常微分方程的数值解法及其应用

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引言

自然界中好多事物的运动规律可用微分方程来刻画。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的大量原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨幅趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。它的学术价值是无价的，应用价值是立竿见影的。求一阶常微分方程的解是数学工的一项基本的且重要的工作。由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系；由于该问题比较繁杂且涉及的面广，使得有些问题的解析解很难求出，而对于一些典型的微分方程(如线性方程、某些特别的一阶非线性方程等)可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来。然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很繁杂，在好多状况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不简单，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适合的。实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式(只要满足规定的精度就行)。所以，研究数学建模中常微分方程模型理论性数值解法迫在眉睫。本文研究的数值解法主要是针对常微分方程初值问题多种数值解法精度比较而言。从而得到更常用的数值解法在微分方程模型中的应用。

在自然科学和经济的大量领域中。往往会遇到一阶常微分方程的初值问题

?dy?f(x,y),?a?x?bdx??y(x)?y.00?

这里f(x,y)是充分光滑，即关于x或y满足李普希茨条件的二元函数，y0是给定

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的初始值，y(x0)?y0称为初始条件。

常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：

单步法：所谓单步法是指这类方法在计算yn?1时，只用到前一步的值xn?1,xn,yn，然后逐步往下计算。这个算法的代表是龙格——库塔算法，简称R—K方法。四阶显示Runge——Kutta方法是求解普寻常微分方程初值问题数值解法中的重要方法，而隐式Runge——Kutta公式是求解刚性常微分方程初值问题的重要方法。

多步法：这类方法在计算yn?1时，除了用到前一步的值xn?1,xn,yn，之外，还要用到

xn?p,yn?p(p?1,2,?,k;k?0)，

这前面k步的值，这个算法的代表就是阿达姆斯(Adams)方法。

一般用微分方程建立的动态模型来描述动态过程的变化规律，但对于某些实际问题，建模的主要目的并不是要寻求动态过程每个瞬时的性态，而是研究某种意义下稳定状态的特征，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势，为了分析这种稳定与不稳定的规律，往往不需要求解微分方程，而可以利用微分方程的稳定性理论，直接研究平衡状态的稳定性就行了。

微分方程的数值解法有显式解和隐式解法，一般来说，隐式解要优于显式解。欧拉方法是一种最简单的单步法，计算量小，但确切度比较低。一般的初值问题，多采用改进的欧拉方法，由于它的数值稳定性和计算确切度比一般的欧拉方法好。龙格——库塔方法是一类应用较广的高精度单步法，当解充分光滑时的4阶龙格——库塔方法一般可以达到很高的确切度。常微分方程的初值对计算方法的收敛是有影响的。为了更好地比较这几种常用的方法，本文采用这几种数值方法对被积函数光滑连续，初值确切的微分方程做了数值试验。

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第一章微分方程的基本概念

自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。在本文中只探讨实值微分方程。1.1微分方程和解

含有未知量的等式称为方程，它表达了未知量所必需满足的某些条件。方程是根据对未知量所进行的运算来分类的，如代数方程、超越方程等。微分方程与代数方程和超越方程不同，它的未知量是函数，对其所施加的运算涉及求导或微分。1.1.1微分方程的概念

一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或微分的关系式。假使其中未知函数是一元函数，则称为常微分方程；假使未知函数是多元函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程。本论文主要介绍常微分方程，也简称微分方程或方程。在一个微分方程中，出现的未知函数导数的最高阶数，称为方程的阶。以y为未知函数，x为自变量的一阶常微分方程的一般形式可表示为

F(x,y,y)?0,,(1.1.1)

假使在（1.1.1）中能将y,解出，则得到方程

y?f(x,y),,(1.1.2)

或

M(x,y)dx?N(x,y)dy?0,(1.1.3)

也称（1.1.1）为一阶隐式微分方程，（1.1.2）为一阶显式微分方程，（1.1.3）为一阶微分方程的微分形式。

n阶隐式方程的一般形式为

F(x,y,y,?,y,(n))?0,(1.1.4)

n阶显式方程的一般形式

y(n)?f(x,y,y,?,y,(n?1)),(1.1.5)

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方程（1.1.4）中，假使函数对未知函数和它的各阶导数y,y,,?,y(n?1)都是一次的，则称其为线性常微分方程，否则，称其为非线性微分方程。以y为未知函数，

x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：

y(n)?p1(x)y(n?1)???pn?1(x)y?pn(x)y?f(x),(1.1.6)

,1.1.2微分方程的解——通解与特解

定义1.1设函数y??(x)在区间上具有直到n阶的导数。假使把y??(x)代入方程（1.1.4），有

F(x,?(x),?(x),?,?,(n)(x))?0

在区间上关于x恒成立，则称y??(x)为方程（1.1.4）在区间上的一个解。依据定义1.1可以直接验证：（1）函数y?sin(arcsinx?C)是方程

dydx?1?y1?x22在区间(?1,1)上的解，其中C是任

意常数。另外，该方程还有两个解y??1(x?(?1,1))，它们不包含在前面解中。（2）函数x?C1cost?C2sint是方程

dxdt22?x?0在区间(??,??)上的解，其中C1

和C2是独立的任意常数。当然，x?sint,x?cost都是方程的解，它们包含在前面解中。

从上面的探讨中看到事实：微分方程的解可以包含任意常数，其任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数。阶常微分方程（1.1.4）的含有

n个独立的任意常数C1,C2,?,Cn的解y??(x,C1,C2,?,Cn)称为该方程的通解，而方

程满足给定条件的解y??(x)称为特解。一般地，方程的特解可由其通解中任意常数取确定的常数导出。以隐函数形式表示的通解称为通积分，而以隐函数形式表示的特解称为特积分，对于通解或者通积分的说法或使用，寻常是不加区分的。另外方程的通解不一定表示方程的所有解。

为了便于研究方程解的性质，往往需要考虑解的图像，或者以图形方式表示微分方程的解。一阶微分方程的特解y??(x)的函数图像是xOy平面上的一条曲线，称为

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微分方程的积分曲线，而通解y??(x,C)的函数图像是平面上的一族曲线，称为积分曲线族。

1.2常微分方程初值问题的一般提法

常微分方程初值问题的一般提法是求函数y(x),a?x?b，满足

?dy(1.2.1)?f(x,y),a?x?b,??dx(1.2.2)?y(a)??.?

其中f(x,y)是已知函数，?是已知值。

假设f(x,y)在区域D??(x,y)a?x?b,y????上满足条件：（1）f(x,y)在D上连续；

（2）f(x,y)在D上关于变量满足Lipschitz条件：

f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2,a?x?b,?y1,y2,(1.2.3)

其中常数L称为Lipschitz常数。我们简称条件（1）、（2）的基本条件。由常微分方程的基本理论，我们有：

定理1.1当f(x,y)在D上满足基本条件时，一阶常微分方程初值问题（1.2.1）、（1.2.2）对任意给定?存在唯一解y(x)在?a,b?上连续可微。

定义1.2方程（1.2.1）、（1.2.2）的解y(x)称为适定的，若存在常数??0和

K?0，对任意满足条件???及?(x)??的?和?(x)，常微分方程初值问题