《微积分》各章习题及详细答案

《微积分》各章习题及解答《微积分》各章习题及解答第第#页第一章函数极限与连续、填空题TOC\o"1-5"\h\z1、已知f(sinx-)=1+cosx,贝Uf(cosx)= 。2 r (4+3x)22、lim- 二 。x年6X(1-X2)3、xf0时，tanx-sinx是x的阶无穷小。4、limxksin-=0成立的k为。xf0 x5、limexarctanx=。xf-6“、\ex+1,x>0八 ，6、f(x)=| 在x=0处连续，则b= .[x+b,x<0「ln(3x+1)7、lim = 。xf0 6x8、设f(x)的定义域是[0,1],则f(lnx)的定义域是9、函数y=1+ln(x+2)的反函数为。x+a、10、设a是非零常数，则lim( )10、设a是非零常数，xf6x-a11、已知当xf0时，(1+ax2)3-1与cosx-1是等价无穷小，则常数a=3x12、函数f(x)=arcsin-——的定乂域是 。+x13、14、1513、14、15、lim(■7x2+2-Jx2-2)=xf+6x+2a设lim( )x=8，则Ua=xf6x-alim(1n+\：n+1)(%n+2一nn)=nf+6、选择题1、设f(x),g(x)是[-1,l]上的偶函数，h(x)是[-1,l]上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。(A)f(x)+g(x)；(B)f(x)+h(x)；(C)f(x)[g(x)+h(x)]；(D)f(x)g(x)h(x)。,、1一x2、a(x)=-——,P(x)=1-3x,则当xf1时有 。+x(A)a是比P高阶的无穷小； (B)a是比P低阶的无穷小;11+x一13、函数f11+x一13、函数f(x)=|陋+x-1kx20(x--1)在x=0处连续，则k=x=0(A)—； (B)3； (C)1; (D)0。4、数列极限limn[ln(n-1)-lnn]4、5、nf6(A)1； (B)-1；sinxx+ xf(x)=< 01xcos—^xx<0x=0x>0(C)6；，则x=0是f(x)的⑻不存在但非8。(A)连续点;(B)可去间断点；(C)跳跃间断点；(D)振荡间断点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是()(B)f(x)=x,g(x)=•<x2；(A)(B)f(x)=x,g(x)=•<x2；f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x。(C)f(x)=f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x。sinxlim=x-0|xsinxlim=x-0|x|(A) 1；1lim(1-x)x(B)-1;(C) 0；(D)不存在。x-01；-1；e； (D)e-1。9、f(x)在x的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的()0x-x(A)充分必要条件；(B)充分条件；(0必0要条件；(D)既不充分也不必要条件.10、limx(%.x2+1-x)=10、x-81;2；(C)(D) 0。11、设{1;2；(C)(D) 0。11、设{a},{b},{c}均为非负数列nnn(A)a<b对任意n成立;nn(C)极限limac不存在；nnn-8(B)且lima=0,limb=1,limc=8，则必有( )n nnn-8 n-8 n-8b<c对任意n成立；nn(D)极限limbc不存在。nnn-8r x2-11-12、当x-(8)lim—: 。xf2arctan34一x(8)lim—: 。xf2arctan34一x2(A)等于2; (B)等于0；三、计算解答1、计算下列极限x(1)lim2nsin ；n-8 2n-11(3)limx(ex-1)；x-88cos2x-2cosx-1(5)lim ;正2cos2x+cosx-1x-3(C)为8; (D)不存在但不为8。(2)limx-0cscx-cotx(4)limx-8x2x+1)2x-1j3x「v1+xsinx-、.cosx(6)lim- x-0 xtanx(7)lim(7)limn-8\11 + + +1x22x3ln(1+3：2-x)3、试确定a,b之值，使lim—ax—bJ4、利用极限存在准则求极限1+1+、.•/+」(1)limn-823nn+123n(2)设x>a>0,且x=；ax(n=1,2，…)1 n+1 nn证明limx存在，并求此极限值。nn-8nx-n-x5、讨论函数f(x)=lim 的连续性，若有间断点，指出其类型。n-8nx+n-x6、设f(x)在［a,b］上连续，且a<f(x)<b，证明在(a,b)内至少有一点自，使f也)=占。1、2、3、4、5、第一单元函数极限与连续习题解答、填空题2sin2x。f(sinx)=1+(1-2sin2x)=2-2sin2x^2 ^2 ^2二.f(x)=2-2x2 「.f(cosx)=2-2cos2x=2sin2x.lim(4+3x)2-limx—8x(1-x2)x—89x2+24x+16 八 =0o-x3+x,/limx—0tanx-sinxlimx—0tanx(1一cosx)―lim(1-cosx)—0,x—0「.tanx-sinx是x的高阶无穷小。k>0ovsin1为有界函数，所以要使limxksin1=0，只要limxk=0,即k>0。limexarctanx=0x——8兀(vlimex—0,arctanxe(——,266、vlimf(x)=lim(x+b)=b,vlimf(x)=lim(ex+1)=2,x—0+x—0+7、8、9、y=ex-1-2f(0)=b，.二b=2o「ln(3x+1)「3x1vlim =lim————.x—0 6x x—06x 2根据题意要求0<lnx<1,所以1<x<eovy=1+ln(x+2),「.(y-1)=ln(x+2),x+2=ey-1,10、11、1由(1+ax2)3-1及limx—01(1+ax2)3-1cosx-1=limx—01~—ax231—ax23~~L—-x22(利用教材P58(1+x)a-1~))与cosx-1--1x2,以可得12、由反三角函数的定义域要求可得解不等式组可得《-4<x<12、由反三角函数的定义域要求可得解不等式组可得《-4<x<2,nf(x)的定义域为一1<x<1oxw-1 4 213、limxx2+2-xx2-2=limx—+8x—+8=limx—+8x2+2-(x2-2)14、ln2即：lim(x—8xi^)x=lim[(1+1)t]3a・(1+1)a=e3a=8x-a t—8 t3a=ln8na=-ln8=Jn_^3=ln2。

