2023届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识)：6.4简单线性规划

课时跟踪检测(三十八)简单线性规划1．(2023·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24,7)B．(－7,24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．(2023·广东高考)已知变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤2，,x＋y≥1，,x－y≤1，))则z＝3x＋y的最大值为()A．12B．11C．3D．－13．(2023·山东高考)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))C．[－1,6]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2)))4．(2023·滨州调研)在直角坐标平面上，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x＋2，,y≥0，,0≤x≤t.))所表示的平面区域的面积为eq\f(5,2)，则t的值为()A．－eq\r(3)或eq\r(3)B．－5或1C．1D.eq\r(3)5．(2023·日照模拟)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋2y≤2，))若0≤ax＋by≤2，则点(a，b)所形成的区域的面积是()A．1B．2C．3D．46．(2023·江西高考)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A．50,0B．30,20C．20,30D．0,507．(2023·石家庄质检)已知点Q(5,4)，动点P(x，y)满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x＋y－2≤0，,y－1≥0，))则|PQ|的最小值为________．8．(2023·通州模拟)定义符合条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤y≤3x，,0≤y≤a，,x，y∈N，))的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当a＝3时，“和谐格点”的个数是________．9．(2023·上海高考)满足约束条件|x|＋2|y|≤2的目标函数z＝y－x的最小值是________．10．在平面直角坐标系中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,2x－y≥0，a＞0,x≤a))表示的平面区域的面积为5，直线mx－y＋m＝0过该平面区域，求m的最大值．11．变量x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1.))(1)设z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围．12．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，请你给投资人设计一投资方案，使得投资人获得的利润最大．1．(2023·山东烟台模拟)已知A(3，eq\r(3))，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y≤0，,x－\r(3)y＋2≥0，,y≥0，))设Z为在上的射影，则Z的取值范围是()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)]B．[－3,3]C．[－eq\r(3)，3]D．[－3，eq\r(3)]2．(2023·洛阳模拟)设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥－x＋1,0≤y≤1，))，则z＝eq\f(y＋4,x＋3)的最大值为()A.eq\f(5,3)B.eq\f(4,3)C．2D．13．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？答案课时跟踪检测(三十八)A级1．选B根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0.即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24.2．选B作出如图所示的可行域，当直线z＝3x＋y经过点(3,2)时，z取得最大值，最大值为11.3.选A不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2，0)处取得，最小值在点Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))处取得，即最大值为6，最小值为－eq\f(3,2).4.选C不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,x＝t))解得交点B(t，t＋2)，直线y＝x＋2与y轴的交点为C(0,2)，由平面区域的面积S＝eq\f(2＋t＋2×t,2)＝eq\f(5,2)，得t2＋4t－5＝0，解得t＝1或t＝－5(不合题意，舍去)．5．选B点(x，y)所在的区域是一个三角形区域，其顶点是(0,0)，(2,0)，(0,1)，由于ax＋by必然在这三个点上取得最大值或最小值，故a，b满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤2a≤2，,0≤b≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1，,0≤b≤2.))在坐标平面aOb上，此不等式组表示一个矩形区域，其面积是2.6．选B设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，总利润为z，则z关于x，y的关系式为z＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x＋0.9y.且x，y满足约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋y≤50，,1.2x＋0.9y≤54，))画可行域如图，设l1：y＝－eq\f(10,9)x，将l1上下平移可知，当直线z＝x＋0.9y过点A(30,20)(注：可联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－50＝0，,1.2x＋0.9y－54＝0，))解得点A坐标)时，z取最大值，因此，当总利润z最大时，x＝30亩，y＝20亩．7.解析：不等式组所表示的平面区域如图所示，直线AB的方程为x＋y－2＝0，过Q点且与直线AB垂直的直线为y－4＝x－5，即x－y－1＝0，其与直线x＋y－2＝0的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，而B(1,1)，A(0,2)，因为eq\f(3,2)＞1，所以点Q在直线x＋y－2＝0上的射影不在线段AB上，则|PQ|的最小值即为点Q到点B的距离，故|PQ|min＝eq\r(5－12＋4－12)＝5.答案：58．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤y≤3x，,0≤y≤3，,x，y∈N))中的有序数对为(0,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共7个．答案：79.解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x＝2，y＝0时，目标函数z＝y－x取得最小值－2.答案：－210．解：不等式组表示的平面区域如图所示，其中A(a,2a)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(a,2))).所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\f(5a,2)×a＝eq\f(5,4)a2＝5，解得a＝2，则A(2,4)，B(2，－1)．又mx－y＋m＝0过定点P(－1,0)，所以y＝mx＋m，斜率m的最大值为kPA＝eq\f(4,2－－1)＝eq\f(4,3).11．解：由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1))作出可行域如图所示．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,3x＋5y－25＝0，))解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(22,5))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x－4y＋3＝0，))解得C(1,1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．(1)z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0)表示可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).(2)z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，dmin＝|OC|＝eq\r(2)，dmax＝|OB|＝eq\r(29).故z的取值范围为[2,29]．12．解：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，z代表盈利金额，则有z＝x＋0.5y，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤10，,0.3x＋0.1y≤1.8，,x≥0，,y≥0.))目标函数z＝x＋0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．作直线l0：x＋0.5y＝0并平移，当直线经过可行域内的M点时，z最大，这里M点是直线x＋y＝10与0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝10，,0.3x＋0.1y＝1.8.))得x＝4，y＝6，此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．B级1.选B约束条件所表示的平面区域如图．在上的射影为|OA→|·cosθ＝2eq\r(3)cosθ(θ为与的夹角)，∵∠xOA＝30°，∠xOB＝60°，∴30°≤θ≤150°，cosθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，∴2eq\r(3)cosθ∈[－3,3]．2．选A画出不等式组表示的平面区域为如图中阴影部分．eq\f(y＋4,x＋3)表示可行域内的点(x，y)与点P(－3，－4)连线的斜率，结合图形可知点P(－3，－4)与可行域内的点A(0,1)连线的斜率最大，故zmax＝eq\f(1＋4,0＋3)＝eq\f(5,3).3．解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，所以利润W＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300(x，y∈N)．(2)约束条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，))整理得eq\b\lc\{