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《高等代数》教案

第一章多项式

关键知识点：最大公因式,互素,不可约多项式,重因式(重根）,本原多项式,对称多项式;最大公因式存在性定理(定理2，P13）,因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10，P30),艾森斯坦因判别定理(定理13，P33),对称多项式基本定理(定理15).

1.1设

f(x)?x3?(1?t)x2?2x?2u,g(x)?x3?tx?u的最大公因式是一个二次多

项式,求t,u的值.

详解作辗转相除得如下关系式:

f(x)?q1(x)g(x)?r1(x),g(x)?q2(x)r1(x)?r2(x),

其中

q1(x)?1,r1(x)?(1?t)x2?(2?t)x?u,q2(x)?1t?2,x?1?t(1?t)2?t2?t?u(t?2)2??t?2???r2(x)???x?1?2??(1?t)2??u(注:1?t?0?).?1?t(1?t)????为使最大公因式是二次,必需:r2(x)?0,解得u?0,t??4.

1.2证明:(f(x)h(x),g(x)h(x))?(f(x),g(x))h(x),(h(x)的首项系数等于1).略证(f,g)|f,(f,g)|g?(f,g)h|fh,(f,g)h|gh,又设?|fh,?|gh,则(f,g)?uf?vg?(f,g)h?ufh?vgh??|(f,g)h.

1.3证明:若(f(x),g(x))?1,(f(x),h(x))?1,则(f(x),g(x)h(x))?1.提醒u1f?v1g?1,u2f?v2h?1?uf?vgh?1(相乘所得).

1.4设(fi(x),gj(x))?1,(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n),求证:

(f1(x)f2(x)?fm(x),g1(x)g2(x)?gn(x))?1.

详证先证

(f1(x),g1(x)g2(x)?gn(x))?1??(1).

对n作归纳.n?1时成立.假设n?1时成立.下证n时也成立,设(f1(x),gj(x))?1,(j?1,2,?,n?1,n),由归纳假设,则

(f1(x),g1(x)g2(x)?gn?1(x))?1,

由题1.3,则(1)成立.

同理(fi(x),g1(x)g2(x)?gn(x))?1,(i?2,3,?,m).最终,对于m,仍用最先所证方法即得要证问题.或提醒反证,设(?f(x),?gii?1j?1mnj(x))?d(x)?1,存在不可约多项式

p(x)|d(x),推出矛盾.

1.5证明:若(f(x),g(x))?1,则(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1.提醒证(f(x),f(x)?g(x))?1.

问题(f(x),f(x)?g(x))?(f(x),g(x))?(参见题1.2).1.6求多项式详解

f(x)?x3?px?q有重根的条件.

f'(x)?3x2?p,由于f(x)是一个三次多项式,那么

f(x)有重根?f(x)有重因式?(f(x),f'(x))?1.

作辗转相除得:

f(x)?q1(x)f'(x)?r1(x),f'(x)?q2(x)r1(x)?r2(x),

其中

12927q27q2q1(x)?x,r1(x)?px?q,q2(x)?,r2(x)?p?.x?332p4p24p2上述运算中,若p?0,则必需q?0(否则(f(x),f'(x))?1),若p?0,可运算到最终,为使

27q2(f(x),f'(x))?1,必需r2(x)?0,即p??0.

4p2总之,必需4p3?27q2?0.

x2xn???1.7证明:f(x)?1?x?不能有重根.2!n!略证反证,设有重根为??f(?)?0,f'(?)?0???0?f(?)?1,矛盾.

问题

nx2nx???(?1)(1)f(x)?1?x?是否有重根?2!n!x2xp(2)f(x)?1?x?(p素数)在Q上是否不可约?(利用艾???2!p!森斯坦因判别定理).1.8若

a是f'''(x)的一个k重根,证明:a是g(x)的一个k?3重根,其中

g(x)?x?a[f'(x)?f'(a)]?f(x)?f(a).2x?a1f''(x)?f'(x)?(f'(x)?f'(a)),略证g'(x)?22g''(x)?则g(x)有重根,设重数为s则a:g''(x)的kx?a2f'''(x),g(a)?g'(a)?0,

(s?2)?a:g''(x)的s?2重根,又由题设,

?1重根,则s?2?k?1,s?k?3.

?1重根?

问题a:g'(x)的k重根?a:g(x)的k1.9证明:a是f(x)的k重根?而

f(a)?f'(a)???f(k?1)(a)?0,

f(k)(a)?0.

略证(?)由定理6推论1(P23).

(?)f(a)?f'(a)?0,则a为f(x)的重根,设重数为s,则a为的s?k重根(s?k?0由什么保证?),又由条件,a为以s?k?0,即s?k.1.10证明:假使(x2f(k)(x)

f(k)(x)的0重根,所

?x?1)|f1(x3)?xf2(x3),那么(x?1)|f1(x),

(x?1)|f2(x).

详证设?是x?x?1的一根(三次单位根),则?是其另一根.由于

22x2?x?1?(x??)(x??2),

并且

(x2?x?1)|f1(x3)?xf2(x3),

那么

(x??)|f1(x3)?xf2(x3),(x??2)|f1(x3)?xf2(x3),

则

f1(?3)??f2(?3)?0,f1(?6)??2f2(?6)?0,

即

f1(1)??f2(1)?0,f1(1)??2f2(1)?0,

所以

f1(1)?0,f2(1)?0,即(x?1)|f1(x),(x?1)|f2(x).