3 315、215、2lim(、n+vn+1)(*n+2—<n)=lim(%n+n++1)x2

(n+2+n)==limn—+g1 12(1+、：1+-)\n-2T+T+T-2n二、选择题1、1、选(D)...F(—x)令F(x)=f(x)g(x)h(x)，由f(x),g(x)是[—l,l]上的偶函数，h(x)是[—l,l]上的奇函数，=f(—x)g(—x)h(—x)=一f(x)g(x)h(x)=一F(x)。2、选(C)=limx—1「a(x)•・・lim———二x-1P(x)1一x(1+x)•1(1—x)limx—132=limx—1(1+x)[1一31—(1一x)](利用教材P58(1+元)a一1〜))3、(A)「limf(x)=lim31+x—11—xc3 3 3一=lim-2—二一(利用教材P58(1+x)a-1〜))x—01 2-x34、(B)limn[ln(n-1)一lnn]=lim-ln(1一L)-n=—15、(C)n—gf(0一)=1,f(0+)=0nf(0)=06、选(C)在(A)中:f(x)=lnx2的定义域为x中0，而g(x)=2lnx的定义域为x>0,「.f(x)丰g(x)故不正确在(B);f(x)=x的值域为(-g,+g),g(x)=、；x2的值域为x>0,故错在(D)中.・.f(x)=1的定义域为R,g(x)=sec2x—tanx的定义域为， ，兀、{xGR,x丰k兀+—}，.=f(x)丰g(x)，故错7、7、选(D)sinxsinx•・•lim =lim =1sinxsinx,lim=—lim =—1x—0-1x1 x—0-xsinx.二lim——x—0IxI8、选(D)9、选(C)•lim(1—x8、选(D)9、选(C)•lim(1—x)x=lim[1+(一x)]r(T)=e一1,x——0 x——0由函数极限的局部有界性定理知，limf(x)存在，则必有x0的某一去心邻域使f(x)有界，而f(x)在x0的某一去心邻域有界不在x=0点极限不存在10、选(C)x—x0 1 1定有limf(x)存在，例如limsin-,函数—1<sin—<1有界，但(\/x2+1-x)(\:x2+1+x)(•.•hmx(xx2+1—x)=11mx = x-g=limx-gx-g1 _1■ 1 2：1+—+1: x2=lim.x——x—g<x2+1+x11、选(D) (A)、(B)显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当〃充分大时”的情况，不可能得出“对任意〃成立”的性质。(C)也明显不对，因为“无穷小•无穷大〃是未定型，极限可能存在也可能不存在。x2—11- /八-^-12、选(D)lim ex-1=lim(x+1)ex-1=2•0=12、TOC\o"1-5"\h\zx—1-x-1 x—1-x2-1」 Jlim ex-1=lim(x+1)ex-1=bx—1+x-1 x—1+当x―1时函数没有极限，也不是8。计算解答1、计算下列极限:xxTOC\o"1-5"\h\z(1)解：lim2nsin =lim2n• =2x。n—8 2n-1n—8 2n-11cosx x2cscx—cotx sinxsinx1—cosx21(2)解：lim 二limsnx__sinx=lim 二lim—二—x—0 x x—0 x x—0xsinx x—0x2 2((3)解：1limx(ex-1)x—8

limx•1=1x—8 x(4)解：lim(x—82 111=lim(1+ )3x=lim[(1+ j)x-2+2]3。x—8 2x-1 x—8x——2一,Y 1 、 1 -/Y[lim(1+——1广2]3•[lim(1+x―8 x— x—821、—)2]3=e3x—2(5)解：8cos2x-2cosx-1 (2cosx-1)(4cosx+1)lim =lim 工2cos2x+cosx-1 a(2cosx-1)(cosx+1)x— x―334cosx+1二lim 工cosx+1x—34x1+121+121+xsinx—%cosx_ 1+xsinx—cosx(6)解：lim =lim . x—0 xtanx x—0xtanx(%1+xsinx+vcosx)xsinx+1-cosx xsinx1-cosx二lim =lim +lim x—0 2x2 x—02x2 x—0 2x2lim(X1+xsinx+<'cosx)二2x—0113=—+—=—244(7)解：lim[x—811 + ++ 1x22x3n(n+1)=lim[(1-f+(；-。+…+(--x—8 2 23n+1=lim(1-上)=1。x—8 n+1(8)解：limx—2ln(1+3：2-x)lim32-xarctan^4—x2 x—23/4—x2=lim(x—22+x)3=]I’4x2x2+1-ax2-(a+b)x-bx+1x2+13、解：:lim( ax-b)=limx—+8x+1 x—+8二limX-"4二limX-"4、(1)v1<1+1+1+…+1+」nn+11+1+…+1(1-a)X2-(a+b)X+(1-b)

x+11-a=0a=1(*14 3-(a+b)=— b=-_2 1 2而limX-y23(2)先证有界(数学归纳法)n=1时，X=、aix>act•a=a2 1 设n=k时x>a,贝|x=.cxx>、；a2=ak k+1%k数列｛X｝有下界，n再证｛X｝单调减，n..X aX aa/1且X>0

