高等数学教案 第3章 导数与微分

本文格式为Word版，下载可任意编辑——高等数学教案第3章导数与微分第三章导数与微分

17世纪上半叶（整整半个世纪），当时天文学、力学等领域发展酝酿着微积分的发展，伽利略天文望远镜的发明使天文学的高涨，1619年开普勒通过观测归纳出运动的三大定律，对定律进行证明成为当时最中心的课题之一，1638年伽利略建立自由落体定律，动量定律等，他本人也倡导自然科学数学化，他的著作激起了人们对他确立的动力学概念与定律做确切的数学表述的巨大热心．这一蓬勃发展的自然科学在迈入综合与突破的阶段时面临的是数学困难，使微分学的基本问题成为人们关注的焦点：确定非匀速运动物体的速度与加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；望远镜的光程设计需要确定透镜曲面上任一点的法线，这又使求任一点切线问题变得不可回避．

微分学是微积分的重要组成部分，它的基本概念是导数与微分．其中导数反映的是函数相对于自变量的变化快慢程度，而微分则反映出当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少．本章主要探讨导数和微分的概念以及它们的计算方法．

第一节导数的定义

一、导数的引例

1、变速直线运动的瞬时速度

设某物体做变速直线运动，在[0,t]内所走过的路程为s?s(t)，其中t?0为时间，求物体在时刻t0的瞬时速度v?v(t0)．

我们知道，当物体做匀速直线运动时，若物体所走过的路程为s，所用时间为t，则可知该段时间内的平均速度为

st由于是匀速运动，因此在t时刻的瞬时速度v?v，但变速直线运动物体的速度v(t)是随时间的变化而变化的，不同时刻的速度可能都不同，因此平均速度v不能很好的反映物体在时刻t0的瞬时速度．

v?为解决此问题，我们先求出物体在[t0,t0??t]这一小段时间内的平均速度，因此有路程变化表达式

?s?s(t0??t)?s(t0)

平均速度为

?ss(t0??t)?s(t0)??t?t寻常速度在段时间内变化不会很大，因此这里的v可以作为v(t0)的近似值，简单看出，?t越小，则v越接近v(t0)，试想，当?t无限变小时，v将无限接近v(t0)．即

s(t??t)?s(t0)?sv(t0)?limv?lim?lim0?t?0?t?0?t?t?0?tv?

25

2、曲线的切线斜率

首先说明什么是曲线的切线，在中学，我们曾定义圆的切线为“与圆只有一个交点的直线〞，但对于一般曲线而言，这一定义不适合，很明显，与一曲线只有一个交点的直线好多，但不是切线．

一般地，设连续曲线C及C上一点M如图3—1所示，在M点外任取一点N?C，做割线MN，假使点N沿曲线C趋向M点时，假使割线MN趋向与它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在M处的切线，如图所

y示．

设M点的坐标为(x0,y0)，则N点的

y0??y坐标为(x0??x,y0??y)，割线MN的倾N角为?，切线MT的倾角为?，则割线MN的斜率TNP?y?MP?xf(x0??x)?f(x0)??x当?x?0时，点N沿曲线C趋于M，由切线的定义知MN趋于MT，从而???，有tan??tan?，即切线的斜率

k?tan??Cy0M?O?Px0??xx0图3—1

xk?tan??limtan??lim?y

?x?0?x?0?xf(x0??x)?f(x0)?lim?x?0?x以上两个问题，尽管实际意义不同，但是有着一致的本质，都是归结于要求函数的改变

量与自变量的改变量的比值，当自变量的改变量区域0时的极限，可见这种形式的极限问题是十分重要的而且普遍存在，因此有必要将其抽象出来，进行重点探讨和研究，这种形式的极限就是函数的导数．

二、导数的定义

定义设函数y?f(x)在点x0及其近旁有定义,当自变量x在点x0有增量?x时,函数

f(x)有相应的增量

?y?f(x0??x)?f(x0)，

?y的极限存在，即?xf(x0??x)?f(x0)?y．lim?lim?x?0?x?x?0?x存在，则称此极限值为函数f(x)在点x0处的导数，记作

dydf(x)f?(x0),y?x?x0,,x?xx?x0．

dx0dxf(x0??x)?f(x0)?y反映的是自变量x从x0改变到x0?Δx时,函数f(x)的平??x?x?y均变化速度,称为函数的平均变化率．而导数f?(x0)?lim则反映的是函数在x0处的变