问题(1)x4?x3?x2?x?1|x3f1(x5)?x2f2(x5)?xf3(x5)?f4(x5)?

fi(1)?0,(i?1,2,3,4)?

(2)x3?x2?x?1|x4k?x4m?1?x4n?2?x4l?3?(k,m,n,l为非负整数).

提醒利用4(或3)次单位根探讨.1.11判定多项式可约?

略解作变换x?y?1(存在逆变换),则

f(x)?xp?px?1(p奇素数)在有理数域上是否

f(x)?(y?1)p?p(y?1)?1

p?1p?22?yp?C1y???Cy?2py?p?g(y),pp又

p|Cip,(i?1,?,p?2)(为什么?p素数),利用艾森斯坦因判别法即可.

f(x)?x5?x4?6x3?14x2?11x?3的有理根.

r,r,s?Z,s?0,(r,s)?1,则r|(?3),s|1,那么可能的有理根为s1.12求多项式

详解设其有理根为-1,1,-3,3.由综合除法

?1?1?1?111?6?14?11?310?6?8?3(01?1?5?3(01?2?3(01?3(0则知f(x)的有理根为-1(4重),3.

问题试在Q上分解多项式

f(x)?x5?2x4?4x3?4x2?5x?6.

1.13用初等对称多项式表示如下对称多项式:

f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2(x1?x3)2(x2?x3)2.

详解f是3元6次齐次对称多项式,首项为x1x2,利用基本定理的作法,则中间产生的序列(2,2,2).那么

42f1,f2,?其首项相应的数组有(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),

f,f1,f2,?的首项只有

233432222,Ax1x2x3,Bx1x2,Cx1x2x3,Dx1x2x3,x14x2可设

232.f??12?2?A?13?3?B?2?C?1?2?3?D?3取x1,x2,x3为1,1,0,代入上式,解得B??4,取x1,x2,x3为2,?1,?1,代入上式解得D??27,取x1,x2,x3为2,2,-1,代入上式,解得A??4,取x1,x2,x3为1,1,1,代入上式,解得C?18.那么

232.f??12?2?4?13?3?4?2?18?1?2?3?27?3

其次章行列式

关键知识点：逆序数,行列式的定义,矩阵及其初等行变换,元素的余子式及代数余子式,子式的余子式及代数余子式;行列式的基本运算性质,行列式的行(列)展开性质(定理3,P78),克兰姆法则;利用运算性质化三角形法,利用展开性质降(升)阶法,归纳与递归法等.

2.1设排列x1x2?xn?1xn的逆序数为I,问排列xnxn?1?x2x1的逆序数是多少?

略证在原排列x1x2?xn?1xn和倒排列xnxn?1?x2x1中,任意两个元素

2,xi,xj(i?j)之间均存在唯一一个逆序,因此二者的逆序数之和必为Cn则所求的逆序数为Cn2?I.

2.2由行列式定义计算

2xx121x1?1f(x)?32x1111x中x的系数,并说明理由.

详解由行列式定义,f(x)中的一般乘积项可设为x1j31x2j2x3j3x4j4,

只有当二三四行中所取的元素恰好有两个含x时,上述乘积项才可能产生出x的项,所以排列

3j1j2j3j4可能为4231,3214,2134三种,这三种

3中只有第三种才真正出现x的项,所以相应的项为(?1)则系数为-1.

2.3由

?(2134)x3??x3,

11?111?1D??0

????1111证明:奇偶排列各半.

详证由n级行列式的定义,则D?j1j2?jn?(j1j2?jn)(?1)a1j1a2j2?anjn??j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn),其中当排列

j1j2?jn为奇排列时,被加项为-1,当排列

j1j2?jn为偶排列时,被加项为+1,而D?0,所以在所有的n级排列中,奇

排列偶排列各占一半.

注也可以用“对换改变排列的奇偶性〞来证明:在所有的n级排列中,奇排列偶排列各占一半.

2.4设

P(x)?11xa1x2a12?xn?1?a1n?1??1an?1???2n?1an?an?1?1,

其中a1,a2,?,an?1是互不一致的数.

1)由行列式的定义,说明P(x)是一个n?1次多项式.2)由行列式的性质,求出P(x)的根.略证取a0不同于a1,a2,?,an?1,则

P(a0)?0?j?i?n?1?(ai?aj)?0

(范得蒙行列式),则P(x)?0;由行列式的定义,则每一个乘积项相应的单项式的次数不超过n?1,那么?(P(x))?n?1.

由行列式的性质,则P(aj)?0(两行对应元素一致)(j?1,2,?,n?1).所以?(P(x))?n?1,且P(x)的根分别为a1,a2,?,an?1.

2.5计算下面的行列式

2461)1014427327a2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(a?2)2(b?2)2.(c?2)21000100327543443;2)b2?342721621c22464273271000427327详解1)1014543443?2000543443?2000100443?342721621100072162110001006211132711327?10215443?1050?1?211??294?105.

