1)IIR低通数字滤波器，实质上是查找一组系数SH(s)，而数字一般有三种：用原型模拟滤波器变换方法设计数字滤波器〔经典设计方法；谷值的特点通过设置单位圆内的零极点来到达简洁的性能要求。这种设计要进展大量的迭代运算。〔a〕IIR滤波器。2.7.1 IIR数字滤波器的经典设计方法IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率p

，通带衰减p

，阻带截止频率 ，阻s带衰减 。s将数字低痛滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。依据模拟低通滤波器的设计要求设计模拟低通滤波器。Ha(s)H(z)IIR数字滤波器承受下面的主要步骤：模拟低通滤波器原型 频率变换 模拟离散化图2-13经典法设计IIR

IIR滤波器把模拟滤波器转换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系统函数H(s)映射成数字滤波器的系统函数H(z)H(z)稳定且滤足技术要求，对转换关系提出两点要求：因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。我们知道，模拟滤波器因果稳定要求其传输函数Ha(s)的极点全部位于SH(z)SZ平面的单位圆内部。SZ平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。Z变换两种方法。一、脉冲响应不变法h(n)等于模拟滤波器的脉冲响应ha(t)的采样值，即式中，T为采样周期

h(n)ha

(t)

h(nT)a

式(2-26)H(z)可由下式求得：H(z)ZT[h(n)]ZT[ha

式(2-27)Ha(s)，求H(z)的方法是ha(t)h (t)=LT -1[H (s)]a ah(n)。H(z)。

式(2-28)由上述方法推论出更直接地由模拟滤波器的系统函数Ha(s)H(z)的步骤是：利用局局部式开放式，把模拟滤波器系统函数Ha(s)开放成下面形式：kH (s)=N Rkak=1

s-pk

式(2-29)将模拟极点pepkT，式〔2-29〕变换成为数字滤波器系统函数kRk1epTz1k1

式(2-30)Ha(s)H(z)的变换关系为：Ha(s)S平面上有S=SiH(zZzeSTzeSTiW=模拟指标模型原理指标W=模拟指标模型原理指标psW，Wps数字指标p，sW=T图2-10脉冲响应不变法性能指标转换脉冲响应不变法的优点是数字角频率和模拟角频率满足线性转换关系，即T，假设不考计。二、双线性变换法SZ平面的单值双线性映射关系为21z1sT 1z1 式(2-31)1 T sz 21 T s式中，T为采样周期。

2 式(2-32)因此，假设模拟滤波器的系统函数Ha(s)，将式〔2-31〕代入Ha(s)即可得到数字滤波器的H(z)，即H(z)H

a

21z1sT1z1 式(2-33)在双线性变换中，模拟角频率和数字角频率存在下面关系： 2 tan T 2 式(2-34) 2arctan T2 式(2-35)式中，的单位为弧度/秒，0~π和之间的变换是非线性的。双线性变换法，可以按以以下图对设计性能的频率指标作处理。W=W=模拟指标，模型原理指标psW，Wps数字指标，ps2W=Ttg2图2-11双线性变换法性能指标转换带阻等各种滤波器设计。由式〔2-3〔2-35〕与之间是非线性关系，这将直接影响数字滤波器频响逼真的仿照模拟滤波器的频响。第三章数字滤波器的计算机关心设计IIR的设计方法模拟原型函数〔1〕IIR的设计方法模拟原型函数〔1〕完成设计的函数butter、cheby1、cheby2、ellip、besself直接设计参数化模型

阶次估量函数buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord低通模拟原型函数besselap、buttap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap频率转换函数lp2lp滤波器离散化函数impinvar、bilinearyulewalk时域模型函数lpc、prony、stmcp频域模型函数invfreqz、invfreqs模拟滤波器设计函数巴特沃斯模拟滤波器butterButterworth滤波器设计，调用格式为：[b,a]=butter(n,n[b,a]=butter(n,n

,”s”),”ftype”,”s”)[z,p,k]=butter(n,,”ftype”,”s”)n[A,B,C,D]=butter(n,n

,”ftype”,”s”)

>0)s为模拟滤波器，缺省时为n n数字滤波器；”ftype”为滤波器类型，hign”为高通滤波器，截止频率

stop”为带阻滤波器，；”ftype”n缺省为低通或带通滤波器。n 1, 2 1 2

截止频率；带通或带阻滤波器时， n

1 2。a，b分别为滤n 1,波器的传递函数分子和分母式项式系数向量；z，p，k分别为滤波器的零极点和增益；A，Bn 1,D为滤波器状态空间表达式矩阵。) (1n(21..n1)H(s) ) (1n(21..n1)状态空间表达式

xAxBu yCxDu 假设滤波器为带通或带阻型，则滤波器的阶数为2n，否则阶数为n。切比雪夫Ⅰ型模拟滤波器cheby1ChebyshevⅠ滤波器设计，调用格式为：[b,a]=cheby1(n,Rp,n[b,a]=cheby1(n,Rp,n