nlimX存在，nn-8设且X>0

nlimX存在，nn-8设limx=Ann-8X X ；Xn nnn・•・X<X即｛X｝单调减，n+1 nn则有A=：aAn则有A=：aAnA=0(舍)或A=a,5、解：先求极限得f(x)=limnn—8TOC\o"1-5"\h\zI1 X >0<0 x = 0-1 x < 0而limf(x)=1 limf(x)=-1 f(0)=0x—0+ x—0一・•.f(X)的连续区间为(-8,0)U(0,+8)X=0为跳跃间断点。.6、解:令F(X)=f(x)-x,则F(X)在［a,b］上连续而F(a)=f(a)-a>0F(b)=f(b)-b<0由零点定理，3^e(a,b)使F&)=0即f&)-”0，亦即f&)=4.第二章导数与微分、填空题TOC\o"1-5"\h\z已知f，⑶=2，则lim于-f(3)= .h.0 2hf'(0)存在，有f(0)=0,则limf(x)=。x.0x1 ,,y=kx+x兀+arctan—，贝|y = 。\o"CurrentDocument"兀 x=1f(x)二阶可导，y=f(1+sinx)，则y，=；y"=。曲线y=ex在点处切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。y=ln[arctan(1-x)]，则dy=.dy dyy=sin2x4，则丁= ，--= 。dx dx28、若f(t)=limt(1+-)2tx，则f()=.x.8 x9、曲线y=x2+1于点处的切线斜率为2。10、设y=xex，贝Uy"(0)=。11、设函数y=y(x)由方程ex+y+cos(xy)=0确定，则华=dxTOC\o"1-5"\h\zIx=1+12 d2y12、设< 则/= [y=cost dx2二、单项选择11、设曲线y=和y=x2在它们交点处两切线的夹角为①，则tan3=( )。x(A)-1； (B)1； (C)-2； (D)3。八，、 c,兀 ，3、函数f(x)=etankx,且f(—)=e，则k=( )。1(A)1；(B)-1； (C) -; (D)2.4、已知f(x)为可导的偶函数，且limf(1+：)-f(1)=-2,则曲线y=f(x)在(-1,2)处切线的方程x.0 2x是。(A)y=4x+6；(B)y=-4x-2；(C)y=x+3；(D)y=-x+1.f2(x+Ax)-f2(x)5、设f(x)可导，则lim———:j= 。Ax.0 Ax(A) 0； (B) 2f(x)； (C) 2f'(x)； (D)2f(x).f'(x)。6、函数f(x)有任意阶导数，且f(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=。(A)n[f(x)]n+1；(B)n![f(x)]n+1；(C)(n+1)[f(x)]n+1；(D)(n+1)![f(x)]2。f(x+2Ax)-f(x)TOC\o"1-5"\h\z7、若f(x)=x2，则lim —— ，0=( )Ax.0 Ax(A)2x； (B)x; (C)4x； (D)4x.0 008、设函数f(x)在点x处存在f'(x)和f(x)，则f'(x)=f(x)是导数f'(x)存在的()0 -0 +0 -0 +0 0(A)必要非充分条件； (B)充分非必要条件；(C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件。9、设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-99)则f'(0)=()(A)99； (B)-99； (C)99!； (D)-99!.TOC\o"1-5"\h\z10、若f(u)可导，且y=f(―x2)，则有dy=( )(A)xf'(—x2)dx；(B)一2xf'(-x2)dx；(C)2f'(—x2)dx；(D)2xf'(—x2)dx.11、设函数f(x)连续，且f'(0)>0，则存在B>0,使得( )(A)f(x)在(0,8)内单调增加； (B)f(x)在(-8,0)内单调减少；(C)对任意的xe(0,8)有f(x)>f(0)；(D)对任意的xe(-5,0)有f(x)>f(0).f.1 -12、设f(x)=<x2S1nx x>在x=0处可导，则()ax+bx<0(A)a=1,b=0; (B)a=0,b为任意常数；(C)a=0,b=0； (C)a=1,b为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题2i fx=Intd2y(1)y=esinx，求dy； (2)\，求口一；[y=13 dx2t=1d2y(3)x+arctany=y, ； (4)y=sinxcosx，求y(50)；dx2xy=(-——)x，求y；+xf(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2005),求f'(0)；f(x)=(x-a)叭x)，叭x)在x=a处有连续的一阶导数，求f(a)、f"(a)；(8)设f(x)在x=1处有连续的一阶导数,且f'(1)=2，求limdf(cos,：x-1)。xf1+dxfb(1+sinx)+a+2x>02、试确定常数a,b之值,使函数f(x)二| 八处处可导。[eax—1x<03、证明曲线x2-y2=a与xy=b(a,b为常数)在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数f(x)对任意实数x,x有f(x+x)=f(x)f(x)，且f'(0)=1,证明f'(x)=f(x)。12 1 2 1 26、求曲线y=x3+3x2-5上过点(-1,-3)处的切线方程和法线方程。第二章导数与微分习题解答一、填空题1、-1 limf(3一八)-〃3)-11mf(3一h….(」=-1八3)=-1TOC\o"1-5"\h\z一 h- 2h h- -h 2 2，2、「(0) limfx~=limf(x)-f(0)=1(0)x.0x x.0 x—03、兀Inx+兀9=兀x1n兀+兀x兀-1/.y'l=兀Inx+兀 x=14、f'(1+sinx)•cosx,f〃(1+sinx)•cos2x-f'(1+sinx)•sinxy'=f'(1+sinx)•cosx,y"=f〃(1+sinx)•cos2x-f'(1+sinx)•sinxe-1一5、(1n(e-1),e-1)弦的斜率k= =e-1 1—0/.y，=(ex)=ex=e-1nx=1n(e-1)，当x=1n(e-1)时，y=e-1.dx6、- arctan(1-x)•[1+(1-x)2]dy=arctan(1-xdy=arctan(1-x)d[arctan(1-x)]=arctan(1-x)1+(1-x)-d(1-x)2dxdxarctan(1-x)•[1+(1-x)2]7、8、9、4x7、8、9、4x3sin2x4,2x2sin2x4 —y=2sinx4•cosx4•4x3=4x3sin2x4 dxdy=dy

dx22xdx=2x2sin2x4e21+2te21(1,2)f(t)=limt(1+—)2txx.9x,/yy=2x，由2x=2=te21:.f'(t)=e21+2te21nx=1，y=12+1=20 010、 2y=x210、 2y=x2+1在点(1,2)处的切线斜率为2:y==ex+xex，y"=ex+ex+xex二.y"(0)=e0+e0=2ex+y-ysin(xy)11、 ； 方程两边对x求导得ex+y(1+y)-sin(xy)(y+xy)=0ex+y-xsin(xy)解得ex+y-ysin(xy)ex+y-xsin(xy)12、sint-12、sint-tcost4t3再对x求导，由复合函数求导法得由参数式求导公式得圻不=t-sint21d2y d (y) 1tcost-sint1sint-1costTOC\o"1-5"\h\z =—(y)=—x-t-= ■—= 。dx2 dxxx, 2 12 21 4t3t二、选择题y=1 1,k-kt 『|=31+kk121、选(D)由1yxn交点为(1,1),k=(一)'|_=-1,k(x2)'|_=2yk-kt 『|=31+kk12「.tan①=|tan(①一①)|=|2 1

