初二竞赛班辅导资料

本文格式为Word版，下载可任意编辑——初二竞赛班辅导资料初二年级春季数学竞赛讲义

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本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重视中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。注：有(*)标注的为选做内容。

本次培训具体计划如下，以供参考：

第一讲其次讲第三讲第四讲第五讲第六讲第七讲

如何做几何证明题平行四边形（一）平行四边形（二）梯形

中位线及其应用一元二次方程的解法一元二次方程的判别式

一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的应用

专题复习一：因式分解、二次根式、分式专题复习二：代数式的恒等变形专题复习三：相像三角形

第八讲第九讲第十讲第十一讲第十二讲

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第一讲：如何做几何证明题

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生规律思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题往往可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2、把握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；

（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最终达到证明目的。3、把握构造基本图形的方法：繁杂的图形都是由基本图形组成的，因此要擅长将繁杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

证明线段相等或角相等

两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。好多其它问题最终都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。已知：如下图，?中，?C?90?，AC?BC，AD?DB，AE?CF。ABC求证：DE＝DF

CFBAED第2页共90页初二年级春季数学竞赛讲义

如下图，已知?为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连ABC结CE、DE。求证：EC＝ED

已知：如下图，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。求证：∠E＝∠F

证明直线平行或垂直

在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特别的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一〞来证。

如下图，设BP、CQ是?的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。ABC求证：KH∥BC

BCQKAPHBCDAEEABFCD第3页共90页初二年级春季数学竞赛讲义

已知：如下图，AB＝AC，∠。A?90?，AE?BF，BD?DC求证：FD⊥ED

证明线段和的问题

（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B＝60°，AB＝BC，且∠DEC＝60°；求证：BC＝AD＋AE

已知：如图，在?中，?，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。ABCB?60?求证：AC＝AE＋CD

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AEFBDCADEBCBEAODC初二年级春季数学竞赛讲义

（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）

已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上，?。EAF??45求证：EF＝BE＋DF

证明几何不等式：

已知：如下图，在?中，AD平分∠BAC，AB?AC。ABC求证：BD?DC

BDCAADFBECD??AB?AC?BC?中，?于D，求证：ABAC??90，AD?BCABC?

BDCA14

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初二年级春季数学竞赛讲义

（1）求EC∶CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图13－2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。

如下图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC

B

E图1

FC

B

E图2

FPC

ADAD第11页共90页初二年级春季数学竞赛讲义

于F。求证：AE＝CF。

如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证：AH＝CG。

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AGEBDFC初二年级春季数学竞赛讲义

第四讲：梯形

与平行四边形一样，梯形也是一种特别的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特别的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。

通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是：

1、平移腰：过一顶点作一腰的平行线；

2、平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线；3、过底的顶点作另一底的垂线。熟悉以下基本图形、基本结论：

中位线概念：

(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．

三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。

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如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝8，DC＝6，∠B＝45°，BC＝10，求梯形上底AD的长.

如下图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的长.

ABDCBADC

如下图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，BD＝6cm.求梯形ABCD的面积.

如下图，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论.

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ADBCDCAB初二年级春季数学竞赛讲义

1、如下图，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.

2、如下图，已知等腰梯形ABCD