帮助学生积累怎样的基本活动经验

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——以“分数的认识〞教学为例

▇仲广群

著名教育家陶行知关于人如何获得知识曾做过一个形象的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机组成部分。〞可见，基本活动经验是学生数学学习的必要前提，是其获得数学直觉的源泉。那么对于学生的数学学习而言，什么才是可以用来做“根〞的基本活动经验呢？本文试以“分数的教学〞为例，阐述我们要帮助学生积累怎样的数学基本活动经验。一、重观测，重操作，丰富学生的表象，积累体验性经验

有研究说明，就智力和经验对学生概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。孩子们的内心世界往往不是依照定义的方式来理解的，他们更多地依照从前眼睛看到的，今后积累在脑海中的从前经验来给所学的抽象概念加以编码的。丰富的经验背景是学生理解概念的前提，否则将简单导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验〞，除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起着十分重要的作用。事实上，学生把握的数学概念大多是对自身经验经过分辩、分化、抽象、概括以后发展而来的。

学生认识分数远不像当时认识整数时那样来得顺利。这是由于，在学生的已有的活动经验中，来自有关“分数〞方面的储存，远不如整数那样多。生活中，学生更多接触到的是可以一个一个地来数的自然数，当“1〞需要再分时，人们又更喜欢用小数来表示（如商场里物品的标价等）。由于缺少丰富的表象来支撑，也缺少外显操作活动中来自感觉、知觉的经验，这给学生建立分数的概念带来了不小的困难。

尽管如此，教学还是得从学生所熟悉的感性材料入手，由于概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，毫无疑问，分辩各种刺激模式，并在知觉水平上进行分析、筛选、鉴别，根据事物的外部特征进行概括，是建立正确概念的第一步。既与分数的概念相通，又存在于学生的已有经验之中的，就是学生“均分〞物体的经验了。

分蛋糕、分苹果，的确是生活中较好的关于“均分〞的模型，由于学生都有过这样的经历。只是生活中人们并不习惯把一个蛋糕平均分成8块后，将其中的一块称为，而更多是称作“一小块〞。但这并不阻碍学生对分数产生的感知，由于学生从分苹果、分蛋糕中，已经完成了初级阶段的抽象，即学生能够明白，以前经验中最小的“1〞还是可以继续分下去的，这样分得的结果我们就得用新的数来表示了。这就把新的认知起点与旧有的经验联系起来了。相比之下，有的教材从“折纸〞切入，学生便不能从操作中感受到“分〞的必要性，由此引入分数多少显得牵强和生硬，这是对学生经验缺少深入细致的考察所导致的。

概念的抽象往往不是一次性完成的，分数概念的建立也不例外。我们可以从皮亚杰等人的研究成果中得到启发：“4-4岁半的儿童能把小的正规图形分成两半；6-7岁的儿童能把小的正规图形分成三份；7-9岁的儿童能把小的正规图形通过试错分成六份。〞皮亚杰等人的研究成果告诉我们，学生通过面积的模型来认识分数比较简单。依此，组织折纸、填图等操作性活动，可以引导学生向更高一层的抽象发展，亦即线段、长方形、圆??，以致一个整块的物体，都也可以像分苹果、分蛋糕那样均分下去，在这方面它们具有共同的属性，这就是所谓的“二阶抽象〞。

较之于“连续量模型〞，学生对于“离散量模型〞的理解，似乎来得更为困难。由于对学生而言，这是更高一层次的“三阶抽象〞。把多个物体看做一个整体进行均分，在学生的已有活动经验中储存不多，加之整体“1〞的类型并不像想象的那么简单，例如，形成分数至少关涉到以下几种不同的类型：⑴数量刚好为5个；⑵数量在5个以上并被分成了5等份；⑶数量比5多但不能被5整除；⑷数量比1多但比5少。

日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，只有教学这一专业活动才凸显这一功能，这是教师“浓缩〞了前人摸索的结果，使得素材本身更具“数学味儿〞，它可以避免学生走太多的弯路，花费太多的时间。

“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的表象进行思考。〞很显然，学生建立分数的概念必需先积累大量的感官经验、操作经验，且这些体验性经验又具有某些相像性、共通性，然后经由多个层次的“抽象〞这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。二、重探究，重思考，优化学生的策略，积累方法性经验

