第十七届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答

第十七届中学生物理竞赛复赛题参考解pg17-1-1p(lh)gp0lgpSVpVg

即管内空气的压强与其体积成正比，由龙方程pVnRTVg nRT

pV17-2T1降到T2过程中，气体的体积由V1变到V2

V2

V2V2W (V1V2)g 2

S UnCV(T2T1设Q为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律WQUQU（5（6（7

1 Qn(TT)C 1 2

Q0.247Q0QQ0.247

20（4）（6）（7）（8）（9）（10）3BC与小球球心OBCDE17-2BCDE的延长线交于Gn0sinnsin式中sinr激光光束经两次折射，频率保持不变，故在两次pp

php

式中c为真空中的光速，h为常量．因射入pBCpDE向由于光束的折射而偏转了一个角度2，由图中22(

若取线段GN1pGN2pN1N2的长度正比于光子动量的改变量p，由几何关系得p2psin2hc

GN1N2为等腰三角形，其底边上的高GH与CD平行，故光子动量的改变量p沿垂直CD的方向，且由G指向球心O光子与小球作用的时间可认为是光束在小球内的时间，2rcost cn0/式中cn0/n是光在小球内 速率按照第二定律，光子所受小球的平均作用力的大小fpn0h

按照第三定律，光子对小球的平均作用力大小Ff，Fn0h

力的方向由点O指向点G．由（1）、（2）、（4）及（8）式，经过三角函数关系运算，最r2l(r2l(nr/n0)2lF

相距为r的电量为Q1与Q2的两点电荷之间的库仑力FQ与电势能UQ

r

UQ

r

U(r)kF(r)k

设正反顶夸克绕其连线的中点做匀速圆周运动的速率为vr0，二者所受的向心F(r0，二者的运动方程均为mtv2

kr/2

n12mtv22mtv2

r082ma

t0r1.410－170

vk4aS

h 3 由vr0可算出正反顶夸克做匀速圆周运动的周期

T2(r0/v

/

T1.810－24/T

6设的质量为M0，飞行器的质量为m，飞行器绕做圆周运动的轨道半径飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短的时间内，由v0u0．设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u，因大小为u0和u向都与椭圆的长轴垂直，由勒第二定律可u0R

mu2GM0m1mu2GM0m

由万有引力定律， G或

mRRv0Ru

71u 1

设小行星绕运动的速度为v，小行星的质量M，由万有引力定 M G(6R)2M得v 1

6可以看 v

对静止的，飞行器以相对速度为vu射向小行星，由于小行星的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速率vu弹回，即碰撞后，飞行器相对小行星的速度的大小为vu，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对的速度为u1vvu2v232123211

如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出系，它应具有的最小速度为u2，则1mu2GM0m 得u

3 327u1 327

13v13

飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出系为使飞行器能进入椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由v0增加到u0，飞行器从发E1mu21mv21m12v21mv2

5

7

若飞行器从其圆周轨道上直接飞出系，飞行器应具有的最小速度为u3，则1mu2GM0m

2GRu 2GR

飞行器的速度由v0增加到u3E1mu21mv21

5E1

1 2g|y1v 2.02g|y1x轴正方向和负方向两个大小都是v0的初速度，由于这两个方向相反的速度的合速度为零，因而不影响带电质点以后的运动．在t0时刻，带电质点因具有沿x轴正方向的初速度v0而受洛伦兹力f1的作用。f1qv0

其方向与重力的方向相反．适当选择v0f1qv0B

v0

(q/

2.0m

只要带电质点保持（4）式决定的v0沿x轴正方向运动，f1与重力的合 等于零．但时，位于坐标原点的带电质点还具有竖直向下的速度v1x轴负方向的速度v0，二者的合v2 v v2

