第十二讲 求图形面积的几种常用方法

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第十二讲求图形面积的几种常用方法第十二讲求图形面积的几种常用方法

在组合图形中，求阴影部分的面积的常用方法是：割补法、加减法、旋转法、构造法、等积的变换，抓不变量、等分、一半的应用、代换、比例等。

A、割补法：对于一些求不在一起的几块阴影面积的和，往往需要把它们通过剪割、拼补在一起，才便于计算，在剪割、拼补过程中，一定要注意割下来的图形和补上去的图形的形状、大小必需完全一样。

如图，每个小圆的半径是2厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？如图，通过剪割、拼补，阴影部分的面积就变成了圆的面积减去正方形的面积，则阴影部分面积为：S

阴影

=S圆－S

正方形

=π×42－4×4÷2×4=50.24－32=18.24(平方

厘米)

右图中三个圆的半径都是4厘米，三个圆两两交于圆心。求阴影部分的面积是多少平方厘米？

如图，三个阴影部分的面积都相等，只需要求出其中一个面积即可，但十分困难。这时我们可以考虑采用割补的方法，同时利用对称性，将其个半圆形，则阴影部分的面积=3。14×4×4÷2=25。12（平方厘米）

B、加减法：注意观测，所求阴影部分的面积看是由哪几个图形相加，再减去哪个图形变可以得到。我们把这种通过加、减就能求出它的面积的方法，我们的把它称为“加减法〞。

如图，正方形的边长为4厘米，求阴影部分的面积是多少？

如图，显然阴影部分的面积=扇形的面积－空白c的面积，而空白c的面积=正方形的面积－扇形的面积，即

S阴影=S扇－（S正－S扇）=S扇－S正＋S扇=S扇＋S扇－S正即S扇＋S扇比S正的面积多了b那部分的面积，即b=[(b＋c)＋(b＋a)]－(a＋b＋c)阴影部分的面积，S阴=π×42÷4×2－4×4=25.12－16=9.12(平方厘米)。

如图，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，求阴影部分的面积是多少？

如图，S阴影=S大扇－Sa=S大扇－(S长－S小扇)=S大扇＋S

22

－S长=π×12÷4＋π×8÷4－12×8=163.28－96=67.28（平方厘米）

C、旋转法：在求一些面积时，有时需要把某个图形进行一定方向的旋转，使之拼在一起，变成另一个比较便利求的图形。AD如图，梯形ABCD的上底是3厘米，下底是5厘米，高是4厘米，E是梯形的中点。求阴影部分的面积是多少？

如图，由于E是梯形的中点，若以E为圆心，将三角形BEC绕反时针方向放置，使C点与D点重合，显然可得，阴影部分的面积与三角形ABE的面积相等，所以阴影部分的面积=梯形

a

小扇

bEBABDECC

B60

第十二讲求图形面积的几种常用方法面积的一半=（3＋4）×4÷2÷2=8（平方厘米）。

D、等分法：就是将整个图形，平均分成若干份，再看所求的图形的面积占多少份，从而求得阴影部分的面积。

将三角形ABC的三条边分别向外延长一倍，得到一个大的六边形，已知三角形ABC的面积是6平方厘米，求大六边形的面积。

要求六边形的面积，似乎很困难，但通过三角形的顶点A、B、C的三条边对六边形进行等分，就很简单得出，六边形的面积是三角形面积的13倍，故所求面积为：6×13=78（平方厘米）

如图，在正方形中，放置了两个小正方形，大正方形的面积是180平方厘米，求甲乙两个小正方形有面积各是多少？

1

经过等分，可以得到，甲的面积占正方形面积的一半的，2即甲的面积为180÷2÷2=45（平方厘米）；乙的面积占正方形面积的一半的4

，即乙的面积=180÷2÷9×4=40（平方厘米）。9

E、抓不变量：若甲比乙的面积大a，则甲和乙同时加上或减去一致的数，它们的大小不变，而图形发生变化，再通过变化后的图形进行求解，就可以使问题得到简便；若两个面积相等的图形，同时加上或差动一致的面积，则剩下的面积依旧相等。

如图，已知半圆的AB=20（厘米），阴影①比阴影②面积大57平方厘米，求直角三角形的高BC的长？

根据条件，可以求得半圆的面积为：3.14×10×10÷2=157（平方②厘米），又“阴影①比阴影②面积大57平方厘米〞，若阴影①和阴影②都加上空白部分，则半圆的面积比三角形的面积大57平方厘米，因此可求得三角形面积是157－57=100（平方厘米），高BC为：100×2÷20=10（厘米）