,”s”),”ftype”,”s”)[z,p,k]=cheby1(n,Rp,,”ftype”,”s”)n[A,B,C,D]=cheby1(n,Rp,n

,”ftype”,”s”)其中，Rp为通带波浪dbutter一样。切比雪夫Ⅱ型模拟滤波器cheby2ChebyshevⅠ滤波器设计，调用格式为：[b,a]=cheby2(n,Rs,n

,”s”)[b,a]=cheby2(n,Rs,,”ftype”,”s”)n[z,p,k]=cheby2(n,Rs,,”ftype”,”s”)n[A,B,C,D]=cheby2(n,Rs,n

,”ftype”,”s”)Rs为阻带衰减〔dbutter一样。椭圆模拟滤波器ellip用于椭圆滤波器设计，调用格式为：[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,n[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,n

,”s”),”ftype”,”s”)[z,p,k]=ellip(n,Rp,Rs,n

,”ftype”,”s”)[A,B,C,D]=ellip(n,Rp,Rs,n

,”ftype”,”s”)Rp为通带波浪〔d，Rs为阻带衰减〔dbutter一样。贝塞尔模拟滤波器besself用于贝塞尔(Bessel)滤波器设计，调用格式为：[b,a]=besself(n,n[b,a]=cheby1(n,n

), ”ftype”)[z,p,k]=cheby1(n,n

,”ftype”)[A,B,C,D]=cheby1(n,n

,”ftype”)其中，nn同。

为滤波器截止频率〔-3dB频率butter相最小阶数选择函数Matlab信号处理工具箱供给各种滤波器最小阶数选择工具函数，这些函数和滤波器设计函数连接起来可便利成功地设计各类滤波器。ButterworthButtord，调用格式为Cheb1ord，调用格式为Cheb2ord，调用格式为Ellipord，调用格式为其中，

为通带边界频率，单位rad/s；p

为阻带边界频率，单位rad/sRp

0~

之间允许最大允许幅值损失；Rp

s带下降的分贝数；”s”表示模拟滤波器〔缺省时该函数用于数字滤波器n为模拟滤波器最小阶数；n

为模拟滤波器的截止频率-3dBrad/。这四个函数适用于高通、带通、带阻滤波器。模拟原型滤波器设计函数buttap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap、besselap。buttap，函数调用格式[z,p,k]=buttap(n)cheb1ap，函数调用格式[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp)cheb2ap，函数调用格式[z,p,k]=cheb2ap(n,Rs)ellipap，函数调用格式[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs)besselap，函数调用格式[z,p,k]=besselap(n)频率转换函数Matlablp2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs。lp2lp用于实现低通模拟滤波器原型滤波器至低通滤波器的频率转换。调用格式为[bt,at]=lp2lp(b,a,)0[At,Bt,Ct,Dt]=lp2lp(A,B,C,D,)0〔bt,at〕或状态空间形式〔At,Bt,Ct,Dt〕lp2hp用于实现低通模拟滤波器原型滤波器至高通滤波器的频率转换。调用格式为[bt,at]=lp2hp(b,a,)0[At,Bt,Ct,Dt]=lp2hp(A,B,C,D,)0lp2bp用于实现低通模拟滤波器原型滤波器至带通滤波器的频率转换。调用格式为[bt,at]=lp2bp(b,a,0

,Bw)[At,Bt,Ct,Dt]=lp2bp(A,B,C,D,0

,Bw)其中，Bw为带通滤波器带宽，rad/s。lp2bs用于实现低通模拟滤波器原型滤波器至带阻滤波器的频率转换。调用格式为[bt,at]=lp2bs(b,a,0

,Bw)[At,Bt,Ct,Dt]=lp2bs(A,B,C,D,0

,Bw)其中，Bw为带阻滤波器带宽，rad/s。滤波器离散化函数impinvar基于脉冲响应不变法实现模拟滤波器至数字滤波器的转换。调用格式：[bz,az]=impinvar(b,a,Fs)为数字滤波器的分子、分母多项式系数。bilinearSZ域的映射，直接用于模拟滤波器变换为数字滤波器。对于不式。格式分别如下：[zd,pd,kd]=bilinear(z,p,k,Fs)传递函数形式: [numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)状态空间形式: [Ad,Bd,Cd,Dd]=(A,B,C,D,Fs)式中，z，p分别为模拟滤波器零、极点列向量；k为模拟滤波器增益；Fs为采样频率，单位Hz；zd，pd，kd为数字滤波器零、极点，增益。MATLAB中IIR低通数字滤波器的设计方法及设计步骤MATLAB中利用原型模拟滤波器设计IIR低通数字滤波器的步骤为指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。估量模拟滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、cheb1ord、cheb2ord、ellipord等。MATLABbuttap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap等。由模拟低通原型经频率变换获得数字滤波器〔低通〕MATLABlp2lp。将模拟滤波器离散化获得IIRMATLAB工具函数blinearimpinvar。设计流程图为开头图3-1Matlab中设计IIR滤波器的流程图IIR模器性能指标用脉冲响应不变法设计IIR低通数字滤波器的实例[实例1]TRRTH低通数字滤波器，使其特性靠近一个BUTTERWORTH低通模拟滤波器的性能指标如下：通带截止频率p