1162100294a22)b2(a?1)2(b?1)2(c?1)2a1c1(a?2)2(c?2)21aa21cc2a2c22a?14a?42c?14c?4a2c22a?122b?12

2c?12(b?2)2?b22b?14b?4?b2c2a2?4b2b1??41bb2??4(b?a)(c?a)(c?b)(范得蒙行列式).

c22.6证明:

b?cb1?c1b2?c22.7计算以下n级行列式

c?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1.c2a1?b1?2a1a2?b2a2提醒后两列加到第一列,提取2倍,再第一列的(-1)倍加到后两列.

xy0?000xy?00a2?b1??????1)2)

?000?xyan?b1y00?0x

a1?b1a1?b2?a1?bna2?b2?a2?bn

???an?b2?an?bn

113)023?n?100n00

?10?2?2???00????0?n?11?nxy?00y0?00?????xy?00略解1)D?x?y(?1)n?100?xy?????00?0x00?xy?xn?(?1)n?1yn(其中第一步:按第一列展开).

b1?b2?b1?bnb1?b2?b1?bn???b1?b2?b1?bn

a1?b12)D?a2?b1?an?b10n?3???a1?b1b1?b2???(a1?a2)(b1?b2)n?2

a?bb?b?2112?n?1?a1?b1n(n?1)2(n?2)(n?1)2(n?3)(n?2)2?2n?1????00?0n00?1?n03)D?10?00?2?0?0?0?(?1)n?1(n?1)!2.

(第一步:第n列加到第n?1列,第n?1列再加到前一列,一直下去,直到第二列加到第一列)

注也可将各列均加到第一列,再求(这种行列式属其次种“K〞字型).2.8计算以下行列式

a011?1a0?10?001a10?0a10a2?02)?1)1?????an?2100?anan?1x?1?00?????00?x?100?0x

a?b3)

ab0?000000

10?0cos?10?0a?bab?1a?b??012cos?1?0?00????1a?b?000000

4)

1?2cos???0????12cos?1?a15)

11?1111111?1?an

11?11?a21?11?a3??1?1???详解1)若aj则有

?0(j?1,2,?,n),将第j?1列的(?1aj)倍加到第1列,

na0??i?1D?00?01ai1a110??10?a1a2?an(a0??i?1n0a2?0????00?an1).ai若有某个aj有

?0(1?j?n),不妨设a1?0,由定义或按其次行展开则

D??a2a3?an.

说明:这里是第一种“K〞字型,可以化为三角形行列式来作.

2)将第1行的x倍加到第2行,再将第2行的x倍加到第3行,一直这样做下去,最终将第n?1行的x倍加到第n行,则有

a0D?a0x?a1?a0xn?2?a1xn?3???an?2a0xn?1?a1xn?2???an?1?a0xn?1?a1xn?2???an?1.

?10?000?1?00?????00?0?100?00

说明:这里是第三种“K〞字型,可以化为三角形行列式来作或者如上那样化,再利用定义计算.

3)将行列式按第1列展开,那么

ab1Dn?(a?b)Dn?1?1?0?0?(a?b)Dn?1则

00?000000

a?bab?1a?b??0?0????1a?b?abDn?2

Dn?aDn?1?b(Dn?1?aDn?2),

记An?Dn?aDn?1,则An?bAn?1,那么

?a?bab?n?2?b?bn,An?A2bn?2?(D2?aD1)bn?2???a(a?b)?1?a?b??则

Dn?aDn?1?bn.

若a?b,由于行列式中a,b是对称的,则也有

Dn?bDn?1?an,

两式联立,则解得

an?1?bn?1Dn?.

a?b若a?b,则

Dn?aDn?1?an?a2Dn?2?2an???(n?1)an.

说明:此题所用方法是递归法,该方法的具体作法是:

设原行列式为Dn,需找出Dn,Dn?1,Dn?2之间的关系(也可能不涉及第三者)如Dn?aDn?bDn?1,可设Dn?xDn?1?y(Dn?2?xDn?2),比较系数,

?xDn?1,然后再设法求

定出x,y,由此转化出一个等比数列,则可求出Dn出Dn即可.

此题也可通过递归式使用其次数学归纳法求.4)将行列式按第n行展开,那么

cos?10?0012cos?1?00Dn?(2cos?)Dn?1?1???????000?2cos?0000?11?(2cos?)Dn?1?Dn?2.

由于

Dcos?11?cos?,D2?12cos??cos2?,

利用上述递归关系,则有

D3?2cos2?cos??cos??cos3?,?,Dn?cosn?.

说明:也可使用其次数学归纳法证明.5)将行列式进行扩边,则有(假设aj?0,j?1,2,?,n,否则另探讨)

111?11111?101?a11?11?1a10?0D?011?a2?11??10a2?0???????????011?11?an?100?0n1??1a11?11i?10ia10?00n??a100a2?001a2?an(1??i?1a).i??????000?0an2.9设a1,a2,?,an是数域P上的互不一致的数,b1,b2,?,bn是数域

P上任一组给定的数,证明:存在唯一的数域P上的多项式

f(x)?c?10xn?cn?21x???cn?1

使

f(ai)?bi,i?1,2,?,n.

提醒是否存在唯一的多项式

f(x)?cn?10x?c1xn?2???cn?1

使得

f(ai)?bi,i?1,2,?,n?

100?an

也就是相当于求如下的线性方程组(c0,c1,?,cn?1未知)

?c0a1n?1?c1a1n?2???cn?1?b1?n?1n?2?c0a2?c1a2???cn?1?b2??????????????n?1n?2??c0an?c1an???cn?1?bn是否有唯一解?