选(C) f(x)=etankx♦ktank-1x♦sec2xTOC\o"1-5"\h\z一,兀 1由f()=e得e•k-2=enk=-\o"CurrentDocument"I 乙f…f(1+x)-f(1)「 f(-1-x)-f(-1)选(A)由lim- =lim- ―-xf0 2x x.0 2x=lim"-1-：)-f(-1).(-：)=f，(-1).(-：)=-2nf，(-1)=4xf0 -x 2 2•・•切线方程为：y-2=4(x+1)即y=4x+65、选(D)limf2(x+>)-,2(x)=[f2(x)]'=2f(x)・f'(x)Axf0 邓6、选(B) f〃(x)={[f(x)]2}'=2f(x)・f'(x)=2f3(x)f〃'(x)=[2f3(x)]'=2*3f2(x)-f'(x)=2*3f4(x)设f(n)(x)=n!fn+1(x)，则f(n+1)(x)=(n+1)!fn(x)•f(x)=(n+1)!fn+2(x)二.f(n)(x)=n!fn+1(x)f(x+2Ax)-f(x) f(x+2Ax)-f(x)、7、选(C)lim 0 0-=lim2- 0 0-=2f(x)TOC\o"1-5"\h\z20 Ax 20 2Ax 0又「f(x)=(x2)'=2x，.=2f(x)=4x0 08、选(C) vf(x)在x处可导的充分必要条件是f(x)在x点的左导数f(x)和右导数f'(x)都0 0 - 0 + 0存在且相等。9、选(D)vf(x)=(x-1)(x-2)-(x-99)+x(x-2)…(x-99)+x(x-1)(x-3)-(x-99)+•一+x(x—1)(x—2)•一(x-98)・・.f(0)=(0-1)(0-2),…(0-99)=(-1)99.99!=-99!另解：由定义，f(0)=limf(x)-f(0)=lim(x-1)(x-2)…(x-99)xf0 x-0 xf0=(-1)99・99!=-99!10、选(B) v[f(-x2)]'=f(-x2)-(-x2)'=-2f(-x2)/.dy=-2xf'(-x2)dx11、由导数定义知f'(0)=limf(x)-f(0)>0,xf0 x再由极限的保号性知35>0,当xe(-8,5)时f(x)-f(0)>0,x从而当xe(-S,0)(xe(0,5))时，f(x)-f(0)<0(>0),因此C成立，应选C。12、由函数f(x)在x=0处可导，知函数在x=0处连续limf(x)=limx2sin—=0,limf(x)=lim(ax+b)=b,所以b=0。xf0+ xf0+ xxf0- xf0一y2si/f(x)-f(0) y f(x)-f(0)ax又f(0)=lim —=-^=lim x=0,f(0)=lim^――-=一=a,+ xf0+ x-0 xf0+ x - xf0- x-0 x'所以a=0.应选C。三、计算解答1、计算下列各题1 1,•(—-)dx=-x x1 1,•(—-)dx=-x x21 2.21—sin—exdxx2 x(1)dy=exd(sin2_)=ex•2sincosxx

,dy 3t2 d2y912八d2y,八(2)-=—=3t3,--L= =913,a—Z|二9dx1 dx2 1 dx2t=1TOC\o"1-5"\h\zt t.•一一1(3)两边对x求导：1+- -y=yny=y-2+11+y2„ , - 21y=-2y-3-y=-2y-3.(y-2+1)=--( +1)y3y2. 1・cy=sinxcosx=-srn2x， 一•一兀”ay=cos2x=sin(2x+—)y=2cos(2x+?)=2sin(2x+2•?兀设y(n)=2n-1sin(2x+n•一)2兀 兀贝Uy(n+1)=2ncos(2x+n•一)=2nsin(2x+(n+1)一)22兀、c.cay(50)=249sin(2x+50•—)=-249sin2x(5)两边取对数：lny=x[lnx-ln(1+x)]1两边求导：一•y=lnx-ln(1+x)+1-yxy=( )x[Inx-ln(1+x)+1-+x(6)利用定义：TOC\o"1-5"\h\zf(0)=limf(x)-f(0)=lim(x+1)(x+2)(x+3)…(x+2005)=2005!x—0 x x-0f(x)=9(x)+(x-a和'(x)af(a)=9(a)又fW(a)=limf(x)-f(a)=lim叭x)+(x-a加(x)-^(a)xfa x-a x-a x-a=lim[叭x)-1⑷+中，(x)]=B(a)+①'(a)=2①'(a)x-a x-a[注：因中(x)在x=a处是否二阶可导不知，故只能用定义求。]d .——- . .——- .——- 1lim—f(cosvx-1)=lim[f(cos、.x-1)•(-sin%,x-1),—. ]x-1+dx x-1+ 2Vx-1=limf'(cos%'x-1)•lim：2^1=f'(1)•(-2)=-1x—1+ x—1+2%x-1 22、易知当x丰0时，f(x)均可导，要使f(x)在x=0处可导则f(0)=f(0),且f(x)在x=0处连续。即limf(x)=limf(x)=f(0)+ 一x—0- x—0+limf(x)=b+a+2而x—0.limf(x)=0尸a+b+2=0x—0+f(x)-f(0) (1+sinx)+a+2-b-a-2TOC\o"1-5"\h\z又f'(0)=lim——=lim =b+ x—0+ x—0 x—0+ xf'(0)=limeax—f'(0)=limeax—1—b—a—2=lim =lim—=ax—0- x x—0-x

