微分中值定理

微分中值定理第1页，共46页，2023年，2月20日，星期四第六节微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第2页，共46页，2023年，2月20日，星期四一、罗尔(Rolle)定理1.引理（费马(Fermat)定理）

第3页，共46页，2023年，2月20日，星期四2.罗尔（Rolle）定理则在(a,b)内至少存在一点，使f()=0.设函数f(x)满足条件：1)在闭区间[a,b]上连续.2)在开区间(a,b)内可导.3)f(a)=f(b)第4页，共46页，2023年，2月20日，星期四物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:第5页，共46页，2023年，2月20日，星期四3、罗尔定理还指出了这样的一个事实：若f(x)可导，则f(x)=0的任何两个实根之间，至少有f(x)=0的一个实根.例2

不求导数,判断函数f(x)=(x1)(x2)(x3)的导数f(x)有几个零点及这些零点所在的范围.第6页，共46页，2023年，2月20日，星期四4.注意

1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如第7页，共46页，2023年，2月20日，星期四2)罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有一个不满足,其结论也可能成立.例如,第8页，共46页，2023年，2月20日，星期四例3例4说明:证明

在

内有根用零点定理.证明

在

内有根用罗尔定理.第9页，共46页，2023年，2月20日，星期四关键技巧:根据题意会知道如何构造辅助函数.若希望用Rolle定理证明方程f(x)=0根的存在性，则构造的辅助函数F(x)应满足关系式F(x)=f(x)及Rolle定理条件.例5第10页，共46页，2023年，2月20日，星期四例6第11页，共46页，2023年，2月20日，星期四二、拉格朗日(Lagrange)中值定理则在(a,b)内至少存在一点，使

f(b)f(a)=f'()(ba)((a,b)).Lagrange中值定理：设函数f(x)满足条件：1)在闭区间[a,b]上连续.2)在开区间(a,b)内可导.第12页，共46页，2023年，2月20日，星期四作辅助函数证明：拉格朗日中值公式第13页，共46页，2023年，2月20日，星期四几何解释:例1第14页，共46页，2023年，2月20日，星期四增量

y的精确表达式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值定理也称为微分中值定理第15页，共46页，2023年，2月20日，星期四两个推论:(1)设f(x)在(a,b)内可导且f

(x)=0，则f(x)=C.(2)设f(x),g(x)在(a,b)内可导且f

(x)=g(x)，则f(x)=g(x)

C.第16页，共46页，2023年，2月20日，星期四拉格朗日中值定理的应用:1、用Lagrange中值定理证明等式：例2说明欲证时,只需证在

I

上练习：第17页，共46页，2023年，2月20日，星期四2、用Lagrange中值定理证明不等式：Step1找出适当的函数f(x)及区间,Step2验证f(x)满足Lagrange中值定理条件,Step3对f()作适当放大或缩小，推出所要证的结果.例4例3第18页，共46页，2023年，2月20日，星期四三、柯西(Cauchy)中值定理则在(a,b)内至少存在一点，使

Cauchy中值定理设函数f(x)、g(x)满足条件：1)在闭区间[a,b]上连续.2)在开区间(a,b)内可导且

g(x)

0.第19页，共46页，2023年，2月20日，星期四证作辅助函数第20页，共46页，2023年，2月20日，星期四几何解释:注意:弦的斜率切线斜率第21页，共46页，2023年，2月20日，星期四Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例.第22页，共46页，2023年，2月20日，星期四思考:

柯西定理的下述证法对吗

?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.第23页，共46页，2023年，2月20日，星期四例分析:结论可变形为第24页，共46页，2023年，2月20日，星期四例证第25页，共46页，2023年，2月20日，星期四四、小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理费马引理中值定理的数学符号简洁表述:P125第26页，共46页，2023年，2月20日，星期四2.

微分中值定理的应用(1)

证明恒等式(2)

证明不等式(3)

证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数第27页，共46页，2023年，2月20日，星期四中值定理的数学符号简洁表述:P125第28页，共46页，2023年，2月20日，星期四1.填空题思考与练习

函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值第29页，共46页，2023年，2月20日，星期四练习题第30页，共46页，2023年，2月20日，星期四第31页，共46页，2023年，2月20日，星期四第32页，共46页，2023年，2月20日，星期四练习题答案第33页，共46页，2023年，2月20日，星期四费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.第34页，共46页，2023年，2月20日，星期四拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.第35页，共46页，2023年，2月20日，星期四柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠基人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,第36页，共46页，2023年，2月20日，星期四第37页，共46页，2023年，2月20日，星期四例3证由零点定理矛盾,即为方程小于1的正实根.第38页，共46页，2023年，2月20日，星期四例4证由Rolle定理知说明:证明

在

内有根用零点定理.证明

在

内有根用罗尔定理.第39页，共46页，2023年，2月20日，星期四推广:例6第40页，共46页，2023年，2月20日，星期四（即例5）设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.提示:第41页，共46页，2023年，2月20日，星期四证：不妨设有例设,证明对任意第42页，共46页，2023年，2月20日，星期四有例设,证明对任意题设条件可减弱为第43页，共46页，2023年，2月20日，星期四例4证由上式得第44页，共46页，2023年，2月2