常微分方程学习活动3 第一章初等积分法的综合练习

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第一章初等积分法的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、其次章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出把握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快把握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成〞按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．微分方程xyy???x(y?)3?y4y??0是二阶微分方程．

?dyx??f(x,y)2．初值问题?dx的解所满足的积分方程是y?y0??f(s,y)ds．

x0?y(x)?y0?03．微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0是一阶线性非齐次微分方程．（就方程可积类型而言）4．微分方程eydx?(xey?2y)dy?0是全微分方程．（就方程可积类型而言）5．微分方程yy???(y?)2?3x2?0是恰当导数方程．（就方程可积类型而言）

dy?x2siny的所有常数解是y?k?,k?0,?1,?2,?．dxdy?1?y2的常数解是y??1．7．微分方程dx6．微分方程

8．微分方程xy??y?xe9．微分方程y?xy??22?1x的通解为y?e?1x(x?C)．

11(y?)2的通解是y?Cx?C2．.2210．一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线．

二、计算题

1．指出以下方程的阶数，是否是线性方程：（1）

dy?y2?x2dxd4yd3yd2y?0（2）4?23?2dxdxdx

1

?????x??x?txx（3）?（2）四阶，线性；（3)三阶，非线性.答（1）一阶，非线性；

2．用分开变量法求解以下方程：（1）y??ex?y

（2）tanydx?cotxdy?0

?(y2?xy2)dx?(x2?yx2)dy?0（3）??y(1)??1

（1）解通积分为ey?ex?C

（2）解当tany?cotx?0时，分开变量，两端取积分得

dydx??tany?cotx?ln|c|

即ln(siny)??ln(cosx)?ln|c|通积分为siny?coxs?C.另外，y?k?,x?k???2是常数解，k?0,?1,?2,?.

注:在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。（3）解当x?0,y?0时,方程可变为

x?1y?1dx?dy，22xy11?11xxy通积分为ln|x|????ln|y|?C或?Ce,

xyy上式代入初值条件x?1,y??1.

?x?2?2xy得C??e.于是初值问题解为??ee.

y11

3．解以下齐次线性微分方程（1）(y?2xy)dx?xdy?0（2）xy??y?xtan22xy

2

（1）解显然x?0是方程的解.

dy?y2?2xyyu??当x?0时,原方程可化为.令,则原方程可化为

xdxx2du?u2?udu2u?x??u?2u,即?

dxdxx易于看出,u?0u?1是上面方程的解,从而y?xy?0是原方程的解.当u?u2?0时,分开变量得,将u换成

dudxu?.两端积分得ln?lnCx(C?0)x?u2?uu?1y,便得到原方程的解Cy?x(x?y),(C?0).x故原方程的通解为Cy?x(x?y)（C为任意常数）及y?0.（2）解显然y?0是方程的解.当y?0时,原方程可化为

dyyyy?tan?.令u?,则原方程可化为dxxxxdudutanuu?x?tanu?u,即?.

dxdxx易于看出,u?0是上式的解,从而y?0是原方程的解.

dudx?.两端积分得lnsinu?lnC1x(C1?0).tanuxyyy将u换成,便得到原方程的解sin?Cx(C?0).故原方程的通解为sin?Cx.

xxx当u?0时,分开变量得,4．解以下一阶线性微分方程：（1）xy??2y?2x（2）y??ytanx?secx（1）解先解齐次方程x4dy?2y.其通解为y?Cx2.dx2用常数变易法,令非齐次方程通解为y?C(x)x.代入原方程,化简后可得C?(x)?2x..积分得到C(x)?x?C.

代回后即得原方程通解为y?Cx?x.（2）解先解齐次方程

242dy??ytanx.其通解为y?Ccosx.dx3

用常数变易法,令非齐次方程通解为y?C(x)cosx.

'代入原方程,化简后可得C(x)?1.2cosx积分得到C(x)?tanx?C.

代回后即得原方程通解为y?sinx?Ccosx.

5．解以下伯努利方程（1）y??2xy?xy4?0（2）

dy?y?y2(cosx?sinx)dx

（1）解显然y?0是方程解.当y?0时,两端同除y4,得

1dy2x??x?0.y4dxy3令z?dz113x2??2xz?x?0,z???Ce,代入有它的解为33dx2y于是原方程的解为

113x2???Ce，及y?0.2y32（2）解显然y?0是方程解.当y?0时,两端同除y,得

1dy1??(cosx?sinx)?0.2dxyy令z?1dz?z?(cosx?sinx)?0,代入有dxyx它的解为z?Ce?sinx，

于是原方程的解

1?Cex?sinx，及y?0.y

6．解以下全微分方程：（1）edx?(2y?xe)dy?0（2）(1?ysin2x)dx?ycos2xdy?0

2?yy4

（1）解由于

?M?N,所以这方程是全微分方程,M(x,y)及N(x,y)在整个??e?y??y?xxOy平面都连续可微,不妨选取x0?0,y0?0.故方程的通积分为

?即xe?y?y2?C.（2）解由于

x0eydx??2ydy?C,

0y?M?N,所以这方程是全微分方程,M(x,y)及N(x,y)在整?2ysin2x??y?x个xOy平面都连续可微,不妨选取x0?0,y0?0.故方程的通积分为

?即2x?y2cos2x?C.

x0(1?y)dx??ydy?C,

02y

7．求以下方程的积分因子和积分：（1）(x2?y2?x)dx?xydy?0（2）(x4?y4)dx?xy3dy?0

?M?N??y?x1?,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.（1）解由于

Nx由公式（1.58）得积分因子?(x)?e22?xdx1，即?(x)?x,

于是方程(x?y?x)dx?xydy?0为全微分方程.取x0?0,?y0?0.于是方程的通积分为

?x0x(x2?y2?x)dx?0.即3x4?4x3?6x2y2?C.

?M?N