F、“一半〞的应用：在正方形、长方形、平行四边形中，以其中一条边为底，在它的对边上任意取一点，所得的三角形的面积等于整个面积的一半。

一个长方形长边为12厘米，宽AB=8厘米，E是BC上一点，AE长10厘米，AE和DF相互垂直，DF长是多少厘米？AD

如图，假使连接DE，则可得三角形ADE的面积是长方形面积的一半，由“AE和DF相互垂直〞，可知DF是三角形ADE的高，F则DF=12×8÷2×2÷10=9.6(厘米)

ABC①BEC61

第十二讲求图形面积的几种常用方法如图，在长方形中，四条直线把长方形分成了八部分，

a

已知其中的三部分的面积分别是17、45、34平方厘米，则阴影部分的

17b面积是多少平方厘米？

45c34首先可得，两个大三角形的面积都是长方形面积的

一半，所剩下的部分也是长方形的一半，为了能比较明白的表示它们之间的关系，不妨用字

母a、b、c来表示其余部分的面积。显然有a＋b＋c=a＋17＋45＋c＋34，所以阴影部分的面积b=17＋45＋34=96（平方厘米）

也可根据覆盖原理，当覆盖部分面积之和等于总面积时，必有重叠面积等于外露面积。b是重叠面积，17、45、34都是外露面积，所以有b=17＋45＋34=96（平方厘米）

G、等积变换：根据图形的特点，由面积与面积之间的相等关系，进行一些转化，从而使问题解决得到简便。

如图，由大、小两个正方形组成的图形中，小正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

根据已知条件，要求阴影部分的面积是比较难的。但是，假使我们连接BD，再细心观测三角形ACD与三角形ABC，不难得出它们都是以小正方形的对角线AC为底，以梯形ABDC的高为高，所以三角形ACD的面积=三角形ABC的面积=小正方形面积的一半，所以阴影部分的面积=6×6÷2=18（平方厘米）。

2

三角形ABC的面积为60平方厘米，AE=ED，BD=BC，

3

求阴影部分的面积是多少平方厘米？

BC看成3份，DC就是1份，由“AE=ED〞可得三角形ABE的面积=三角形BDE的面积。又以BD为底的三角形在

AEFC

AB

D

C图上有三角形BDE和三角形BDF，所以需要连接的线有EC或DF，

BD假使连接EC，则会发现三角形AEF与三角形BED的联系不大；如

果连接DF，则有三角形AEF与三角形EFD的面积相等，阴影部分的面积变变成为三角形BFD的面积。这时我们把三角形FDC的面积看作1份，三角形BDF的面积就是2份，三角形ABF的面积=三角形BDF的面积，所以三角形ABF的面积也为2份，三角形ABC的面积就被平分成了1＋2＋2=5（份），阴影部分的面积为：60÷5×2=24（平方厘米）。

H、构造法：就是根据已知数据的特别性，构造出一个我们比较熟悉的图形来进行解答。这种方法在以后的学习中应用得更加广泛，在这里我们主要讲如何将直角三角形构造成正方形来计算的题型。

一个等腰直角三角形的斜边长6厘米，求它的面积？假使我们用四个同样的等腰直角三角形就可以构造成

666一个正方形，这个正方形的边长就是这个三角形的斜边长度，面积是这个三角形的4倍。所求直角三角形的面积是6×6÷4=9（平方厘米）。

62

第十二讲求图形面积的几种常用方法一个直角三角形的斜边长10厘米，两直角边相差6厘米，求它的面积？假使我们用四个同样的直角三角形就可以构造成一个空心方形，正方形中阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积，小正方形的边长恰好是两条直角边的差，所以直角三角形的面积=（10×10－6×6）÷4=16（平方厘米）。

I、比例法：假使两个三角形的高相等，则它们面积的比等于它们底的比；假使两个三角形的底相等，则它们面积的比等于它们高的比；假使两个长方形的宽相等，则它们面积的比就等于长的比。

如图，在梯形ABCD，两条对角线相交于O，下底是上底的3倍，三角形AOD的面积是12平方厘米，那么梯形的面积为多少平方厘米？

在梯形ABCD中，简单得出三角形AOB的面积=三角形DOC的面积=12平方厘米；又AO：OC=OB：OD=AB：DC=1：3，12:a=3:1,a=4,12:b=1:3,b=36,则梯形的面积为：12＋12＋4＋36=64（平方厘

