拉普拉斯变换

本文格式为Word版，下载可任意编辑——拉普拉斯变换ch1476476556.doc-1-§14拉普拉斯变换

重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开

2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤

4.网络函数的的定义和极点、零点的概念；

*5.网络函数的零点、极点与冲激响应(ch7)的关系；*6.网络函数的零点、极点与频率响应的关系难点：

1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法

2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用

*3.零点、极点与冲激响应的关系*4.零点、极点与频率响应的关系

本章与其它章节的联系：

1.是前几章基于变换思想的延续。2.是叠加定理的一种表现预习知识：积分变换卷积积分学时安排：教学方式：课件：参考资料：

ch1476476556.doc-2-§14－1拉普拉斯变换的定义

1.拉普拉斯变换法

拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。2.拉普拉斯变换的定义

一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为

式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为

式中c为正的有限常数。注意：

1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即：

它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来便利。2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如i(t),u(t)。3）象函数F(s)存在的条件：3.典型函数的拉氏变换1)单位阶跃函数的象函数

2)单位冲激函数的象函数

3)指数函数的象函数

ch1476476556.doc-3-§14－2拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换的性质列于表13.1中。

表14-1拉氏变换的若干性质和定理特性和定理表达式时域延迟位移特性频域延迟为一非负实数

条件和说明线性a、b为常数若所有初值为零，则有微分积分初值定理或存在所有奇点均在s平面终值定理或左半部卷积定理积为与的卷应用拉氏变换的性质，同时借助于表13.2中所示的一些常用函数的拉普拉斯变式可以使一些函数的象函数求解简化。

ch1476476556.doc-4-表14-2拉氏变换简表

1CosatCoshatSin(at)Sinh(at)

ch1476476556.doc-5-例14-1已知，求函数的像函数。解：

例14-2已知，求f(t)=的象函数。

解：根据积分性质和时域延迟性质

例14-3求函数的像函数。

解：

例14-4求函数的像函数。

解：根据微分性质，由于，所以

例14-5求函数的像函数。解：

例14-6求的像函数。

例14-7求函数的像函数。

ch1476476556.doc-6-§14－3拉普拉斯反变换的部分分式展开

1．拉普拉斯反变换法

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有：

1）利用公式

2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数3)把F(S)分解为简单项的组合，也称部分分式展开法。则2.部分分式展开法

用部分分式法求拉氏反变换(海维赛德展开定理)，即将换表中查到的设以得到一个式分解，求出

展开成部分分式，成为可在拉氏变

。

除

，

的简单函数，然后通过反查拉氏变换表求取原函数

，

的阶次不高于

的阶次，否则，用

的多项式与一个余式（真分式）之和。部分分式为真分式时，需对为分母多项式作因

=0的根。

设象函数的一般形式：即F（s）为真分式。下面探讨1）若

=0的根的状况。

=0有n个不同的单根p1、p2……pn。利用部分分式可将F(s)分解为：

待定常数的确定：方法一：按

方法二：用求极限方法确定ai的值

，i=1,2,3,…,n来确定。

得原函数的一般形式为：

ch1476476556.doc-7-2）若

=0有共轭复根

和

，可将F(s)分解为：

则

由于F(s)为实系数多项式之比，故3）

=0的具有重根时，因含有

的因式。

，和

为共轭复数。设

，

则，；；……；

总结上述得由F(s)求f(t)的步骤：

1）n=m时将F(s)化成真分式和多项式之和；2）求真分式分母的根，确定分解单元；

3）将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数；4）对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。

ch1476476556.doc-8-例14-8已知

求原函数

解法一：设

其中

所以

解法二

例14-9已知解：由于

求原函数的根为：

。

所以

例14-10已知

，求原函数

解：

；；

ch1476476556.doc-9-

；

则，

例14-11已知，求原函数。

解：原式所以

ch1476476556.doc-10-§14－4运算电路

应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最终求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。

1.电路定律的运算形式基尔霍夫定律的时域表示：

把时间函数变换为对应的象函数：

得基尔霍夫定律的运算形式：

2.电路元件的运算形式

根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。1)电阻R的运算形式

图14.1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u=Ri，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR的运算形式：