第三章线性方程组

关键知识点：向量组与向量组的线性表出及等价,向量组的线性相关及线性无关,向量组的极大线性无关组及秩,矩阵的秩,齐次线性方程组的基础解系,一般线性方程组的通解;替换定理(定理2,P110),方阵的行列式为零的充分必要条件定理(定理5,P129),矩阵秩的其次特性定理(定理6,

P132),线性方程组有解判别定理(P135),齐次线性方程组的基础解系存在性定理(定理7,P140).

3.1设t1,t2,?,tr是互不一致的数,r?n,证明:?i?(1,ti,?,tin?1),

i?1,2,?,r,是线性无关的.

详证1向量方程x1?1?x2?2???xr?r?0对应于齐次线性方程组x1?x2???xr?0??tx?tx???tx?0rr?1122???????????(?)?r?1,r?1r?1tx?tx???tx?0rr?1122???????????n?1n?1n?1?tx?tx???trxr?0?1122考虑其前r个方程组成的方程组

x1?x2???xr?0??tx?tx???tx?0?rr(??)?1122,

??????????r?1r?1r?1??t1x1?t2x2???trxr?0(??)的系数行列式为范得蒙行列式不等于零,因此只有零解,所以(?)也只

有零解(由于解集(?)为解集(??)的子集),那么?1,?2,?,?r线性无关.

略证2取向量组?i?(1,ti,?,tir?1),i?1,2,?,r,证明?1,?2,?,?r线性无关,从而

?1,?2,?,?r线性无关.

略证3取数tr?1,tr?2,?,tn使t1,t2,?,tn两两不同,令?j?1?(1,tj,?,tnj),

j?r?1,?,n,证明?1,?2,?,?n线性无关,从而?1,?2,?,?r线性无关.

证明?1,?2,?,?r线性

3.2已知?1,?2,?,?s(1)的秩为r,证明:?1,?2,?,?s中任意r个线性无关的向量都构成它的一极大线性无关组.

详证设?i1,?i2,?,?ir(2)为(1)的任意r个线性无关的向量构成的部分组,不妨设

?1,?2,?,?r(3)为(1)的一极大线性无关组,任取向量?j(在(1)中但不在(2)中),则向量组

?i,?i,?,?i,?j(4)可由(3)线性表出,且r?1?r,那么(4)必线性相关(定理2),所以(2)也

12r为极大线性无关组.

3.3设?1,?2,?,?s(1)的秩为r,?i1,?i2,?,?ir(2)为(1)中的r个向量,使得(1)中每个向

量都可被(2)线性表出,证明:(2)是(1)的一极大线性无关组.

提醒不妨设?1,?2,?,?r(3)为(1)的一极大线性无关组,那么(3)与(2)必然等价,因此它们有一致的秩,从而(2)也线性无关.

3.4用消元法求以下向量组的极大线性无关组与秩:

?1?(6,4,1,?1,2),?2?(1,0,2,3,?4),?4?(1,4,?9,?16,22),?4?(7,1,0,?1,3).

祥解1向量方程

x1?1?x2?2?x3?3?x4?4?0(1)

对应于如下齐次线性方程组

?6x1?x2?x3?7x4?0?4x?4x3?x4?01???0(2)?x1?2x2?9x3??x?3x?16x?x?0234?1??2x1?4x2?22x3?3x4?0117??12?90??12?90??6??????40410?840103?15?6??????A??12?90???0?11557???0?11557?

????????13?16?1??05?25?1??05?25?1??2?4223??0?840?3?02??????00?

?1??0??0??0?0?2?910000??1???5?2??00?15???0??09??0?002???2?910000???5?2?01?.

?00?00??那么(2)同解于方程组

?0?x1?2x2?9x3??x2?5x3?2x4?0(3),?x4?0?此(3)有非零解,则原向量组线性相关.又方程

x1?1?x2?2?x4?4?0(4)

对应于方程组

?6x1?x2?7x4?0?4x?x4?01???0(5),?x1?2x2??x?3x?x?024?1??2x1?4x2?3x4?0而(5)又同解于

?????x1?2x2?0x2?2x4?0(6),

x4?0此(6)只有零解,则部分组?1,?2,?3线性无关,构成原组的极大线性无关组,则原组的秩为3.

略解2作如下初等行变换

117??6?1???041??4?0A??12?90???0?????13?16?1??0?2?4223??0???用同步的初等行变换,则

2?910000???5?2?01?,

?00?00??17??6?120?????01??4?01?2?B??120???001?,

??????13?1??000??2?43??000?????

则秩(A)=秩(B)=3,那么秩{?1,?2,?3,?4}=秩{?1,?2,?4}=3,从而部分组?1,?2,?3为极大线性无关组.

3.5证明:假使向量组(?)可以由向量组(??)线性表出,那么(?)的秩不超过(??)的秩.

略证设(?)的一极大线性无关组为(?'),且(??)的一极大线性无关组为(??'),那么(?')可由(??')线性表出,又(?')线性无关,则(?')中的向量个数不超过(??')中的向量个数,即秩(?)不超过秩(??).

3.6设?1,?2,?,?n(?)是一组n维向量,证明:(?)线性无关?任一n维向量都可被(?)线性表出.

