河南大学大学物理答案

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第1章质点运动学和牛顿运动定律

参考习题答案

1-1已知质点的运动学方程为x=Rcosωt,y=Rsinωt,z=hωt/(2?),其中R、ω、h

为常量．求：

（1）质点的运动方程的矢量形式；（2）任一时刻质点的速度和加速度．

???Rsin?tj??h?t/(2?)k?解：r?Rcos?ti?dr??R?cos?tj??h?/(2?)?υ????Rsin?tikdt??dυ??R?2sin?tj????2R(cos?ti??sin?tj?)a????2Rcos?tidt?1-3半径为R的轮子沿y=0的直线作无滑滚动时，轮边缘质点的轨迹为

x?R(??sin?)y?R(1?cos?)

求质点的速度；当dθ/dt=ω为常量时，求速度为0的点．

解：?x?dxd?d?dyd??R(?cos?)，?y??Rsin?dtdtdtdtdt?d?s?i?jn?dt?+即??R?1?co?si???当

d???为常数时，dt

?x?dxdy?R?(1?cos?)，?y??R?sin?，速度为0dtdtdxdy?R?(1?co?s)?0，?y??R?sin??0dtdtk?0,1,2,?

即?x?故??2k?,11-5一质点沿半径为R的圆周按规律S??0t?bt2运动，其中?0、b都是常量．

2（1）求t时刻质点的总加速度；

（2）t为何值时总加速度数值上等于b？

（3）当加速度达到b时，质点已沿圆周运行了多少圈？解：⑴速率??dSd???0?bt，切向加速度的大小a????b，dtdt(?0?bt)2????ane?n?法向加速度的大小an?，加速度a?a?eRR?2加速度的大小a?a??a?b?22n2??0?bt?4R2

（2）a=b时，即?0?bt??2b?R24?b，t??0b，

22?01??0?121?0(3)a=b时，S??0t?bt??0??b???

2b2?b?2b?02S?转动圈数n?2?R4?bR1-7在图1-16所示的装置中，两物体的质量为m1和m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都是μ，求在力F的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳

m1m2

图1-16习题1-7用图

m1F的质量及轴承摩擦，绳不可伸长．

解：根据题意，由滑轮的关系可知绳内张力T=2F，设m1受到m2的摩擦力f1，m2受到地面的摩擦力为f2，m1受到的最大静摩擦力为m1g?，受力如下图。

（1），若T?m1g?时，此时m1不会滑动；m2受到摩擦力f1?m1g?，水平向右，还受到地面对它的静摩擦力f2，若m2能滑动，则f1?(m1?m2)g?，而f1不可能大于

(m1?m2)g?，故m2不能滑动．

a1?a2?0，T=2F

f1（2）若T?m1g?时，m1相对于m2发生滑动，则m1受力如图：绳内张力还是T=2F

T?f1?m1a12F?m1g??m1a1a1?2F?m1g?m1f2f1

m2受力如下图，由于f1

弹性力(均为保守力)做功，系统机械能守恒。以弹簧的原长为弹性势能的零点，以盘到达最低位置为重力势能的零点。则系统的机械能守恒表达式为

11123?2m?V2??2m?gl2?kl12?k?l1?l2?○

222依题意，又由kl1?mg○4

将式○1、○2、○3、○4联立，代人数据，可得

l2?30cm或l2??10cm（舍去）

所以，盘向下运动的最大距离为l2?30cm

第4章刚体力学

习题参考答案

2-12求一质量为m、半径为R的均匀半圆盘的质心．

解：建立如下图坐标系，设薄板半径为R，质量为m．面密度

??2m?R2．由质量分布的对称性可得板的质心在x轴上而

m?0RxC??xdm?1mxσ2R2?x2dx?4R3π

2-17如图2-24所示，质量为m、线长为l的单摆，可绕点O在竖直平面内面内摇摆，初始时刻摆线被拉至水平，然后自由落下，

求：

⑴摆线与水平线成?角时，摆球所受到的力矩及摆球对点O的角动量；

⑵摆球到达B时角速度的大小．

解：摆球受力如图2-24所示。摆线的张力T通过点O，因此其力矩为零；重力G对点O产生力矩，其大小为

M?mglcosθ

可见M随?角而变化，其方向垂直纸面向里。由角动量定理，得

M?dL?mglcosθdtdtA

2G又??d?，L?mlω代入上式，并积分，得

图2-24习题2-17用图

?L0LdL??m2gl3cosθdθ0θ

摆线与水平线成?角时，摆球对点O的角动量为

L?2m2gl3sinθ⑵当摆球摆到B时，???/2，因此摆球角动量

LB?2m2gl3?ml22gl

摆球到达B时角速度的大小

?B?LB?2ml2gl

4-2一半径为10cm的滑轮,转动惯量为1.0?10?3kg·m2，现有一变力

F?0.5t?0.30t2（SI

单位制）沿着切线方向作用于滑轮的边缘.假使

滑轮最初处于静止状态,试求滑轮在4s初的角速度.

解：滑轮所受力矩大小为

M?Fr?0.05t?0.03t2

由转动定律

即

积分得

??25t2?10t3

t?3s

d??Mdt?(50t?30t2)dtJM?J??Jd?dt时

??4.95?102rad/s

4-3如图4-32所示，质量为m、长为l的均匀细棒AB，转轴到中心O点的距离为h并与棒垂直，试求细棒对于该转轴的转动惯量.