x轴的负方向的夹角为17-5-1tanv14

因而带电质点从t0时刻起的运动可以看做是速率为v0x轴的正方向的匀速直线运动和在xOy平面内速率为v的匀速圆周运动的合成．圆周Rmv0.56

带电质点进入磁场瞬间所对应的圆周运动的圆心O位于垂直于质点此时速度v的直线上，由17-5-1xO'Rsin0.40 Rcos0.40

v5.0radR

17-5-1txv0tRsin(t)xO'yyO'Rcos(t

式中v0R、、xO'yO'已分别由（4）、（7）、（9）、（6）、（8）yL0.80m，代入（11）式，再代入有关数值，t0.31

x0.63

x0.63

y0.80

z

带电质点在磁场内的运动可分解成一个速率为v的匀速圆周运动和一个速率为v0轴正方向的匀速直线运动，任何时刻t，带电质点的速度V便是匀速圆周运动速度v与匀速直线运动的速度v0xy方向的分量为vx、vy，则质点xy方向的分速度分别为VxvxVy

v2v2

vv由（5）v0由（4）不变的，但在质点运动过程中因vxy方向的分量vx和vy时间变化，因此Vx和Vy也随时间变化，取决于所时刻质点做圆周运动速度的方向，y坐标恰为磁场区域宽度的一半，由对称性可知，带电质点离开磁场下x轴正方向夹角'，故代入数值得4xvvcos'2.0mxyvvsin'2.0myVx4.0mVy2.0m

V

V2VV2V

设Vx17-5-2tanVy 若以带电质点到达坐标原点O的时刻作为起始时刻（t0），2g|y1v 2.0m2g|y1yx方向的分yx方向的分量的增量为mvxqvyBt

y是带电质点在ty方向的位移，质点在磁场中运动的整个过程中，此式对每一段t时间都成立，所以在t0到ttx方向的动量的改变为mvxmv0xqB(yy0因初始时刻（t0），xmv0xy00得mvx vxqBm

xy负方向的洛伦兹力的作用．根据yaymaymgqvx(qB)2

may yq2B2g

y'y

D(qB)2(q/m)2B20.40yFykyq2

其 kmFyFyyqB mqB m

y'Acos(t0

或y'Acos(t0)

A与0是待求的常量，质点的简谐运动可以用参考圆来描写，以 的简谐运动的振幅为半径作一圆，过圆心O1x'O1yM沿此圆周做匀速率圆周运动，运动的角速度等于所考察简谐运动的角频率，且按逆时针方向转动，在t0M点的在圆周上的位置恰使连线O1My等于（9）式中的常量0，则在任意时刻tO1M的连y轴的夹角等于t0，于是连线O1My投影即为（9）xD0.40m，连线O1My轴的投影即如（10）式所示（17-5-3），M点做圆周运动的速度大小vA，方向与O1M垂直，速度vyy轴做简谐运动的速度，即vyAsin(t0

（10）和（11）A和0可由下面的方法求得：因为已知在t0y0处，速度vyv1，把这个条件代入（10）式与（11）Acos0D

A0.56

DxAcos(t0)xx'

xAcos(t0xx''具有如下的形式0Acost0

Asin(t xAsin(t0x''bAsin(t0t0x应b应取的值为bAsin0，故有x''Asin0Asin(t0xxx'x，由（15）、（16）xDtAsin0Asin(t0

（17）、（10）、（14）和（11）式分别给出了带电质点在离开磁场区域前任何时刻t的xy分量，式中常量A、0D已分别由（8）、（13）yL0.80t0.31x0.63

vx4.0m vy2.0m

V

v2 v2

vxarctanvyvx

由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中的光线都与轴相交，位于17-6-1O点发出的与轴的夹角为AB分界面的入射角为i，反射角也为i．该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为．若该光线折射后的折射角为，则由几何关系和i nAsinnF

当i大于全反射临界角iC出射端面，而iiC了．因而能射向出射端面的光线的i的数值一定大于或等于iCiCnAsiniC与iC对应的C90

当0C时，

sin0sinCcosiC

时，1sin21(nB/nAn2 1sin21(nB/nAn2 射向端面，此时出射端面处maxC90

n2 若0C，即nAsin0 时，则由O发出的光线都能满足n2 射向端面，此时出射端面处max端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设为max，由（2）nFsinmaxnA由（6）、（7）式可得，当0C

nnA

由（3）至（7）式可得，当0Cn2n2 nF C

(d2d(d2d1)/ d)/ (hh22

nFnn

d d)/ 22 h