?x?0?x化速度,称为函数在x0处的瞬时变化率．

当?x?0时，若

26

函数f(x)在点x0处有导数，则称函数f(x)在点x0处可导．

定义假使函数f(x)在区间(a,b)内每一点处都可导，则称f(x)在区间(a,b)内可导．此时，对于区间(a,b)内每一个确定的x,都有一个导数的值与它对应，这样就定义了一个新的函数，称为函数y?f(x)的导函数（derivativefunction）．在不致发生混淆的状况下，导函数也简称为导数，记作

f?(x),y′,

显然

dydf(x),．dxdx?yf(x??x)?f(x)．?lim?x?0?x?x?0?x函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x)，就是导函数f?(x)在点x0处的函数值，即

f?(x)?limf?(x0)?f?(x)'''x?x0．

注意f(x0)与[f(x0)]的区别：f(x0)表示函数f(x)在点x0的导数，即函数在一点的导数；而[f(x0)]表示点x0处函数值f(x0)的导数，即一个常数的导数，结果为零．

基于此，要求一个函数f(x)在一个点x0的导数，应先求出这个函数的导函数f?(x)，再把点x0代入即得f(x0)．

三、与导数有关的问题

有了导数的定义，实际中好多问题都可以用导数来表示，导数引例中的两个问题分别用导数可以表示为：

（1）变速直线运动的速度是路程s(t)对时间t的导数，即

''ds?s?(t)．dt（2）函数y?f(x)在点x0处的导数f?(x0)是曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线

v(t)?的斜率，即

k?f?(x0)?tan?

其中?是切线的倾斜角，???2．这也是导数的几何意义．

除了这两个以外，还有如下问题分别可以用导数来表示：（3）在经营管理中，收益函数R(x)对销售量x的导数（4）利润函数L(x)对产量x的导数

dR称为边际收益．dxdL称为边际利润．dxdQ（5）在电工学中，电量Q(t)对时间t的导数称为电流．

dtdQ（6）在热学中，热量Q对温度T的导数称为比热等．

dTdNA(t)（7）在化学反应中，物质A的浓度NA(t)对时间t的导数称为反应速率，一般为

dt

27

了使反应速率为正值，假使物质A是反应物，则则速率就是

dNAdNA前加负号，即?；物质A是产物，dtdtdNA．dtdW称为枯燥dt（8）在枯燥物体的时候，单位枯燥面积上汽化水分量W(t)对时间t的导数速率．

（9）某种传染病传播的人数量N(t)对时间的导数??

四、几个求导数实例

例1求y?x在x??1处的导数．解由于函数改变量

3dN(t)称为传染病的传播速度．dt?y?f(x0??x)?f(x0)?f(?1??x)?f(?1)?(?1??x)3?(?1)3??1?3?x?3(?x)2?(?x)3?1?3?x?3(?x)2?(?x)3

所以

y?x??1=lim?y3?3?x?(?x)2?=lim????3?x?0?x?x?0例2求函数y?sinx的导数．

解由于?y?sin(x??x)?sinx?2cos(x??x?x，所以)sin22?x?xsin?y?x2?limcos(x??x)lim2?cosx．)?limcos(x?f?(x)?lim?x?0?x?0?x?0?x?x22?x?0?x22sin即

(sinx)??cosx．

类似地,可求得

(cosx)???sinx．

例3求函数y?logax(a?0,a?1)的导数．

解由于?y?loga(x??x)?logax?loga(1??x)，所以x?x?xx?y1?x1f?(x)?lim?limloga(1?)?limloga(1?)

?x?0?x?x?0?x?x?0xxxx?x?x111．?limloga(1?)?logae??x?0xxxxlna即

28

(logax)??特别地,当a?e时

1．xlna1．x(lnx)??五、可导与连续的关系

定理假使函数y?f(x)在点x处可导,则它在点x处一定连续．（证明略）

这个定理的逆命题不成立,即假使函数y?f(x)在点x处连续,但在x处不一定可导．例如函数y?有

3?2?y0??x?30lim?lim?lim(?x)3??，?x?0?x?x?0?x?0?x3但它在x?0处不可导．是由于在x?0处x在区间(??,??)内四处连续，

x在原点有垂直于x轴的切线，从而导数不存在．如图3—2所示．

又例如函数y?|x|，图形如图3—3所示，这样的图形在原点是没有切线的，所以就不存

即曲线y?在斜率，也就没有导数，但是连续，所以像这种点也是不可导的，它的理论推导留给读者在习题中完成．

3y

yx

O

xO

图3—2

图3—3

习题训练

1．物体作直线运动的方程为s?2t?3，求：

（1）物体在2秒到2??t秒的平均速度；（2）物体在2秒时的瞬时速度；（3）物体在t0秒到t0??t秒的平均速度；（4）物体在t0秒时的瞬时速度．2．根据导数定义证明：(cosx)???si