3、证明：设交点坐标为(x,y)，则％2—y2=axy=b0 0 0 0 00x对x2—y2=a两边求导：2x—2y,y—0=^y——yxTOC\o"1-5"\h\z・・・曲线x2—y2=a在(x,y)处切线斜率k=yI—-00 0 1 x=x0 y,0, 7b,b又由xy=bny=—ny=--x x2b「.曲线xy=b在(x,y)处切线斜率k=yI=-一00 2 x=x0 x20x,b、b,又,:kk=-9--(―——)=- ——12y x2 xy0 0 00二•两切线相互垂直.4、设t分钟后气球上升了x米，则tana=壶da 1dx140 7两边对t求导:sec2a•——= •两边对t求导:dt 500dt50025da7—————•cos2adt25兀当x=500m时，a——4当x=500m时，———--,————(弧度/分)dt252505、证明：f(x)=limhf0=limhf0f(x)•f(h)-f(x+0)=limhf0f(x)•f(h)-f(x)•f(0)=limf(x)hf0hf(h)-f(0)

h=f(x)•f(0)=f(x)6、解：由于y'=3x2+6x，于是所求切线斜率为k=3x2+6xI =-3，x=-1从而所求切线方程为y+3=-3(x+1)，即3x+y+6=011又法线斜率为 k=-——2k3

1所以所求法线方程为y+3=3(x+1)，即3y-x+8=0第三章中值定理与导数应用、填空题limxlnx=。x-^0函数fG)=2x一cosx在区间函数fQ)=4+8x3-3x4的极大值是单调增。4、曲线y=x4-6x2+3x在区间 是凸的。5、函数fQ)=cosx在x=0处的2m+1阶泰勒多项式是6、曲线y=xe-3x的拐点坐标是 。7、若fQ)在含x0的狐b)(其中a<b)内恒有二阶负的导数，且——最大值.8、y=x3g,内)内有 个零点。，则fQ)是fQ)在Q,b)上的09、limcotx(-1)x.0 sinxx10、lim(--x.0x2-^)=xtanx11、曲线y=e-x2的上凸区间是.12、函数y=ex-x-1的单调增区间是.二、单项选择TOC\o"1-5"\h\z1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0)=0,f'(0)=1,f〃(0)=-2,则limf(x)-x=()x.0 x2(A)不存在；(B)0； (C)-1； (D)-2。2、设f'(x)=(x-1)(2x+1),xe(-g,+g),则在(1,1)内曲线f(x)( )(A)单调增凹的； (B)单调减凹的；(C)单调增凸的； (D)单调减凸的。3、f(x)在(a,b)内连续，xe(a,b),f'(x)=f"(x)=0，则f(x)在x=x处()0 00 0(A)取得极大值； (B)取得极小值；(C)一定有拐点(x0,f(x0))； (D)可能取得极值，也可能有拐点。4、设f(x)在a,b］上连续，在(a,b)内可导，则I：在(a,b)内f(x)三0与n：在(a,b)上f(x)三f(a)之间关系是()(a)i是n的充分但非必要条件； (b)i是n的必要但非充分条件；(C)i是n的充分必要条件； (d)i不是n的充分条件，也不是必要条件。5、设f(x)、g(x)在a,b」连续可导，f(x)g(x)中0,且f'(x)g(x)<f(x)g'(x)，则当a<x<b时，则有()(A)f(x)g(x)<f(a)g(a)； (B)f(x)g(x)<f(b)g(b);g(x)>g(a)

fg(x)>g(a)

f(x)f(a)TOC\o"1-5"\h\zC) < ；g(x) g(a)6、方程x3-3x+1=0在区间(-g,+g)内( )(A)无实根； (B)有唯一实根；(C)有两个实根； (D)有三个实根。7、已知f(x)在x=0的某个邻域内连续，且f(0)=0,limf(x)=2，则在点x=0处f(x)( )x.01-cosx(A)不可导； (B)可导，且f'(0)中0；(C)取得极大值； (D)取得极小值。f"(x)8、设f(x)有二阶连续导数，且f'(0)=0,lim=1，则( )x.0|x|

(A)f(0)是f(x)的极大值； (B)f(0)是f(x)的极小值；(C)(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点； (D)f(0)不是f(x)的极值点。9、设a,b为方程f(x)=0的二根，f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，则f'(x)在(a,b)内()(A)只有一实根； (B)至少有一实根；(C)没有实根；(D)至少有2个实根.10、在区间［-1,1］上满足罗尔定理条件的函数是( )(A)f(x)=—; (B)f(x)=|x|;x2f(f(x)=1-x2；f(x)=x2-2x-1。11、函数f(x)在区间(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)>0是函数f(x)在(a,b)内单调增加的( )(A)必要但非充分条件； (B)充分但非必要条件;(C)充分必要条件； (C)无关条件.12、设y=f(x)是满足微分方程y"+y'-esinx=0的解，且f'(x0)=0，则f(x)在((A)x(A)x的某个邻域单调增加；0(C)x处取得极小值；0三、计算解答1、计算下列极限limx--1+”-varccosx<x+1(B)x的某个邻域单调减少;0(D)x处取得极大值.0lncotxlim——；x.0+lnxex-eex-esinx(3)lim一八、x.0x2ln(1+x)(4)limx.011+—ln(1-x)x x2x-arctanx lntan(ax)(5)lim——：—； (6)lim —TT^ox.0 x3 x.0+lntan(bx)2、证明以下不等式(1)、设b>a>e，证明ab>b“。八 兀 .(2)、当0<x〈一时，有不等式tanx+2sinx>3x。23、已知y=x3sinx，利用泰勒公式求y⑹(0).4、试确定常数a与n的一组数，使得当x-0时，axn与ln(1-x3)+x3为等价无穷小。5、设f(x)在la,b］上可导，试证存在白(。<^<b)，使—b3 a3=12bf也)十丁《Jb-af(a)f(b)6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该体积最小值.7、若f(x)在［0,1］上有三阶导数，且f(0)=f(1)=0,设F(x)=x3f(x)，试证：在(0,1)内至少存在一个白，使F"'&)=0.