这里的“探究〞指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。对于行为操作和思维操作，我们不妨用“操作地思考〞和“思考地操作〞来界定两者的区别。行为操作的价值取向是问题解决，而不是仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，摸索所获得的经验一般是直接经验，我们称之为“操作地思考〞；思维操作指的是在思维过程中开展活动而获得的经验，即，思维操作经验，譬如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。思考的经验不仅可以产生于规律地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至产生于某些试验过程之中，我们称之为“思考地操作〞。显然，前者侧重于直接经验的获得，而后者侧重于间接经验的获得。

学生对“均分〞后产生分数有了初步的感知，就可以安排一些带有思维性质的操作性活动，如：通过引导学生进行折纸和画图等活动，想想和哪个大？用涂色的方法说明和哪个大？这样的活动，既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与，但更侧重于的是操作本身，让学生从图像中直观地感悟分数的大小，获取的直接经验占据主要的成分。

显然，不同的浮现方式，对学生的思维的要求是有区别的，即便是分桃子，将一只桃子进行均分，与将一大一小两只桃子进行均分，对学生的思维挑战就不在一个层面上。

如上图，学生当然可以通过“操作地思考〞，寻求到解决问题的答案。但是，更适合的方法却是进行“思考地操作〞，亦即，这一操作的过程可以在脑中完成，然后只要通过试验去验证一下就可以了，其思考的依据是，两个部分量的相加，应当等于整个量的。再如：小明看了一本书的，小红看了一本书的，他们俩谁看得页数多？一个图形的是□，原来的图形是怎样的？事实上，解决这两个问题，学生假使先行试验，或许会对寻求问题的正解产生误导。譬如学生用一样大小的纸做试验模型，结果只能发现小明看的页数多。同样，学生处理其次个问题时，画成，也会影响其对离散图形的进一步思考。不难分析，对试验之前的先行思考，即“思考地操作〞恰恰反映了学生对概念的本质的认知水平，由于这种先行的思考，带有很强的策略意味儿，是学生屡屡开展类似的开放性活动后形成的心理敏感机制，属于典型的个体知识。应当说，这种方法性活动经验对学生的学习而言，显得尤为重要，它是将学生的数学学习上升到“数学思想〞境界的必要桥梁。

三、重概括、重反思，增进学生的内隐能力，积累“数学地思考〞的经验

概括是形成和把握概念的直接前提。假使没有概括，学生就不可能把握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所把握；没有概括，就无法进行规律推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减〞与“浓缩〞，思维的灵敏性也就无从表达，学生把握概念，直接受思维概括水平的制约。从前面的分析可以看出，学生把握分数的概念，大致要经历几个不同的阶段：

首先，对已有生活经验和教师浮现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来。

其次，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在高层次上的抽象概括过程。

最终，把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。

因此，教师应当把学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生把握分化和类化的基本技巧，从而逐步学会自己分析材料、比较属性，并概括出关键属性，以逐步培养概括能力。学生概括能力的强弱，带有很强的特性特征，是学生的一种内隐能力。教学无法也不必让所有的学生达到一致的水平。但是，通过传授相关的策略，特别是，引导学生通过适当的反思，可以帮助学生在原有的基础得到适当的提高。为此，教师要帮助学生反思他们自己在学习活动中的静默知识，使他们学会不断地从自己显性的观点和想法中分析自己所使用的那些静默的认识模式，从而不断地提高他们元认知的水平，提高对自己的学习行为进行自我分析和自我管理的能力。

引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。假使学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回想和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。假使学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，摸索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了“数学地思考〞，使自己的思维变得条理化、明了化、确切化、概括化，而这，便促进了数学素养的形成。

从概念本身的教学来看，我们纵然希望学生的已有经验既要有我们想象的相像性、共通性，又不要有太多与概念无关的干扰。但是，学生的活动经验相当部分来自于日常的生活，而生活经验的提供途径和方式并不遵守学校教育的法则，所以学生所获取的经验成分中，带有相当程度的模糊性、片面性，甚至有不少的

错误隐蔽其中。学生由整数加法的经验迁移而产生“+=〞的想法，便是较好的