2*2krad/s，阻带截止频率 2*5krad/s，通带计通B带衰减Rs大于15dB，采样频率Fs

10000Hz。[设计程序]wp=2023*2*pi;%技术指率变换，获得模拟低通滤波器ws=5000*2*pi;Rp=3;Rs=15;Nn=128;Fs=10000;

离散化，获得IIR数字滤波器绘图[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,”s”);%计算模拟滤波器的阶数和-3dB截止频率[z,p,k]=buttap(N);%设计模拟低通巴沃斯滤波器原型[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);%零极点形式转换成传输函数形式把模拟低通滤波器原型转换成低通滤波器[bz,az]=impinvar(b,a,Fs);%离散化，得到数字滤波器[h,w]=freqz(bz,az,Nn,Fs);%数字滤小器的频率响应subplot(2,2,2);绘制零极点图zplane(bz,az);title(”系统零极点图”);系统频率响应的模Hpah=angle(h);%系统频率响应的相位freqzwsubplot(2,2,1);绘制系统幅频图plot(w/(2*pi),20*log10(Hmag));xlabel(”频率(Hz)”);ylabel(”|H(jw)|^2(dB)”);title(”平方幅频曲线”);gridon;绘制系统相频图plot(w/(2*pi),RHpah);xlabel(”频率(Hz)”);ylabel(”相位(degrees)”);相频曲线”);gridon;仿真结果如图3-2所示图3-2Butterworth低通滤波器的幅频、相频图[2]11p

2*3krad/s，阻带截止频率s

2*5krad/s，Rp3dB15dBFs

10000Hz。[程序设计]wp=3000*2*pi;技术指标ws=5000*2*pi;Rp=3;Rs=30;Nn=512;Fs=10000;[N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,”s”)%计算模拟切比雪夫Ⅰ型滤波器的阶数和-3dB截止频率[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp);设计模拟低通切比雪夫Ⅰ型滤波器原型[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);%零极点形式转换成传输函数形式[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn);把模拟低通滤波器原型转换成低通滤波器[bz,az]=impinvar(b,a,Fs);%离散化，得到数字滤波器[h,w]=freqz(bz,az,Nn,Fs);数字滤小器的频率响应subplot(2,2,2);绘制零极点图zplane(bz,az);title(”系统零极点图”);系统频率响应的模Hpah=angle(h);%系统频率响应的相位%freqzwsubplot(2,2,1);绘制系统幅频图plot(w/(2*pi),20*log10(Hmag));xlabel(”频率(Hz)”);ylabel(”|H(jw)|^2(dB)”);title(”平方幅频曲线”);gridon;绘制系统相频图plot(w/(2*pi),RHpah);xlabel(”频率(Hz)”);ylabel(”相位(degrees)”);相频曲线”);gridon;[仿真结果]图3-31型低通滤波器的幅频、相频图[3]10阶数字低通椭圆滤波器，其技术指标为:3db，60db6pi弧度，T0.1。[程序设计]技术指标Rp=3;Rs=60;w=6*pi;t=0.1;fs=1/t;Nn=512;[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs);设计模拟椭圆滤波器原型[A,B,C,D]=zp2ss(z,p,k);表达形式从零极点增益形式转换成状态方程形式[At,Bt,Ct,Dt]=lp2lp(A,B,C,D,w);把模拟低通滤波器原型转换成模拟低通滤波器[b,a]=ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);%表达形式从状态方程形式转换成传递函数形式[b1,a1]=impinvar(b,a,fs);用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器[h,W]=freqz(b1,a1,Nn,fs);%数字滤波器频率响应subplot(2,2,2);绘制零极点图zplane(bz,az);title(”系统零极点图”);Hmag=abs(h);%系统频率响应的模Hpah=angle(h);%系统频率响应的相位%freqzwsubplot(2,2,1);绘制系统幅频图plot(w/(2*pi),20*log10(Hmag));xlabel(”频率(Hz)”);ylabel(”|H(jw)|^2(dB)”);title(”平方幅频曲线”);gridon;绘制系统相频图plot(w/(2*pi),RHpah);xlabel(”频率(Hz)”);ylabel(”相位(degrees)”);相频曲线”);gridon;[仿真结果]图3-4脉冲响应不变法椭圆低通滤波器的幅频图用双线性变换法设计IIR低通数字滤波器的实例[实例1]用双线性变换法设计一个 BUTTERWORTH低通数字滤波器，使其特性靠近一个BUTTERWORTH低通模拟滤波器的性能指标如下：通带截止频率p

2*2krad/s，阻带截止频率 2*3krad/s，通带波浪Rp小于3dB，阻带衰减大于15dB，采样频率Fs

10000Hz。[程序设计]技术指标ws=3000*2*pi;Rp=3;Rs=15;Nn=512;Fs=10000;[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,”s”)[z,p,k]=buttap(N);[Bp,Ap]=zp2tf(z,p,k);[b,a]=lp2lp(Bp,Ap,Wn);用双线性变换法将模拟滤波器转换成数字滤波器[h,w]=freqz(bz,az,Nn,Fs);%数字