过错控制编码

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2.1.引言

什么是过错控制编码（纠错编码、信道编码）？为什么要引入过错控制编码？过错控制编码的3种方式？

本章主要陈述：前向纠错编码（FEC）、常用的简单编码、线性分组码（汉明码、循环码）、简单介绍RS码*、BCH码*、FIRE码*、交织码，卷积码极其译码、TCM编码*。

一、什么是过错控制编码及为什么引入过错控制编码？

在实际信道上传输数字信号时，由于信道传输特性不理想及加性噪声的影响，接收端所收到的数字信号不可避免地会发生错误。为了在已知信噪比状况下达到一定的误比特率指标，首先应当合理设计基带信号，选择调制解调方式，采用时域、频域均衡，使误比特率尽可能降低。但若误比特率仍不能满足要求，则必需采用信道编码（即过错控制编码），将误比特率进一步降低，以满足系统指标要求。随着过错控制编码理论的完善和数字电路技术的发展，信道编码已经成功地应用于各种通信系统中，并且在计算机、磁记录与存储中也得到日益广泛的应用。过错控制编码的基本思路：在发送端将被传输的信息附上一些监视码元，这些多余的码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。接收端依照既定的规则校验信息码元与监视码元之间的关系，一旦传输发生过错，则信息码元与监视码元的关系就受到破坏，从而接收端可以发现错误乃至改正错误。研究各种编码和译码方法是过错控制编码所要解决的问题。二、过错控制的三种方式

1、检错重发（ARQ）

检错重发：在接收端根据编码规则进行检查，假使发现规则被破坏，则通过反向信道要求发送端重新发送，直到接收端检查无误为止。

ARQ系统具有各种不同的重发机制：如可以停发等候重发、X.25协议的滑动窗口选择重发等。

ARQ系统需要反馈信道，效率较低，但是能达到很好的性能。

2、前向纠错

前向纠错（FEC）：发送端发送能改正错误的编码，在接收端根据接收到的码和编码规则，能自动改正传输中的错误。

不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提高，编译码设备繁杂。

3、混合方式

结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内，自动改正错误，超出纠错范围则要求发送端重新发送。它是一种折中的方案。

三、信道发生过错的几种模式

1、随机过错：过错的出现是随机的，一般而言过错出现的位置是随机分布的。这种状况一般是由信道的加性随机噪声引起的。一般将这种信道称为随机信道。2、突发过错：过错的出现是一连串出现的。这种状况如移动通信中信号在某一段时间内发生衰落，造成一串过错；光盘上的一条划痕等等。这样的信道我们称之为突发信道。

3、混合过错：既有突发错误又有随机过错的状况。这种信道称之为混合信道。四、过错控制编码的基本原理

我们以过错重发编码来简单地阐述过错编码在一致的信噪比状况下为什么会获得更好的系统性能？

例1，假设我们发送的信息0、1（等概），采用2PSK方式，我们知道最正确接收的

系统误比特率为Pe??Es?1?，现在假设Pe?10?3（即平均接收1000个中erfc??N?20??错一个）。

假使我们将信息0编码成00，信息1编码成11，还是采用方才的系统，则在接收端：

假使发送00，收到01、10，我们知道发生了过错，要求发送端重新传输，直到传送正确为止，因此只有当收到11时，我们才错误地认为当前发送的是1。因此在这种状况下发生译码错误的概率是

12Pe；2同理，假使发送的是11，只有收到00时才可能发生错误译码，因此在这种状况下发生译码错误的概率是

12Pe。22所以采用00、11编码的系统误比特率为Pe。

问题：采用000、111编码的ARQ系统误比特率是多少？采用0000、1111编码的ARQ系统误比特率是多少？

例2，如例1，假使0、1采用00000、11111编码，在接收端我们用如下的译码方法，每收到5个比特译码一次，采用大数判决，即5个比特中0的个数大于1的个数则译码成0，反之译码成1；不采用ARQ方式。那么，我们看到这种编码方式就变成了纠错编码。

