信号与系统课件教案第二章作业参

第二章作业参考答案:

P70.2.3已知系统的微分方程和初始状态如下，求其系统的全响应。

(a).(D2+5D+6)y(t)=u(t)，y(0)=0，y(1)(0)=1(b).(D2+4D+3)y(t)=e-2tu(t)，y(0)=y(1)(0)=0

解:(a)特征方程为

λ2+5λ+6=0

得λ1=-2，λ2=-3。 则yh(t)=c1e-λ1t+c2e-λ2t=c1e-2t+c2e-3t

令yp(t)=A,代入原方程，得A=1/6.

全响应为y(t)=yh(t)+yp(t)=c1e-2t+c2e-3t+1/6,

应用初始条件y(0)=0，y(1)(0)=1，解得

c1=1/2，c2=-2/3， ∴y(t)=（1/2)e-2t–(2/3)e-3t+1/6

解:(b)特征方程为

λ2+4λ+3=0

得λ1=-3，λ2=-1。 则yh(t)=c1e-λ1t+c2e-λ2t=c1e-3t+c2e-t

令yp(t)=c3e-2t,代入原方程，得c3=-1.∴yp(t)=-e-2t,

全响应为y(t)=yh(t)+yp(t)=c1e-3t+c2e-t-e-2t,

应用初始条件y(0)=0，y(1)(0)=0，解得

c1=c2=1/2， ∴y(t)=（1/2)e-3t+(1/2)e-3t-e-2t.2.7已知描述系统的微分方程如下求其系统的单位冲击响应h(t).(a).(D2+3D+2)y(t)=x(t)(b).(D2+6D+8)y(t)=Dx(t)

(c).(D2+4D+3)y(t)=(D+1)x(t)(d).(D2+4D+3)y(t)=x(t)(e).(D2+4D+4)y(t)=(D+3)x(t)(f).(D2+2D+2)y(t)=Dx(t)解:(a)特征方程为

λ2+3λ+2=0

得λ1=-2，λ2=-1。 则h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-2t+c2e-t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-2c1e-2t-c2e-t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-2c1-c2)δ(t)+(4c1e-2t+c2e-t)u(t)

将x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：

c1+c2=0 c1+2c2=1，得c1=-1,c2=1，所以h(t)=(-e-2t+e-t)u(t)解:(b)特征方程为

λ2+6λ+8=0

得λ1=-2，λ2=-4。 则h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-2t+c2e-4t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-2c1e-2t-4c2e-4t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-2c1-4c2)δ(t)+(4c1e-2t+8c2e-4t)u(t)

将x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：

(c1+c2)δ`(t)+(4c1+2c2)δ(t)=δ`(t) c1+c2=1 4c1+2c2=0，得c1=-1,c2=2，所以h(t)=(-e-2t+2e-4t)u(t)解:(c)特征方程为

λ2+4λ+3=0

得λ1=-3，λ2=-1。

则h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-3t+c2e-t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-3c1e-3t-c2e-t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-3c1-c2)δ(t)+(9c1e-3t+c2e-t)u(t)

将x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：

(c1+c2)δ`(t)+(c1+3c2)δ(t)=δ`(t)+δ(t) c1+c2=1 c1+3c2=1，得c1=1,c2=0，所以h(t)=e-3tu(t)解:(d)特征方程为

λ2+4λ+3=0

得λ1=-3，λ2=-1。 则h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-3t+c2e-t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-3c1e-3t-c2e-t)u(t) h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-3c1-c2)δ(t)+(9c1e-3t+c2e-t)u(t)将x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：

c1+c2=0 c1+3c2=1，得c1=-1/2,c2=1/2，所以h(t)=(-e-3t+2e-t)u(t)解:(e)特征方程为

λ2+4λ+4=0

得λ1=-2，λ2=-2。 则h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-3t+c2e-2t)u(t) h`(t)=(c1+c2)δ(t)+(-3c1e-3t-2c2e-2t)u(t)h``(t)=(c1+c2)δ`(t)+(-3c1-2c2)δ(t)+(9c1e-3t+4c2e-2t)u(t)

将x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得： c2δ`(t)+(c1+2c2)δ(t)=δ`(t)+３δ(t) c1＝1，

c2=１，所以h(t)=(t+1)e-2tu(t)解:(f)特征方程为

λ2+2λ+2=0

得λ1=-1+j，λ2=-1-j。 则h(t)=(c1eλ1t+c2eλ2t)u(t)=(c1e-tcost+c2e-tsint)u(t)

求出h`(t),h``(t),和x(t)=δ(t),y(t)=h(t)代入原方程得：

c1=1 c1+c2=0，得c1=1,c2=-1，所以h(t)=e-t(cost–sint)u(t)=21/2e-tcos(t+π/4)u(t)2.20图P2.20（a)所示电路图的输入信号如图(b)所示的矩形脉冲，其输出为i2(t).(a)求单位冲激响应h(t)(b)用卷积积分法求零状态响应i2(t).解:(a)(b)解一：

e(t)±R1=1Ω,R2=3ΩL=2Hi2(t)0TtEe(t)解二：图解法2.22某LTI系统的输入信号x(t)和气零状态响应yx(t)的波形如图P2.22所示。(a)求该系统的冲激响应h(t),(b)用积分器，加法器和延时器(T=1s)构成该系统。解:(a)0tτE(t-τ)h(τ)T>t>0E(t-τ)h(τ)t>T0t-T