略证(?)任给n维向量?,则?,?1,?2,?,?n线性相关(n?1个n维向量),又(?)线性无关,则?可被(?)线性表出.

(?)由题设,则单位向量组?1,?2,?,?n(??)可由(?)线性表出,又任一

n维向量都可被单位向量组线性表出,则(?)也可由(??)线性表出,所以

(?)与(??)等价,那么秩(?)=秩(??)?n(单位向量组线性无关),因此(?)线

性无关.

问题设向量组?1,?2,?,?k,?k?1,?,?m线性无关,?1,?2,?,?k,?k?i

(i?1,2,?,m?k)线性相关,证明:?1,?2,?,?k,?k?1??k?1,?,?m??m线

性无关.

提醒证明两向量组等价.3.7证明:方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2(1)????????????????an1x1?an2x2???annxn?bn对任何b1,b2,?,bn都有解的充要条件是系数行列式|aij略证记

|?0.

?a11??a12??a1n??b1??????????a??a??a??b??1??21?,?2??22?,?,?n??2n?,???2?,

?????????????a??a??a??b??n1??n2??nn??n?那么对任何b1,b2,?,bn,(1)都有解?任给?,?均可由?1,?2,?,?n线性表出??1,?2,?,?n线性无关?|aij|?0.

3.8已知?1,?2,?,?r(1)与?1,?2,?,?r,?r?1,?,?s(2)有一致的秩,证明:(1)与(2)等价.

略证记秩(1)=秩(2)=t,不妨设?1,?2,?,?t(3)为(1)的一个极大线性无关组,那么(3)必为(2)的一极大线性无关组(题3.2),所以(1),(2)均与(3)等价,从而(1)与(2)等价.

注意若两向量组有一致的秩,则它们未必等价,如(1,0)与(0,1).

3.9探讨?取什么值时方程组

??x1?x2?x3?1??x1??x2?x3???x?x??x??223?1有解,并求解.

略解系数矩阵的行列式

?11d?|A|?1?1?(??2)(??1)2,

11?当??1且???2时,系数矩阵及增广矩阵的秩均为3,方程组有唯一解,由克兰姆法则,那么解为

1??1(1??)2x1??,x1?,x1?;

2??2??2??当???2时,

11??11?24???21????A??1?21?2???01?12?,

?1??1?24????0001?方程组无解.

当??1时,

?1111??1111?????A??1111???0000?,

?1111??0000?????

方程组有无穷多解,解为x1?1?x2?x3,x2,x3任取.

问题设n?2,c?0,问a,b取何值

?ax1?bx2???bxn?c?bx?ax???bx?c?12n?????????????bx1?bx2???axn?c有解,并在有解时求一般解.提醒探讨系数矩阵的行列式.

3.10证明:与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.

详证设?1,?2,?,?t(1)为一已知齐次线性方程组的一基础解系,向量组?1,?2,?,?s(2)与(1)等价,且线性无关.由替换定理,则s?t,且(2)也为一组解(基础解系的线性组合仍为解);任给一解向量?,则?可由(1)线性表出,那么?也可由(2)线性表出,所以(2)也为基础解系.

问题设方程组

?aj?1nijxj?0(i?1,2,?,s)的系数矩阵的秩为r,证明:

方程组的任意n?r个线性无关的解都是其一基础解系.

提醒设齐次线性方程组的n?r个线性无关解为?1,?2,?,?n?r(1),取其一基础解系?1,?2,?,?n?r(2),任给解?,由由替换定理,则向量组

?1,?2,?,?n?r,?必线性相关,则?可由(1)线性表出.

3.11a,b取什么值时,方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345?x?2x?2x?6x?32345???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b有解?在有解的情形,并一般解.

?1??3A?略解?0??5?12141123111?3263?11??1??a??0???30???b???011001202320231??63?.

0a??0b?2??当a?0,b?2时,R(A)?R(A)?2,则方程组有解.此时原方程组同解于

?x1?x2?x3?x4?x5?1(1),??x2?2x3?2x4?6x5?3(1)的导出组为

?x1?x2?x3?x4?x5?0(2)?x?2x?2x?6x?02345?分别取自由未知量x3,x4,x5为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),代入(2)则可解得导出组的基础解系为

?1?(1,?2,1,0,0),?2?(1,?2,0,1,0),?3?(5,?6,0,0,1),

再取自由未知量x3,x4,x5为(0,0,0)代入(1)则可解得特解为

?0?(?2,3,0,0,0),

那么一般解为

?0?k1?1?k2?2?k3?3,k1,k2,k3任意.

3.12证明:方程组

x1?x2?a1,x2?x3?a2,x3?x4?a3,x4?x5?a4,x5?x1?a5(?)

有解的充分必要条件是

?ai?15i?0.在有解的情形,求出它的一般解.

略解对方程组(?)的系数矩阵的增广矩阵作初等行变换

?1?1000??01?100A??001?10??0001?1??10001?1?1000a1?????01?100a2??001?10?a3????0001?1a4??a5???00000?5a1??a2?a3??.a4?5?ai??i?1?当且仅当

?ai?15i?0时秩(A)=秩(A),则(?)有解的充要条件是?ai?0.

i?1一般解为

(0,?a1,??ai,??ai,??ai)?k(1,1,1,1,1),k任意.

i?1i?1i?1234说明:题目3.11及3.12一般可通过探讨秩(A)=秩(A)解决问题,而3.9

应先分析系数行列式更适合.

