(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：第二章习题课-基本不等式的应用

习题课基本不等式的应用课后篇巩固提升基础达标练1.函数f(x)=x2+3x+6x+1(A.2 B.3C.4 D.5解析由题意知,f(x)=x2+3x+6x+1=(x+1)2+x+1+4x+1=x+1+4x+1+1,因为x>0,所以x+1>0,则x+1+4x+1+1≥24+1=5,当且仅当答案D2.已知a>0,b>0,若不等式4a+1b≥ma+4A.9 B.12C.16 D.10解析因为a>0,b>0,所以a+4b>0,所以不等式4a+即可转化为4a+1b(a+4b)≥m即4a+1b(a+4b)min≥m,因为4a+1b(a+4b)=8+16ba+ab当且仅当a=4b时,等号成立.所以16≥m,即m的最大值为16.答案C3.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于v2800km,那么这批物资全部到达灾区最少需要h解析当最后一辆汽车出发,第一辆汽车行驶50·v2800v=v16h,最后一辆车驶完全程共需要400vh,所以一共需要400v+v16h,由基本不等式,得答案104.已知a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab的最小值为解析∵a,b都是正数,满足2a+b=3,则a+2bab=1b=135+2ba+2ab≥1当且仅当2ba=2ab且2a+b=3,即a=b=1答案35.已知正数a,b,x,y满足a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a解x+y=(x+y)a=a+bxy+ayx+b=因为x,y>0,a,b>0,所以x+y≥10+2ab=18,即ab=4.又a+b=10,所以a6.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为t=130x小时,则y=130x×6×2+x2360+14×130x所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=3380x+136x(2)y=3380x+当且仅当3380即x=2390时,等号成立.又2390<50,所以当x=50时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为y=338050+136×50能力提升练1.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m恒成立,则mA.10 B.9 C.8 D.7解析2a+1b=2a+1b(2a+b)=5+2ba+2ab≥5+22ba·2ab=9,当且仅当2ba=2ab,即a=b=答案B2.若a,b为大于1的实数,且满足a+b=ab,则4a-1+A.2 B.4 C.6 D.5解析因为a,b为大于1的实数,所以4a-1>0,1由a+b=ab可知ab-(a+b)=0,∴4a-1+1b-1≥24∴a解得b=32,∴当b=32,a=3时,4a-答案B3.(多选题)(2020福建高一月考)下列求最值的运算中,运算方法错误的有()A.当x<0时,x+1x=-(-x)+1-x≤-2(-x)·1-x=-2,当且仅当x=-1时,等号成立,故当x<0B.当x>1时,x+2x-1≥2x·2x-1,当且仅当x=2x-1,即x=-1或2,又由x>1,即x=2时,等号成立.故当x>C.由于x2+9x2+4=x2+4+9x2+4-4≥2(x2+4)·D.当x,y>0,且x+4y=2时,由于2=x+4y≥2x·4y=4xy,∴xy≤12,又1x+1y≥21x·1y=2xy解析A中,根据基本不等式,可判定是正确的;B中,当x>1时,x-1+2x-1+1≥2(x-1)·2x-1+1=22+1,当且仅当x-1=2x-1,即x=2+1时,等号成立C中,x2+9x2+4=x2+4+9x2+4-4≥2(x2+4)·9x2+4-4=2,但是当x2+4=9x2+4时,有xD中,两次基本不等式的等号成立条件不相同,第一次是x=4y,第二次是x=y,D不正确.答案BCD4.设a+b=2,b>0,则12|a|+|解析因为a+b=2,所以12|a|+|a|b=24|a|+|a|b=a+b4|a|+|a|b当a=-2时,a4|a|+所以当b=-2a,a=-2时,12|答案-25.设函数y=x+ax(a>0)(1)若a=1,求当x>0时,函数y的最小值为;

(2)当x>2时,该函数存在最小值,则满足条件的一个a的值为.

解析(1)当a=1时,由基本不等式得x+1x≥2·x·1x=2,当且仅当x=1x,即x=1(2)由基本不等式得x+ax≥2x·ax=2a,当且仅当x=ax,x=a时等号成立,故a>2,即a>4.填a>答案(1)2(2)5(答案不唯一,只要a>4即可)6.已知m>0,n>0,不等式x2+mx-12<0的解集为{x|-6<x<n}.(1)求实数m,n的值;(2)正实数a,b满足na+2mb=2,求1a+解(1)由题意可知,-6和n是方程x2+mx-12=0的两个根,∴-解得m(2)由题意和(1)可得,2a+8b=2,即a+4b=1.∴1a+1b=1a+1b(a+∵a>0,b>0,∴4ba>0,ab∴1a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba·ab=9,当且仅当4ba素养培优练中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900a(1+x)x元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,解(1)设甲工程队的总造价为y元,则y=3150×2x+400×12x+7200=900x+16x+7200(2≤x≤6),900x+16x+7200≥900×2×x·16x+7200=14400.当且仅当x=16x,即x=4时,等号成立.即