一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、第三章中值定理与导数应用习题解答lnx0limxlnx=lim=lim1x—0 x—0_ x—0x—=lim(-x)=01 X—0x2(-8,+8) •「f(x)=2+sinX>0「.f(一、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、第三章中值定理与导数应用习题解答lnx0limxlnx=lim=lim1x—0 x—0_ x—0x—=lim(-x)=01 X—0x2(-8,+8) •「f(x)=2+sinX>0「.f(X)在(-8,+8)上单调增20 •••f(x)=24x2-12x3=-12x2(x-2)令f'(x)=0nx=0,x=2当x<2时，f(X)>0:当x>2时，f(x)<0「•极大值为f(2)=20(-1,1)y'=4x3-12x+3，y〃=12x2-12=12(x+1)(x-1)当x<-1时，y〃>0.当Xe(-1,1)时，•••曲线在(-1,1)上是凸的11 11--X2+—X4+ +(-1)m X2m2! 4! (2m)!y"<0;当xe(1,+8)时，y〃>0(见教材P13页，泰勒公式)22(3,3e-2)•/y=e-3x-3xe-3x=e-3x(1-3x)，2y=-3e-3x(1-3x)-3e-3x=e-3x(9x-6)=9e-3x(x-3)22 2令y=0nx=3，当x<-时，y<0;当x>3时y>02 ,,22xy=3e-2」.拐点为(3,3e-2)f(X)-f(X)「f"(x)=lim_ 0=lim0 X—XX—X0 人人0 X—X0当X<X时，f'(X)>0,f(X)单调增加；当X>X时，f(x)<0,f(x)单调减少0・•・y在(-8,+8)上单调增加又limy=-8limy=+8.「.在(-8,+s)内有1个零点。10、1613X--8原式=limx-0X-+8cosx(x-sinx) x-sinx =limcosxlim Xsin2xtanx-x原式:二lim x2tanx二limX—0x-0tanx-xx—0 x3=limx—01-cosX1「sec2x-1 1「 tan2x=lim =一lim——x—0 3X2 3x—0X211、(-卓号时,y"<0,上凸，2v2其它区间y">0，上凹，故应填入(-^―A-)。12、(0,+8)函数y=ex-X-1的定义区间为(-8,+8)，在定义区间内连续、可导，且y'=ex-1,因为在(0,+8)内y'>0，所以函数y=ex-x-1在(0,+8)上单调增加。二、选择题f(x)-x f(x)-1 f(x)1、选(C)lim =lim =lim x—0 X2 x—0 2X x—02

2、选(B)当xe(1,1)时，f'(x)<0，又f"(X)=4x—1=4(X一J)>0xeI・•・f(X)在(：,1)上单调减且为凹的。3、则f'(0)=f"(0)=0,X=0是f(X)=X3的拐点；设f(X)=X4,3、f,(0)=f"(0)=0,而X=0是f(x)=x4的极值点。4、选(C)由f(x)在(a,b)内f'(x)三0的充分必要条件是在(a,b)内f'(x)三C(C为常数)，又因为f(X)在［a,b］内连续，所以C=f(a)，即在(a,b)上f(x)三f(a)。5、选(C)由f'(x)g(x)<f(x)g'(x)nf'(x)g(x)—f(x)g'(x)<0n［当)］'<0nf^)单调减少，xe(a,b)g(x) g(x).f(x)f(a)• << .g(X)f(b)6、选(D) 令f(x)=x3—3x+1，贝Uf(x)=3x2—3=3(x—1)(x+1)；当x<—1时，f'(x)>0,f(x)单调增加，当xe(—1,1)时，f'(x)<0,f(x)单调减少当xe(1,+8)时，f'(x)>0,f(x)单调增加。而f(f=3,f(1)=Tlimf(x)=一8,limf(x)=+8X―—8 X—+8f(X)在(—8,—1)上有一实根，在［—1,1］上有一实根，在(1,+8)上有一实根。7、选(D)利用极限的保号性可以判定f(X)的正负号：(在X=0的某空心邻域);即f(X)在X=0取极小值.(在X=0的某空心邻域);即f(X)在X=0取极小值.X—01一cosX 1一cosX由1一cosx>0,有f(x)>0=f(0)8、选(B) 由极限的保号性：limX—0|limX—0|X||X|>0(在X=0的某空心邻域)；由此f"(X)>0(在X=0的某空心邻域)，f'(x)单调增，又由f'(0)=0,f'(x)在x=0由负变正，由极值第一充分条件，X=0是f(x)的极小点.9、选(B)由罗尔定理保证至少存在一点白£(a,b)使f'&)=0。10、11、12、选(10、11、12、选(C)选(B)选(C),A选项f(X)在X=0不连续，B选项f(X)在X=0处不可导，D选项f(1)中f(—1)。如y=X3在(—8,+8)单增，但f'(0)=0，故非必要条件。由f(X)=0有y"(X)=esinX0一y'(x)=esinx0>0所以f(X)在X0处取得极小值。、计算解答1、计算极限(1)解：lim

V,兀一varccosx=limX——1+ln⑵解：lim=limX——1+ln⑵解：limcotX =lim.(一csc2X)cotXx—0+lnXx—0+=lim一X—0+x•sinx

cosx•sin2x12Jarccosx.vi一x2 1 1 二lim；1 X―t+%arccosx2工x+1

ex—esinx(3)解：lim————-=limx—0x2ln(1+x) x—0esinex—esinx(3)解：lim————-=limx—0x2ln(1+x) x—0esin%(ex—sinx—1)x3x—sinxlim x—0 x31—cosx=lim x—0 3x1231 1 x+ln(1—x)(4)解：lim[—+一ln(1—x)]=lim x—0xx2(5)解：limx—0x—arctanxx31—lim——x—0x211—lim一x—0=lim[—

x—02(1—x)]二-2(6)解：limx—0+lntan(ax) =limlntan(bx)x—0+tan(ax)