第四章矩阵

关键知识点:非退化或非奇异矩阵,矩阵的逆,伴随矩阵,分块矩阵,初等矩阵,矩阵的等价;矩阵乘积的秩定理(定理2,P174),矩阵可逆的充要条件定理(定理3,P177),矩阵的等价标准形定理(定理5,P188),可逆矩阵能表成初等矩阵的乘积定理(定理6,P190).本章的三大问题:矩阵的求逆,矩阵的分块,矩阵的初等变换与初等矩阵.

4.1计算:

?11?1)??01??;2)??2n?cos???sin????10?n???sin???;3)?0?1?.cos????00????n?01??00??10??01??????详解1)由于???00?,且??01??与??00??可交换,则00??????????10??01??0??11??10?1?1?????????????C????n??01??????????01??01???01??00??nnnn?1?01???00?????10??0n??1n????01?????00?????01??.??????2)先不完全归纳,然后进行归纳证明.或者,假设第i次的旋转坐标变换为?．．??xi??cos??????y?i??sin??sin???xi?1????y??,cos????i?1?n?x1??cos?i?1,2,?,n,则它们的合成变换为???y?????1??sin??sin???cos????xn?1???y??,但这n?n?1?次的旋转变换的合成变换恰好相当于1次的旋转n?角的旋转变换,那么也有???x1??cosn???????y1??sinn??cos???sin???sinn???xn?1???,所以有????cosn???yn?1?n?sin???cosn?????sinn?cos?????sinn???.

cosn????010??????3)记?001??A,?0?000??0???0?00??001????0???E,则A2??000?,A3?0,

?000??????

??10???nn1n?12n?2A2那么?0?1??(?E?A)?(?E)?Cn(?E)A?Cn(?E)?00??????n???0?0?4.2设

nn?n?1?n0n(n?1)?n?22??n?1n??(A与?E可交换).

??n?f(?)?a0?m?a1?m?1???am,A是一个n?n矩阵,定义

?2?1?f(A)?a0Am?a1Am?1???amE.若f(?)??2?5??3,A????33??,

??试求f(A).

略解根据题目中的定义,则有

?2?1??2?1??10??00???f(A)?A?5A?3E???5??33???33???3??01?????00??.

????????224.3证明:任一n?n矩阵都可表成一对称矩阵与一反对称矩阵之和.提醒A?(A?A')2?(A?A')2,前者对称,后者反对称.

?a10?0????0a2?0?4.4设A??,其中ai?aj(i?j,i,j?1,2,?,n).

????????00?a?n??证明:与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.?b11b12??b21b22略证设B??????b?n1bn2?b1n???b2n?与A可交换,则aibij?ajbij,那么

?????bnn??(ai?aj)bij?0,则当i?j时,bij?0,从而B也为对角矩阵.

?a1E1??04.5设A?????0?r0a2E2?00???0?,a?aj(i?j,i,j?1,2,?,n),

???i??arEr???Ei为ni级单位阵,?ni?n.证明:与A可交换的矩阵只能是准对角阵

i?1

?A1??????A2???,其中Ai为ni级矩阵(i?1,2,?,r).???Ar??B12B22?Bn2?B1n???B2n?与A可交换,其中Bij为ni?nj阵,?????Bnn???B11??B21B?提醒设????B?n1则AiBij?AjBij,那么当i?j时,Bij?0,则B只能为准对角矩阵.

4.6用Eij表示i行j列的元素为1,而其余的元素全为0的n?n矩阵,

A?(aij)n?n,证明:

1)若AE122)若AEij?E12A,则当k?1时ak1?0,当k?2时a2k?0;

?EijA,则aki?0(k?i),ajk?0(k?j),且aii?ajj;

3)若A与所有的n级矩阵可交换,则A必为数量矩阵,即A?aE.

略证1)由AE12?E12A,则

a220?0a23?a2n??0?0?,比较即可.2)同样.

?????0?0???0??0????0?0??a21??a210?0??0???????????an10?0???0?a1103)A与所有的n级矩阵可交换,则A与Eij可交换,由2)即知成立.4.7证明:若A是实对称矩阵,且A?0,则A?0.

2?a11??a21略证记A?????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n?,则A'?A,且aij?R,那么?????ann???n2??a1j?j?1?2A?AA'?0,则?*?????*?

*?aj?1n22j?*????n?*?2?0,那么?0,则?aij?j?1???n2???anj?j?1??*

aij?0,即A?0.

4.8设sk证明:|aijkk?x1k?x2???xn,k?0,1,2,?,aij?si?j?2,i,j?1,2,?,n.

|??(xi?xj)2.

i?j略证利用行列式的乘法规则及范得蒙行列式的结果,则有

a0a|aij|?1?an?1a1?a2???an?1an??n?xini?????xi?1n?xi?1ni?1n?xi?1ni?1nn?1ini2i?x?

an?a2n?2?xi?1n?n?1i?ni?xi?1?xi?1n2n?2i1?x1?x1n?11x2?n?1x2???1xn???(xi?xj)2.?????1?i?j?nn?1n?1?xn1xn?xn11x1?x1n?1n?1x2?x2?x1????x2?4.9设A是n?n矩阵,证明:若?X???,均有AX?0,则A?0.