解：如图在棒上距轴为x处取一长度元dx，如棒的质量线密度为λ，则该长度元的质量dm=λdx=mdx,转轴通过棒上距中心为h的

l点并和棒垂直时，有

IB??l?h2?l?h2?xdx??2l?h2?l?h2x2m1dx?ml2?mh2l124-5如图3-34所示，质量为m、半径为R的圆柱体中挖有四个半径均为R的圆柱形空洞，空洞中心轴与圆柱体中心轴平行，且间

3距均为R。试求圆柱体对其中心轴的转动惯量。

2解：假使用同样的材料将空洞填满，设四个小圆柱的质量为m'，则填满后的总质量为m?4m'，则有

m?4m??R2L??92m??R????L?3?

即

1m??m5

填满后大圆柱体对中心轴的转动惯量为

J1?19(m?4m')R2?mR2210由平行轴定理,填满后的四个小圆柱对大圆柱中心轴的转动惯量

为

2?1'?1?2??11'?1J2?4?m?R??m?R???mR2

?2????2?3??45由组合定理得

J?J1?J2?91159mR2?mR2?mR21045904-12如图4-40所示,一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙的水平面上,圆盘可绕通过其中心的光滑转轴O转动，圆盘与水平面间的摩擦系数为?。开始时，圆盘保持静止，一质量为m的子弹以水平速度?0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌入其中。试求：

⑴子弹击中圆盘后，圆盘所获得的角速度；

⑵经过多长时间后，圆盘中止转动（略去子弹重力造成的摩擦阻力矩）?

解：（1）子弹射入时，子弹与圆盘组成的系统满足角动量守恒，则有

m?0R?J?

式中J?1MR2?mR2为子弹射入后系统对转轴的转动惯量。2粗糙水平面OR?0O

解得

??m?0?1??M?m?R?2?

（2）子弹射入后，对圆盘应用由角动量定理得

?Mft?0?J?

其中，?Mf为圆盘所受摩擦力矩。取圆盘中半径为r、宽度为dr的圆环为质元,圆盘质量面密度为??摩擦力，则圆盘所受摩擦力矩为

dMf??(?2?rdr)gr

m?R2，忽略子弹在圆盘中受到的

则

R2Mf??dMf???(?2?rdr)gr??MgR03故有

t?3m?0J??Mf2?Mg4-13在半径为R的具有光滑竖直中心轴的水平圆盘内,有一人静止站立在距转轴为1R处,人的质量为圆盘质量的

21，开始时盘载10人相对地面以角速度?0匀速转动。假使此人垂直于圆盘半径相对盘以速率v沿与圆盘转动的相反方向做圆周运动，如图4-41所示，已知圆盘对中心轴的转动惯量为1MR2,

2求：⑴圆盘相对地面的角速度；

⑵欲使圆盘相对地面保持静止，人相对圆盘的速度的大小及方向应怎样？

解：（1）设圆盘质量为M，选人与圆盘组成的系统为研究对象，当人在盘上走动时，无外力矩，因此系统角动量守恒即

1MR22v?MR212?2()?MR??MR??()(??)0??10222102R??(J人?J盘）?0?J盘??J人(??v)1/2R圆盘对地角速度为

211MR2?0?MRv2v20??40??0?

2121RMR240（2）欲使圆盘对地角速度为零应有

???0?2v'?021R21R?02则

v'??即人应与圆盘转动方向的一致方向作圆周运动。

第6章机械振动

习题参考答案：

6-2若交流电压的表达式为:V?311sin100πt，式中:V以伏特(V)为单位,t以秒(s)为单位,求交流电的振幅、周期、频率和

初相位.

解:交流电电压的表达式也可化为余弦形式：

V?311sin100πt?311cos(100πt?π)2因此有:

振幅为:A?311V，周期为:T?2π??2πs?0.02s，100π100πHz?50Hz2π频率为:???2π?初相位为：???π

26-3一质点沿x轴做简谐振动，其圆频率ω=10rad/s．试分别写出以下两种初始条件下的运动学方程．

（１）初始位移x0（２）初始位移x0?7.5cm，初始速度?0?75.0cm/s;?7.5cm，初始速度?0??75.0cm/s

解：（１）由题意可设质点做简谐振动的运动学方程为：

x?Acos(10t??)

则其速度方程为：???10Asin(10t??)

将初始条件t?0时，x0?7.5cm，?0?75.0cm/s分别代入上面两式得：

x0?7.5cm?Acos?

?0?75.0cm/s?-10Asin?

解以上两方程得：A?10.6cm，???π．

4所以：

x?0.106cos(10t?π)（SI4制）

(2)t?0时，

x0?7.5cm?Acos?

?0??75.0cm/s?-10Asin?

解以上两个方程得：A?10.6cm，??π．

4所以：

x?0.106cos(10t?π)（SI4制）

6-5有一简谐振动振幅A=12cm，周期T=3s，若振子在位移x=６cm处并向负方向运动为计时起点，请做出其位移－时间曲线，并求出其运动到x=-６cm处所需的最短时间．

解：若设该简谐振动的方程为：

x?Acos(?t??)

那么由题意可知，该简谐振动的圆频率??2π?2πrad/s，

T36?12cos?t?0时,，所以初相位为：??π．其其位移－时间曲线

?0??A?sin??03图如上图所示．

其运动到x=-６cm处时，有

2ππ?6?12cos(t?)33，解得：

2ππ2π4πt??或．3333因所求的是最短时间，上式取2π，因此t?0.5s．

36-10有一水平弹簧振子K=24N/m，重物的质量m=6kg，静止在平衡位置上,如图6-28所示．设以一水平恒力F=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了0.05m，此时撤去力F．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程．

解：由题意可知，物体在做