-1-tan(bx)=limx—0x23x2(1+x2)•sec2(ax)•a 二lim•sec2(bx)•bx—0+tan(bx)•sec2(ax)•atan(ax)•sec2(bx)•b=limx—0+bx•cos2(bx)=limx—0+ax•cos2(ax)•b2、(1)证明：ab>baoblna>aln2、令f(x)=xlna—alnx，则f(x)在[a,b]上连续•・•f(x)=lna—a>0xg[a,b]xf(x)在[a,b]上单调增加，f(b)>f(a)得blna—alnb>alna—alna=0，即ab>ba八/ 八. 八 /八兀、(2)令f(x)=tanx+2sinx—3x在xg(0,—)时2TOC\o"1-5"\h\z1 cc'•cosx•cosx—3=0COS2xf(x)=sec2x+2cosx—3= •cosx•cosx—3=0COS2xcos2x. - -兀 一. —. _、 -f(x)>0，「.f(x)在(0,—)上单调增,又・.・hm/(x)=lim(tanx+2sinx—3x)=02 x—0+ x-0+小兀、「.Vxg(0,一)，f(x)>limf(x)=0， 即tanx+2smx>3x2 x—0+3、解：・・・麦克劳林公式f(x3、解：・・・麦克劳林公式f(x)=f(0)+f'(0)x+2!n!xn+o(xn)x3 x5 x2m—1而sinx=x— +— +(—1)m—1 +o(x2m)3! 5! (2m—1)!4、解：x6 x8x4、解：x6 x8x4———+——+—对比x6的系数有:3! 5!f(6)(0)_-6!1 6!——nf(6)(0)=— =—1203! 3!axn丁lim =limx—0ln(1—x3)+x3 x—0anxn—1an=lim[——x”6(1—x3)]=1x—0 35、即证：b3f(b)—a3f(a)b—ay2[3f化)+匕f汽)]令F(x)=x3f(x),则F(x)在［a,b］上满足拉格朗日定理的条件・•・三白£(a,b)，使F(b)—F9)=F)

b一a即b3fb-a3f⑷=3m2f化)+己3f也)b-a1 b3 a3 y- -,一即工—一、小、y2[3"IH丁&)]b-af(a)f(b)6、解： 设圆锥的高为h，底面圆半径为R，则有比例关系h一rr hr2=一nR2二 hh2+R2 R h一2r1 1 h2r2=—兀R2h=—兀- 3 3 h一2rdV_12hr2(h-2r)-h2r2_3兀hr2(2h-4r-h)=兀=dh3 (h-2r)2 (h-2r)2dV令=0n唯一驻点h=4rdhTOC\o"1-5"\h\z1i.一.…1 16r2-r2 8所以，当h—4r时，体积最小，此时V――^,— ——^r33 4r-2r 37、解：由题设可知F(x),F'(x),F"(x),F"'(x)在[0,1]上存在，又F(0)=F(1)，由罗尔定理,三彳e(0,1)使F,化)=0，又F'(0)=[3x2f(x)+x3f(x)]l=0,可知F'(x)在[0,5]上满足罗尔定理，于是1 x—0 1北e(0,m)，使F"&)=0,又F"(0)=[6xf(x)+6x2f(x)+x3f"(x)]l=0，对F"(x)在[0,m]上2 1 2 x=0 2再次利用罗尔定理，故有1e(0,1)u(0,m)u(0,1)，使得F"'色)=0。21第四章不定积分一、填空题1、Jx个xdx=Jdxx2xJ(x2一3x+2)dx=cos2x,J dx二cosx一sinxJdx1+cos2xsinJt[J—=~~dt= 5xsinxdx=arctanxdx=9、Jsin2xdx二 1+sin2x10、Jxf”(x)dx=.11、12、J 1.dx=(x+3)%：x+1Jdxx2+2x+5(A)d二、单项选择1、对于不定积分(A)d二、单项选择1、对于不定积分(C)FQ)-GQ)=C(常数)；(D)FQ%GQ)4、若Jf(x3)dx=x3+c，则f(x)=()=C(常数)。下列等式中()是正确的。(B) JfQ)7x=f(x)；(C)JdfQ)=fQ); (D)d~]f(xd=f(x)。2、函数f(x)在Q8,+W)上连续，则djf(x^dx■等于()(A)f(x);(B)f(x)dx;(C)fQ)+C;(D)f()dx.TOC\o"1-5"\h\z3、若FQ)和GQ)都是fQ)的原函数，则( )(A)FQ)—GQ)=0； (B)FQ)+GQ)=0;(A)5x3+c；(B)5x3+c；(C)x3+c；(D)x+c。5、设f(x)的一个原函数为xInx，则Jxf(x)dx=()…z1.1i 、, /、z1,1i 、,(A) x2(—+—ln x)+c； (B)x2(—+—In x)+c ；11 11(C)x2(-—2Inx)+c；(D)x2(―——Inx)+c。6、设Jf(x)dx=x2+c，则Jxf(1-x2)dx=()(A)-2(1-x2)2+c；(B)2(1-x2)2+c；1(C)--(1-x2)2+c；(D)，(1-x2)2+c。27、J3dx=()ex+1(A)lnIex+11+c；(B)lnIex-11+c；(C)x-21nIex+11+c；(D)21nIex-11-x+c.8、若f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是( )(A)1+sinx； (B)1—sinx；9、F'(x)=f(x),f(x)为可导函数，(A)—2x—1； (B)—x2+1；(C)1+cosx； (D)1—cosx。且f(0)=1,又F(x)=xf(x)+x2，则f(x)=()(C)—2x+1； (D)—x2—1。10、3-2x—2-3x,