????x??n?略证取n维单位列向量组?1,?2,?,?n,则A?i?0,i?1,2,?,n,那么

A(?1,?2,?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?0,即AE?0,所以A?0.

4.10设B为r?r阵,C为r?n阵,且R(C)?r.证明:假使BC?0,那么B?0.

?C1????C2?略证记C??(按行分块),B?(bij)r?r,由BC?0,那么?????C??r??bCijj?1rj?0,i?1,2,?,r,又R(C)?r,即C1,C2,?,Cr线性无关,因此有

bij?0,i?1,2,?,r,j?1,2,?,r,即B?0.

另证记C??C1,C2,?,Cn?(列分块),则BC??BC1,BC2,?,BCn?,

那么BCi?0,i?1,2,?,n,又R(C)?r,不妨设C1,C2,?,Cn的前r个向量

为极大线性无关组,则有B?C1,C2,?,Cr???BC1,BC2,?,BCr??0,但是

?C1,C2,?,Cr?可逆,所以B?0.

问题设A,B,C分别为m?n,n?p,p?s矩阵,且R(A)?n,R(C)?p.证明:若ABC?0,则B?0.

提醒利用此题即可证明.

4.11证明:R(A?B)?R(A)?R(B).略证记A??A1,A2,?,An?,B??B1,B2,?,Bn?(均按列分块),则

A?B??A1?B1,A2?B2,?,An?Bn?.又组A1?B1,A2?B2,?,An?Bn

可由组A1,A2,?,An,B1,B2,?,Bn线性表出,那么

R(A?B)?R?A1?B1,A2?B2,?,An?Bn?

?R?A1,A2,?,An,B1,B2,?,Bn??R?A1,A2,?,An??R?B1,B2,?,Bn??R(A)?R(B).

4.12设A,B为n?n阵.证明:假使AB?0,那么R(A)?R(B)?n.详证设R(A)?r,记B?

?B1,B2,?,Bn?(按列分块),由AB?0,那么

?0,j?1,2,?,n,

?AB1,AB2,?,ABn??A?B1,B2,?,Bn??AB?0,则ABj说明B1,B2,?,Bn(?)是齐次线性方程组AX?0的一组解向量,另设方程组AX?0有一基础解系?1,?2,?,?n?r(??),则(?)可由(??)线性表出,所以

R(B)?R(?)?R(??)?n?r?n?R(A),即得R(A)?R(B)?n.

4.13设X?0???C?A??1?1?1X?,已知存在,求.A,C?0?0CA?(?1)rkAC?0,0详解设A为r?r阵,C为k?k阵,则X?那么X?1存在,设X?1?X11???X?21X12??,其中阵块X11,X12,X21,X22分别为?X22?

?Erk?r,k?k,r?r,r?k矩阵,由于XX?1?Er?k???0?0??,则AX21?Er,?Ek?AX22?0,CX11?0,CX12?Ek,可解得X11?0,X12?C?1,X21?A?1,

X22?0,所以X?1?0???A?1?C?1??.0??另解由于X?0???C?A??C????0???00??0?,则??A???ErEk??0???0???CA??C????0???00??0???1??A??Er0?,??A?Ek??,0???C?1则??0?所以X?10??0???1??A??Er?0???A?1?Ek??Ek?X???00???C?1??.0??0??C?1?1?,则X????0Er???0问题设X???a?ni?1,2,?,n.求X?1.

?a10?A??0a2?,其中A????0????00?0???0?,并且ai?0,

?????an?1???提醒利用此题结论计算.

4.14矩阵A?(aij)称为下三角矩阵,假使i?j时有aij可逆的下三角矩阵的逆仍是下三角矩阵.

详证对方阵的阶数n作归纳.n?1时显然成立.假设n?1时结论成立.下证n时的情形,设A?(aij)n?n为下三角阵,记A????1

?0.证明:

?a11??0??(分块),?A1??1则a11存在,且A1为n?1阶可逆的下三角阵,由归纳假设,那么A1也为下三角阵.又???1?1??a11?0??a11???En?1????0??A1???1?1?a11???0?0??a11????A1???00??,那么?A1??10??a11????1?1?En?1????A1a11??a11A?1???0?所以n时也成立.

0??1???1?1??A1???a11?0??,?1?A1?说明本问题也可设出来直接证明,对于上三角矩阵也同样成立.4.15设A为n?n矩阵(n?2).证明:A?A*n?1.

提醒若

AA*?AE.若A?0,由于AA*?A,则A*?Ann?1;

A?0,则A*?0(否则,A*可逆,A?AA*(A*)?1?AE(A*)?1?0,矛

A?0时,利用4.12探讨证明).

盾),则结论也成立.(或者当

?n,当R(A)?n，?*4.16设A同上.证明:R(A)??1,当R(A)?n?1,

?0,当R(A)?n?1.?略证若R(A)?n,则|A|?0?A?0?R(A)?n;若R(A)?n?1,则A***?0?R(A*)?1(A存在n?1阶非零子式),又AA*?0,由题4.12则

R(A)?R(A*)?n?R(A*)?1,

则R(A*)?1;若R(A)?n?1,则A*?0(A的所有n?1阶子式均为零),则

R(A*)?0.

