缓和曲线计算公式

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第四节圆曲线加缓和曲线及其主点测设

§11—4圆曲线加缓和曲线及其主点测设一、缓和曲线的概念

二、缓和曲线方程三、缓和曲线常数

四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设一、缓和曲线的概念

1、为什麽要参与缓和曲线？

(1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为战胜离心力的影响，铁路在曲线部分采用外轨超高的方法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行。

图11-10(a).(b）为采用外轨超高前、后的状况。

外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线——缓和曲线.

缓和曲线:其曲率半径ρ从∞逐渐变化到圆曲线的半径R。2、缓和曲线必要的前提条件（性质）：

在此曲线上任一点P的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为：

ρ∝1l或ρ.l=C(11-4)

式中:C为常数,称曲线半径变更率。当l=lo时，ρ=R，按（11-4）式，应有C=ρ.l=R.lo(11-5)

符合这一前提条件的曲线为缓和曲线，常用的有辐射螺旋线及三次抛物线，我国采用辐射螺旋线。

3、参与缓和曲线后的铁路曲线示意图（见图11-J）

二、缓和曲线方程

1、参与缓和曲线后的切线坐标系

坐标原点：以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点；

X坐标轴：直缓(ZH)点或缓直(HZ)点到交点(JD)的切线方向；Y坐标轴：过直缓(ZH)点或缓直(HZ)点与切线垂直的方向。

其中：x、y为P点的坐标；xo、yo为HY点的坐标；ρ为P点上曲线的曲率半径；R为圆曲线的曲率半径

l为从ZH点到P点的缓和曲线长；lo为从ZH点到HY点的缓和曲线总长；2、缓和曲线方程式:

根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标为

实际应用时,舍去高次项,代入C=R*lo，采用以下公式：

式中：l为缓和曲线上任一点P到直缓（ZH）点的曲线长；R为圆曲线半径；lo为缓和曲线总长度。

当l=lo时，则x=xo,y=yo,代入（11-6）式。3、缓圆(HY)点或圆缓(YH)点的坐标:

注意：当线路为高速铁路时,计算缓和曲线点的坐标应多取一项.

代入C=R*lo，可得方程。三、缓和曲线常数1、缓和曲线的插入

前提条件：转向角不变，即直线的方向不变。插入的方法：（1）圆曲线半径不变，圆心内移；铁路曲线采用。（2）圆心不动，圆曲线半径变小；马路曲线采用。不管哪种方法插入，所用数学公式都一样。

b）图是没有加设缓和曲线的圆曲线。为了在圆曲线与直线之间参与一段缓和曲线lo,原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p.其变化:

1）圆心由O移动到O1，而原来的半径R保持不变，O-O1在过O1点到切线垂线上的投影为P：P=OO1*cosα/2；

2）参与了两个缓和曲线长lo,圆曲线lo变短了,整个曲线变长了。3）切线变长了；

4）曲线的主点有五个：直缓点（ZH）、缓圆点(HY)、曲中点(QZ)、圆缓点(YH)、缓直点(HZ)。

2、缓和曲线常数：βoδom、p、xo、yo

2）缓和曲线总偏角βo：即从(ZH)测设（HY）或从(HZ)测设(YH)的偏角。3）切垂距m：即ZH(HZ)至自O1向ZH（HZ）的切线作垂线之垂足的距离。4）圆曲线移动量（内移距）p：即垂线长与圆曲线半径R之差。

5）YH点（HY）坐标xo、yo：

3、缓和曲线常数：βoδom、p、xo、yo、计算公式为：

根据R及l0，缓和曲线常数可按上式直接计算，也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中以R及l0为引数查取。摘录如:表11-4例11-3：R=500m,l0=60m,求缓和曲线常数。

根据(11-7)、(11-8)式计算得：(也可直接从表11-4查得)。四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设1．圆曲线加缓和曲线的综合要素计算法：（如图）

(点击放大）

其中：曲线长L——包括圆曲线长L0及两倍缓和曲线长2l0;

切曲差q——两倍切线长与曲线长之差查表法

当圆曲线半径R、缓和曲线长l0及转向角α已知时,曲线要素T、L、E0、q的数值可根据也可由曲线表第一、二册中第一表(如表11-5)查得。

例11-4：已知R=500m,l0=60m,α=28°36′20″，ZH点里程为33+424.67,求综合要素及主点的里程。

（1）综合要素计算，根据式(1-8)、(11-9)式，计算得：T=177.57+0.11-20.12=157.56mL=349.44+0.20-40.00=309.64mE0=16.83+0.03-0.55=16.31mq=5.70+0.01-0.24=5.47m

以上结果，也可