由于传输错误当接收端收到11000，10100，10010，10001，01100，01010，01001，00110，00101，00011中的任何一种时，都可以自动改正成00000。问题：请计算在这种状况下的系统性能。

例3，我们知道，2PSK系统中误比特率与Es/N0有关，上述例1，例2的编码方式叫重复码。我们看到，重复码中我们假设传输时每个符号的Es/N0相等，因此

才得到以上的性能分析对比。

但是假使我们以Eb/N0的指标进行比较，则我们看到例1的

Eb2Es?N0N0Eb5Es?N0N0例2的

假使要求系统的比较在Eb/N0一致的状况下进行比较，则我们可以看到这3种系统是等价的。（即没有获得相应的编码增益）

erfc(x)?1?x2e?x，x>>1

212PSK系统：Pe?erfc2?Eb/N0=

?12?Eb/N0eE?EbN0

?Eb12重复码：Pe?[erfc??2N20??b?21?]=eN0

?2?Eb/N0?实际上，我们知道系统的性能与Es/N0直接相关，在n重复码中我们用了nEs的能量来传输一个比特，从每个比特能量的角度来看重复码没有得到好处。编码增益=未编码时达到一定性能时所需的Eb/N0

编码时达到一定性能时所需要的Eb/N0五、过错控制编码的分类

根据过错控制编码的功能不同分为：检错码、纠错码、纠删码（兼检错、纠错）根据信息位和校验位的关系分为：线性码和非线性码

根据信息码元和监视码元的约束关系分为：分组码和卷积码。

分组码：将k个信息比特编成n个比特的码字，共有2个码字。所有2个码字组成一个分组码。传输时前后码字之间毫无关系。

卷积码：也是将k个信息比特编成n个比特，但是前后的N个码字之间是相互关联。编码速率=

k

k

kk个信息比特==平均每个码字所携带的信息比特率。n编成n个比特的码字六、编码信道及仙农编码定理

所谓的编码信道就是将调制解调包在信道内的一种模型上的等效。即

源编码调制信道解调译码宿

由上图，假使我们研究的是编码和译码，我们完全可以将调制、解调与信道合起来等效成一个等效的信道，这种信道就称之为编码信道。编码信道根据调制解调的不同输入和输出具有不同的类型：1、离散无记忆对称二进制输入二进制输出信道（BSC）信道

这种状况相应于2进制调制解调+判决，可以用如下的模型来表示：

2、离散无记忆二进制输入多进制输出信道

这种状况对应于2进制输入，量化后输出的状况，即所谓的软译码。3、离散无记忆多进制输入多进制输出

这种状况对应于多进制输入、量化后输出。4、离散无记忆二进制输入连续输出

这种状况对应于二进制输入，模拟输出（未判决、未量化）。仙农有扰离散信道的编码定理：

对于一个给定的有扰信道，若信道的容量为C，只要发送端以低于C的速率R发送信息（R为编码器的输入二进制码元速率），则一定存在一种编码方法，使编码错误概率P随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值，表示为

P?e?nE(R)，这里E(R)称为误差指数。

这条定理告诉我们：

1、在码长及发送信息速率一定的状况下，为减小P，可以增大信道容量。

2、在信道容量及发送信息速率一定的状况下，增加码长，可以使错误概率指数下降。从实际的角度看，这时设备繁杂性和译码延时也随之增加。E（R）C0C1C2R

2.2.纠错编码的基本原理

前面我们说到：分组码将k个比特编成n个比特一组的码字（码组）（Codewords），经常将分组码记为（n，k）码。由于输入有2种组合，因此（n，k）码应当有2个码字。

一、码重、码距

码重：码字中1的个数。如码字11000的码重为2。

码距：码字C1与码字C2之间不同的比特数（又称为汉明距）。二、最小码距

最小码距：是码的一种属性，如（n，k）码中任何两个码字C1、C2之间的距的

最