或

图14.1（b）图14.1（a）

根据上式得电阻R的运算电路如图（b）所示。2)电感L的运算形式

图14.2(a)所示电感元件的电压电流关系为

图14.2（a）

两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR的运算形式：

图14.2（b）

ch1476476556.doc-11-或

根据上式得电感L的运算电路如图(b)和图(c)所示。图中

表示附加电压源的电

压，式中

称为电感的运算阻抗和运算导纳。3)电容C的运算形式

图14.3(a)所示电容元件的电压电流关系为：

表示附加电流源的电流。

分别

图14.2（c）

图14.3（a）

两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式：

或

图14.3（b）

根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。

图中表示附加电流源的电流，

表示附加电压源的电压。式中

容的运算阻抗和运算导纳。

分别为电

图14.3（c）

4)耦合电感的运算形式

图14.4（a）所示耦合电感的电压电流关系为：

ch1476476556.doc-12-

两边取拉普拉斯变换，得耦合电感VCR的运算形式：

图14.4（a）

根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。图中

附加电压源。式中

分别称

为互感运算阻抗和互感运算导纳。

和

都是

5)受控源的运算形式

图14.5（a）所示VCVS的电压电流关系为：

普拉斯变换，得运算形式为：

根据上式得VCVS的运算电路如图（b）所示。

两边取拉

图14.4（b）

图14.5（a）

3.运算电路模型

图14.5（b）

图14.6（a）

图14.6（b）

ch1476476556.doc-13-图14.6为RLC串联电路，设电容电压的初值为域方程为：

，电感电流的初值为，其时

取拉普拉斯变换，得运算方程

或写为即：

上式称运算形式的欧姆定律，式中

得图（b）所示的运算电路。因此，运算电路实际是：（1）电压、电流用象函数形式

（2）元件用运算阻抗或运算导纳表示；

（3）电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。

称运算阻抗。根据上式

例14-12给出图（a）所示电路的运算电路模型。已知

例14-12图（a）

ch1476476556.doc-14-解：运算电路如图（b）所示。

例14-13给出图（a）所示电路的运算电路型，已知t=0时开启开关。

例14-12图（b）

模

例14-13图（a）

例14-13图（b）

解：由图（a）可知：uc(0-)=25V，iL(0-)=5A，则运算电路模型如图（b）所示。

注意图中的附加电源。

ch1476476556.doc-15-§14－5应用拉普拉斯变换法分析线性电路

应用拉普拉斯变换法分析线性电路计算步骤为：1.由换路前的电路计算uc(0-),iL(0-)。

2.画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。3.应用电路分析方法求象函数。4.反变换求原函数。注意：

1）运算法直接求得全响应；

2）用0-初始条件，跃变状况自动包含在响应中；

例14-14电路如图（a）所示，开关S原来闭合，求S在0时刻开启后电路中的电流及电感元件上的电压。其中，R1=2Ω，R2=2Ω，L1=0.3H，L2=0.1H，Us=10V。

例14-14图（a）

例14-14图（b）

解：图（b）是开关S开启后的运算电路图。L1中的初始电流为Us/R1=5A。则

故

A

所以

VV

ch1476476556.doc-16-例14-15电路如图(a)所示，t=0时刻开关S闭合，用运算法求S闭合后电路中感元件上的电压及电流。已知

。

解：

(1)首先计算初值由已知条件和图(a)得：

(2)画运算电路如图(b)所示。其中

例14-15图（b）

例14-15图（a）

(3)应用回路法，回路电流方向如图示，得回路方程：

从中解得：

(4)反变换求原函数

有三个根：

令

ch1476476556.doc-17-

注意：

例14-16电路如图（a）所示，已知电压及电流。

，用运算法求电路中电容元件上的

例14-16图（a）

解：由已知条件知：

，运算电路如图（b）所示。有：

例14-16图（b）

例14-17电路如图（a）所示，t=0时开启开关k,求电流i1,i2。已知：

ch1476476556.doc-18-

例14-17图（a）

解：由图（b）所示的运算电路得：

例14-17图（b）

所以

ch1476476556.doc-19-§14.6网络函数的定义

1.网络函数的定义

电路在单一的独立鼓舞下，其零状态响应r(t)的象函数R(s)与鼓舞e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即：

