第32课时 相像形

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第十章相像形

第32课时相像形(50分)

一、选择题(每题5分，共30分)

1．以下各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是A．1，2，3，4

()

B．1，2，2，4D．1，2，2，3

C．3，5，9，13

2．如图32－1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则以下结论不正确的是

()

图32－1

A．BC＝2DEB．△ADE∽△ABCC.ADAB＝AEAC

D．S△ABC＝3S△ADE

3．[2023·重庆]如图32－2，△ABC∽△DEF，相像比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是

()

图32－2

A．1

B．2

C．3

1

D．4

4．[2023·XX]在研究相像问题时，甲乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图32－3的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相像.

乙：将邻边为3和5的矩形按图32－4的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距为1，则新矩形与原矩形相像.对于两人的观点，以下说法正确的是A．两人都对

图32－4

()图32－3B．两人都不对D．甲不对，乙对

C．甲对，乙不对

5．[2023·宁波]如图32－5，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为

()

图32－5

A．2∶3

B．2∶5

C．4∶9

D.2∶3

6．[2023·雅安]如图32－6，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S四边形BCED的值为

()

图32－6

A．1∶3

B．2∶3

C．1∶4

D．2∶5

二、填空题(每题4分，共20分)

7．[2023·滨州]如图32－7，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等．则

AD

＝________．AB

2

图32－7

8．[2023·安顺]如图32－8，在?ABCD中，点E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________．

图32－8

9．如图32－9，∠1＝∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB：____________．

图32－9

10．[2023·六盘水]如图32－10，添加一个条件：__________________________，使得△ADE∽△ACB.(写出一个即可)

图32－10

11．[2023·宜宾]如图32－11，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．

3

图32－11

三、解答题(共20分)

12．(10分)[2023·佛山]如图32－12，网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A、B、C、D、E、F都是格点，试说明△ABC∽△DEF.

图32－12

13．(10分)[2023·益阳]如图32－13，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.

(20分)

14．(10分)如图32－14，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.

(1)写出图中两对相像三角形(不得添加辅助线)；(2)请分别说明两对三角形相像的理由．

图32－13

图32－14

4

15．(10分)[2023·资阳]如图32－15，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD.(1)求证：△CDE∽△CAD；

(2)若AB＝2，AC＝22，求AE的长．

图32－15

(10分)

16．(10分)[2023·金华]如图32－16所示，等边三角形ABC的边长为6，在AC、BC边上各取一点E、F，连接AF、BE相交于点P.(1)若AE＝CF.

①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数．②若AE＝2，试求AP·AF的值．

(2)若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

答案解析

1．B判断四条线段是否是比例线段，可先将四条线段按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质可知，假使第一、四两个数的积等于其次、三两个数的积，则这四条线段是比例线段，否则不是比例线段，由于1×4＝2×2，所以1，2，2，4是比例线段．

2．D∵在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，1ADDE＝BC，∴BC＝2DE，故A正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴

2AEAB

＝，故B、C正确；∵BC＝2DE，∴S△ABC＝4S△ADE，故D错误．应选D.AC3．B4.C5.C

6．A先利用SAS证明△ADE≌△CFE(SAS)，得出S△ADE＝S△CFE，再

5

图32－16

由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相像比为1∶2，利用相像三角形的面积比等于相像比的平方，得到S△ADE∶S△ABC＝1∶4，则S△ADE∶S四边形BCED＝1∶3，进而得出S△CEF∶S四边形BCED＝1∶3.7.22

∴EC∶CD＝2∶3，即EC∶AB＝2∶3.∵AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∴BF∶EF＝AB∶EC＝3∶2，∴BF∶BE＝3∶5.9．∠D＝∠C或∠E＝∠B或

ADAE

＝等∵∠1＝∠2，ACAB

8．3∶5∵DE∶EC＝1∶2，

∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠BAE，即∠DAE＝∠CAB.ADAE

当∠D＝∠C或∠E＝∠B或＝时，

ACAB△ADE∽△ACB.

10．∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或

ADAE＝ACAB

3

11.根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3.2设BE＝EB′＝x，则EC＝4－x，∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝5，∴B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2＋22＝(4－x)2，解得x＝1.5.

12．解：∵AC＝2，BC＝10，AB＝4，DF＝22，EF＝210，DE＝8，∴

ACBCAB1

＝＝＝，∴△ABC∽△DEF.DFEFDE2

13．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，

6

∴∠ADB＝∠CEB＝90°.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.

14．由两角对应相等得两三角形相像，关键是得到∠BAC＝∠DAE要运用等式性质．

解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.

又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴

ABAC

＝.ADAE

又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.

15．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.

又AC是⊙O的切线，则BA⊥AC，

即∠BAC＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.

∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDE，

又∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD.(2)解：在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(22)2＝OC2，∴OC＝3，则CD＝2.又由△CDE∽△CAD，得即

CDCA＝，CECD

222＝，∴CE＝2，CE2

∴AE＝AC－CE＝22－2＝2.

16．解：(1)①证明：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，

7

∵AE＝CF，∴△BAE≌△ACF(SAS)，∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF.

∵∠APB＝180°－(∠ABE＋∠FAB)，

∴∠APB＝180°－(∠CAF＋∠FAB)＝180°－∠BAC＝180°－60°＝120°.②∵∠AEB＝∠AEP，∠ABE＝∠CAF，APAE＝，ABBEAP2

∵AB＝6，AE＝2，∴＝，

6AF∴△BAE∽△APE，∴∴AP·AF＝6×2＝12.

(2)由(1)知∠APB＝120°，当点E从点A运动到C点时，∠APB保持不变，此时，P点的路径分四种状况．

第一种：当点F从点C运动到点B时，点P的路径为△ABP的外接圆的一段120°弧，点P经过的路径长为l＝

nπr120π×2343π

＝＝；1801803

第16题答图(1)

其次种：当点F从点B运动到点C时，点P的路径为△ABC中AB边上的垂直平分线．点P经过的路径长为l＝CD＝AC2－AD2＝62－32＝33；

第