华东师范大学2023年高等代数考研试题

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华东师范大学2023年高等代数考研试题

一．填空、选择、是非题（共15小题，总分值60分，每题4分）

1．设3阶方阵A的特征值为2，3，5，则2A?E?2．假使?是f'''?x?的2重根，则?一定是多项式f?x?的5重根。

3．设向量组a1,?2,…，?s?s?2?线性相关，且其中任意s?1个向量线性无关，则存

在全不为0的数k1,k2,…，ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0

4．设W1与W2分别是数域K上8元齐次线性方程组AX?0与BX?0的解空间，如

果rankA?3，rankB?2,W1?W2?K，那么dim?W1?W2??

85．实反对称矩阵的非零特征值必为：A.正实数B.负实数C.1或-1D.纯虚数6．若三次实系数多项式f?x?恰有一个实根，?为f?x?的判别式，则A.??0B.??0C.??0D.??R

7.3阶整系数的行列式等于-1的正交矩阵共有个

8．设A是行列式等于-1的正交变换，则一定是A的特征值。

9．排列j1j2?jn?1jn与排列jnjn?1?j2j1具有一致的奇偶性的充要条件是n?

?mod4?

10．设?0是数域K上非齐次线性方程组AX?B的特解，?1,?2,?,?s是该方程组的导

出组的基础解系，则以下命题中错误的是：

A.?0,?0??1,?0??2,?,?0??s是AX?B的一组线性无关解向量；B.AX?B的每个解均可表为?0,?1,2?2,?,s?s的线性组合。C.2?0??1??2????s是AX?B的解；

D.AX?B的每个解均可表为?0,?0??1,?0??2,?,?0??s的线性组合。

11．以下各向量组中线性无关的向量组为：

A.?2,?3,4,1?,?5,2,7,1?,??1,?3,5,5?;B.?12,0,2?,?1,1,1?,?3,2,1?,?4,78,16?;C.(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0);D.(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7)

12.由标准欧几里得空间R中的向量组?1?(1,0,1,1)，?2?(1,?1,?1,0)，

4?3?(2,0,?1,?1)，张成的子空间W的一组规范正交基为

13．设V是n维欧几里得空间，W是V的子空间，则(W)=W（A）?（B）

???（C）=（D）?

?1??114．A??0??0?2?1?2??1?1?1?的逆矩阵A?1??012?011??15．设?是有限维线性空间V上的线性变换,假使V?KerA?ImA，则

KerA?ImA?{0}

二、计算题16．（12分）求实二次型

f(x1,x2,?xn)?2?i?1xi2?2(x1x2?x2x3???xn?1xn?xnx1)的正惯性指数、负

惯性指数、符号差以及秩。

17．（18分）探讨b1,b2,?bn(n?2)满足什么条件时以下方程有解，并求解

n?x1?x2?b1?x?x?b?223?????x?x?bnn?1?n?1??xn?x1?bn18．（12分）试在有理数域、实数域以及复数域上将f(x)?x?x?x???x?1分解为不可约因式的乘积（结果用根式表示），并简述理由。

19．（18分）已知g(?)?(??2??2)(??1)是六阶方阵A的微小多项式，且Tr(A)=6,试求（1）A的特征多项式f(?)及其若尔当典范型；（2）A的伴随矩阵A的若尔当典范型。

三、证明题20．（10分）设f(?)???a1?nn?198722*???an?1??an是实对称矩阵A的特

征多项式，证明：A是负定矩阵的充要条件是a1,a2,?,