J dx=(2x(A)3x—21n3.(3)x+C；3(B)3x—2x,(—)xt+C；2(C)3—11、21n3—1n22(D)3x— (ln3—ln23xexdx=( )1(A)——3xex+C；(B)1n31+1n33xex+C；(C)—3xex； (D)；1n3 ；10 3xex。1+1n312、J1 1sec2—dx=(x2 x11(A)tan—+C； (B)—tan—+C；x三、计算解答1、计算下列各题1(C)cot—+C；

x1(D)—cot—+C。

x(1)J(3)(5)xdx；工a2—x2xarccosxJ—. dx；*：1—x2Jxsin2xdx；(2)Jx2+4x+13dx；(4)Jxexdx；ex—1、InI+ex，(6)J dx。2、设f(in2x)=cos2x+tan2x,ex当0<x<1时求f(x).3、4、设F(x)为f(x)的原函数，当x>0时有f(x)F(x)=sin22x，且F(0)=1,F(x)>0，求f(x)。确定A、B使下式成立JdxAsinx+bJdx5、U+2cosx力 1+2cosx 1+2cosx设fQ)的导数f，Q)的图像为过原点和点(2,0)的抛物线，开口向下，且fQ)的极小值为2,极大值为6,求fQ)。1、、填空题25〃—x2+C52、2_3——x2+C3、31x3—34、5、6、7、第四章Jdxx2、.x不定积分习题解答sinx—cosx+CItanx+C2J(x2—3x+2)dx=3x3—|x2+2x+C.JJJ-cos2xcosx—sinxcos2x—sin2x7dx_J dxcosx—sinx(cosx+sinx)dx=sinx—cosx+C。dx_Jdx1+cos2x 1+2cos2x—12=1Jsec2xdx二，tanx+C。2—xcosx+sinx+CJs'n，tdt_2Jsinttd-tt_—2cosJt+C。vtJxsinxdx_—Jxdcosx_—xcosx+Jcosxdx8、8、xarctanx—arctanx+CJcosx+sinx+C。arctanxdx=xarctanx—Jdarctanx9、ln(1+sin2x)+C_xarctanx—arctanx+C。sin2x 2sinxcosx,J dx_J dx10、xf'(x)—f(x)+C1+sin2x_Jdsin2x1+sin2xJxf"(x)dx_J1+sin2x-=ln(1+sin2x)+C.xdf'(x)=xf'(x)—Jf'(x)dx=xf(x)—Jdf(x)=xf，(x)—f(x)+C11、,；x+1、八 . -V2arctan( )+C令\x+1_t，贝|x_12—1k2 …原式_J-一1--d(t2—1)_J2dt(12+2),t 12+2_、；2J」_42arctan(-t=)+C_J2arctan(.xil)+C.v;2 V212、1x+1 dx dx1x+1人arctan +CJ =J 二—arctan +C.2 2 x2+2x+5 (x+1)2+42 2二、选择题1、选(D)。由dJfQ)7x_fQ)dx,Jf晨)7x_fQ)+C,JdfQ)=fQ)+C知(A)、(B)、(C)选项是错的，故应选D。2、3、4、(B)。由微分的定义知矶f(x)dx]=f(x)dx。(C)。函数f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数.(B)两边对Jf(x3)dx=x3+C微分得2f(x3)=3x2,f(t)=3t3/.f(x)=Jf'(x)dx=J5、选（B）I5、选（B）xd(xInx)=x2Inx-JxInxdxx2 x 1 1、 「=x2———lnx+J—dx=x2(Inx+—)+C2 2 2 46、选（C）Jxf(1-x2Mx=-2Jf(1-x2M(1-x2)=-2(1-x2)6、选（C）7、选（D）J上ex+1ex+1-2 2 7dx=J dx=J1 dx=x-2Jex(ex+1)exex+11dx=x-2 dexex(ex+1)ex+1ex+1)dex=x-2x+2lnIex+ex+1=-x+2ln|ex+11+C8、选(B)由题意知f(x)=sinx，.二f(x)=-cosx+q,/.f(x)的原函数为Jf(x)dx=-sinx+Cx+C,2 1取C=0,C=1,故选B。9、选(C)由F(x)=xf(x)+x2两边求导得F'(x)=f(x)+xf'(x)+2x，又F'(x)=f(x)，所以f'(x)=-2,所以f(x)=J-2dx=-2x+C,又因为f(0)=1，所以C=1,f(x)=-2x+1。10、(D)dx=J[3-2-(3)x10、(D)dx=J[3-2-(3)x]dx=3x-2.-4t2 ln323-)x+C11、(B)12、(B)-- 1 3一=3x-2• •(—)x+C。ln3-ln22J3xexdx=J(3e)xdx=--—(3e)x=——3——3xex。ln3e1+ln3J1 1J1 1J11 1sec2—dx=-J(-一)sec2—dx=-Jsec2—d—=-tan—+C。x2xxx、计算解答1、计算下列各题xT1 1T/ 、 : (1)解：J dx=- (a2-x2)2d(a2-x2)=-、a2-x2+C；a2-x2 2（2）解：Jx（2）解：Jx+1 1J2x+4-2 1Jd(x2+4x+13)Jd(x+2) dx=—J dx=—J —J x2+4x+13 2x2+4x+13 2 x2+4x+13(x+2)2+321 1 ，x+2-=]ln(x2+4x+13)-3arctan_3+C；xarccosx,(3)解：J—, dx=-JarccosxdQ1-x2)1-x2=-、1-x2arccosx+JV1-x2•(- )dx11—x2i-\.1-x2arccosx-x+C；

xex. 一，一、(4)解：J.dx令弋ex-1=t，则x=ln(t2+1)kex—1得Jln(t2+D.(t2+D.工dtt 12+1=2Jln(12+1)dt=21ln(12+1)-2J dt12+1=21ln(12+1)-4(t-arctant)+C=2%,ex-1•x-4\：ex-1+4arctan、&-1+C；…5J/J 1-cos2x, 1J』1J(5)解：Jxsin2xdx=Jx• ———dx=xdx- xcos2xdxTOC\o"1-5"\h\z2 2 211 11 1=—x2- xdsin2x=—x2——xsin2x--cos2x+C；4 4 4 4 8 ;(6)解:J1n"+ex)dx=-Jln(1+ex)d(e-x)=-e-xln(1+ex)+Je".exdxex 1+ex1+ex-ex,=-e-xln(1+ex)+J —dx1+ex=-e-xln(1+ex)+x-ln(1+ex)+