A12正DOCD12BA12aObBC

米）。

如图，长方形被两条直线分成了四个小长方形，已知其中三个长方形的面积分别是：4、6、21平方厘米，那么阴影部分的面积是多少？

设阴影部分的面积是x平方厘米，则有4：6=x：21，则阴影部分x的面积=21×4÷6=14（平方厘米）。

4x

621

J、利用r2和r3代换：有解有关圆和圆柱的题目时，假使没有告诉半径以及没有给出求半径的条件，直接给出图形的面积时，往往不需要求半径，只需求出r2和r3即可。

如图，阴影部分的面积为20平方厘米，求圆环的面积是多少？圆环的面积=大圆面积－小圆面积=πR2－πr2=π(R2－r2);22

而R所表示的意义为大正方形的面积，r所表示的意义为小正方形的面积，(R2－r2)恰好表示阴影部分的面积，所以圆环的面积=π(R2－r2)=3.14×20=62.8（平方厘米）。

一个正方体的体积50立方厘米，一个圆柱体的底面半径、高与正方体的棱长都相等，求这个圆柱体的体积？

设正方体的棱长为a,圆柱体的底面半径为r，高为h，则有a3=50,r=h=a,V=∏r2h=∏a3=3.14×50=157（立方厘米）

63

第十二讲求图形面积的几种常用方法解法练习题12

A、割补法：

1、求以下图形中阴影部分的面积。（单位：厘米）图1—1

图1一2

6

6图1—5

图120—46

4图6

1--7图1--8

8

ab

222

图1--10

图1--11

图1—3

4

图4

1--6

图16

1--9

小圆半径为2图1--12

64

第十二讲求图形面积的几种常用方法14、已知半圆的半径是4，阴影部分①比阴影部分②面积大4.44平方厘米，求BC的长？

①

C②

AB15、如图三角形ABC与三角形DEF是两个完全一样的三角形，已知AB=12，BE=5，DG=4，求阴影部分的面积？

A

DG

CF

B

E16、如图，OB把半径为6厘米，圆心角为900的扇形分成两部分，扇形OBC的面积是扇形OAB面积的2倍。ODBE是长方形，那么图中甲的面积比乙的面积大多少？

C

EO甲B乙DAF、“一半〞的应用：

17、已知长方形的长为8厘米，宽为6厘米，求阴影部分的面积？

6

818、已知平行四边形被分为4个三角形，已知其中3个三角形有面积分别为11、30、43平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

11

4330

19、如下图，已知平行四边形中的3个三角形的面积分别为7、2、9平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

779270

第十二讲求图形面积的几种常用方法20、如下图，已知正方形图中的五块面积分别为65、20、50、15、70平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

65

2070

50

15

21、在平行四边形ABCD中，三角形ABP的面积为15，三角形PBC的面积为34，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

A

PBE

AF

BG

D

C22、ABCD是正方形，EDGF是长方形，CD=4厘米，DG=5厘米，求宽DE=？

D

C23、在长方形ABCD中，三角形ABP的面积为12，三角形PBC的面积为21，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

APB

D

C

24、平行四边形ABCD中，被两条直线分成四个平行四边形，已知平行四边形PFBG=26平方厘米，平行四边形DHPE=16平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

DAEPGFB

HC25、正方形外面有A、B两点，图形内所标数据分别为各小三角形的面积，那么阴影部

分的面积为多少平方厘米？

A

0.62

1.5B

0.830.5

71

第十二讲求图形面积的几种常用方法26、如图，ABCD为平行四边形，三角形DCE的面积是97平方厘米，那么阴影部分的面积为多少平方厘米？

D

AECBF27、如图，在四边形ABCD中，DCFG为正方形，ADEB为梯形，DE=30厘米，DG=24厘米，AB=39厘米，求梯形ABED的面积？

C

DE

A

F

GB28、如图，长方形被分成四个小三角形，其中一个三角形占长方形面积的21%，另一个面积为87平方厘米，求长方形的面积？

AB21%87

29、在四边形ABCD中，AB=BC=10厘米，BE=8厘米，求AD的长？

EDC30、在正方形ABCD中，AB=8厘米，AF=10厘米，求DE的长？AD

EBFC31、BD、CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，绿色四边形的面积是多少平方厘米？

AFD

红色

绿色

黄色

EBC

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第十二讲求图形面积的几种常用方法32、AED和BFC是两个相等的等腰直角三角形，面积都是2023平方厘米，求平行四边形ABCD的面积？

A

B

EFDC33、AE：ED=9：5，BF：FC=7：4。比较红色与蓝色面积的大小。

EAD

蓝红蓝红BCF

G、等积变换：

2

34、三角形ABC的面积为1，AE=ED，BD=BC，求阴影部分的面积。

3

AEFD

C