4.17设A???提醒由于

?A1?A1A1??11??1A?,求.??,A?1????A1??1?1??A1??A?1A1??2A1?????A1???A10??2A1?????A1???00??,?A1??A1?1??.?1?1?2A1?12那么有

0??EE??A1?E??0E??????1EE?????A1?2??A1??2A1?????A1???0?10??1?12A1?,A????1A?1?A1??21说明此题也可对矩阵直接用初等变换求逆或用伴随矩阵求逆.4.18设A,B分别为n?m矩阵和m?n矩阵.证明:

EmA略证由于

BEn?En?AB?Em?BA.

?Em??A?那么,一方面有

B??Em????En???0??Em?,??En?AB???ABB??Em?BA0???????,En?AEn?????,?En?AB?B?Em0??Em???AE????n??A?

B??Em????En???0

两边取行列式并利用乘法规则及拉普拉斯定理,则

EmAB?En?AB;另一方面,也有En?Em??0??B??Em???En???AB??Em?BA0???????,En?AEn???Em则

AB?Em?BA.En问题设A,B如上,??0.证明:提醒由于

?En?AB??n?m?Em?BA.

B???Em?BA0???????,En?AEn???63

?Em??0?0???Em?Em???1?????AEn??A?B???Em???En???A且??

B???Em????En???0??,分别取行列式即可.?1?En??AB?B第五章二次型

关键知识点：非退化线性替换,矩阵的合同,二次型的标准形定理(定

理1,P215),对称矩阵的合同标准形定理,实二次型的规范形定理即惯性定理,实对称矩阵的合同规范形,实二次型(实对称矩阵)的秩及正惯性指数.正定二次型,实二次型正定的判别定理,正定矩阵,实对称矩阵正定的充要条件定理,半正定二次型及半正定矩阵.

??1??5.1证明:?????2???i1????与???????n????i2????合同,其中i1i2?in???in??是1,2,?,n的一个排列.

详证对n作归纳.n?1时,结论成立.假设n?1时结论成立.下证n时的情形.

??1??对于对角矩阵A??????2??i1?????B?与????????n???i2????,其中???in??i1i2?in是1,2,?,n的一个排列.

1)若i13，?,n的一个排列.由归纳假设,则?1,则i2i3?in是2，

??2??????i2?????合同于???n???2)若i1????,从而A合同于B.

?in???1,设ij?1,取C1?P(1,j),则

??1????i2'??C1'BC1??3，?,n的一个排列.??B',其中i2'i3'?in'是2，?????in'???由1)知A合同于B',从而也有A合同于B.

提醒也可以按相应的二次型来证(通过一非退化线性替换).5.2设A是一个n级矩阵,证明:

1)A是反对称矩阵?对任一个n维向量X,有X'AX?0;2)假使A是对称矩阵,且对任一个n维向量X有X'AX?0,那么

A?0.

略证1)(?)若A'??A,则

X'AX?(X'AX)'?X'A'X??X'AX,

因此2X'AX?0,即X'AX?0(X为任一n维向量).(?)取X??i(n维单位向量),则由X'AX?0,即得aii?0,再取

X??i??j,仍由X'AX?0,则aij?aji?0,aij??aji,即A反对称.

2)A对称,且反对称,则A?0.

5.3假使把实n级对称矩阵按合同分类,即两个实n级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同,问共有几类?

提醒两实n级对称矩阵合同?它们有一致的秩且有一致的正惯性指数.当秩为k时,正惯性指数可以是0,1,2,?,k,因此秩为k时的n级实对称矩阵可以分为k?1个合同类,所以共有

1?2???(n?1)?个合同类.

1(n?1)(n?2)25.4证明:一个实二次型f可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积当且仅当秩(f)?2和符号差(f)?0,或者秩(f)?1.

详证(?)假使秩(f)?2,符号差(f)?0,那么存在非退化线性替换

X?CY,使

2f(x1,x2,?,xn)?y12?y2?(y1?y2)(y1?y2),

而Y?C?1X,则y1,y2均为x1,x2,?,xn的一次齐次式,则f(x1,x2,?xn)

可表成两个一次齐次式的乘积.

若秩(f)?1,则存在非退化线性替换X?CY使同样结论亦成立.(?)设实二次型可设

f(x1,x2,?,xn)?y12,

f(x1,x2,?,xn)可表成两实系数一次齐次式的乘积,

f(x1,x2,?,xn)?(a1x1?a2x2???anxn)(b1x1?b2x2???bnxn).

记??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn).若秩{?,?}?1,不妨设a1?0

且??k?,k?0.则

f?k(a1x1?a2x2???anxn)2,作非退化线性替换

?y1?a1x1?a2x2???anxn,?y?x,(j?2,3,?,n)jj?则

f(x1,x2,?,xn)?ky12,此时秩(f)?1.

若秩{?,?}?2,不妨设(a1,a2)与(b1,b2)不成比例,作非退化线性替换

?y1?a1x1?a2x2???anxn?y1?z1?z2??y?bx?bx???bxy2?z1?z2,则,再作,则f?yy?2?1122nn12??y?z,j?3,?,nyj?xj,(j?3,?,n)j??j2,所以秩(f)?2,符号差(f)?0.f?z12?z25.