2．网络函数的类型设图14.1中，据鼓舞

为鼓舞电压、为鼓舞电流；为响应电压、为响应电流。根

可以是独立的电压源或独立的电流源，响应可以是电路中任意两点之间的电压

或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下几种类型：

图14.1

驱动点阻抗：转移阻抗：电流转移函数：注意：

1）根据网络函数的定义，若E(s)=1，即e(t)=δ(t)，则R(s)=H(s)，即网络函数就是该响应的象函数。所以，网络函数的原函数h(t)为电路的单位冲激响应，因此假使已知电路某一处的单位冲激响应h(t)，就可通过拉氏变换得到该响应的网络函数。

2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与鼓舞的函数形式无关，因此假使已知某一响应的网络函数H(s)，它在某一鼓舞E(s)下的响应R(s)就可表示为R(s)=H(s)E(s)例14－1图示电路中，已知

时，

。求

时，

；驱动点导纳：；转移导纳：

；电压转移函数：

；；

。

ch1476476556.doc-20-

例14-1图

解：网络函数=

当时，

所以

例14－2图示电路鼓舞i(t)=d(t)，求冲击响应h(t)，即电容电压uC(t)。

例14-2图（a）

解：电路的运算图如图（b）所示，有：

例14-2图（b）

ch1476476556.doc-26-令s→jω，则或写为：

H(s)的极点分布见图(b)所示。由图(b)可得图(c)所示的幅频特性和(d)所示的相频特性

(a)(b)(c)

§14.**卷积

1．拉氏变换的卷积定理1）卷积积分

2）卷积定理若

则

2.应用卷积定理求电路响应

设E(s)表示外施鼓舞，H(s)表示网络函数，响应R(s)为R(s)=H(s)?E(s)

求R(s)的拉氏反变换，得到网络零状态响应的时域形式

这里e(t)是外施鼓舞的时域形式，h(t)是网络的冲激响应。例14－7已知图示电路

，冲击响应

。

ch1476476556.doc-27-

例14-7图

解法1：

K1=3,K2=-3

所以

解法2：

-t

例14－8图示电路中，R=500kΩ，C=1μF，电流源电流is(t)=2eμA。设电容上原无电压。求

uc(t)。

解：电路的冲激响应为

则电容电压为：

例14-8图

ch1476476556.doc-28-

ch1476476556.doc-29-

ch1476476556.doc-30-

ch1476476556.doc-21-注意：H(s)仅取决于网络的参数与结构，与输入E(s)无关，因此网络函数反映了网络中响应的基本特性。

例14－3图(a)所示电路鼓舞为

，响应为

求阶跃响应

。

例14-2图（a）

解：电路的运算图如图（b）所示，有：

例14-2图(b)

ch1476476556.doc-22-§14.7网络函数的极点和零点

网络函数的H(s)的分母和分子都是s的多项式，故一般形式为

其中，H0是一个常数，zi(i=1,2,?,m)是N(s)=0的根，pj(j=1,2,?,n)是D(s)=0的根。

当s=zi时，H(s)=0，故zi(i=1,2,?,m)称为网络函数的零点；

当s=pj时，H(s)=∞，故pj(j=1,2,?,n)称为网络函数的极点。

在复平面（也称为s平面）中，H(s)的零点用“○〞表示，极点用“×〞表示，构成网络函数的零、极点分布图如图14.2所示。

图14.2

例14－4已知网络函数绘出其极零点图。解：即

的零点为：

，

例14-4图

即的极点为：

零极点图如例14-4图所示。

ch1476476556.doc-23-§14.8零点、极点与冲激响应

H(s)和E(s)一般为有理分式，因此可写为

式中，，而、的根将包含

、、和

都是s的多项式。用

的根。

部分分式法求响应的原函数时，

令分母D(s)=0，解出根pi,(i=1,?,n)，

同时，令分母Q(s)=0，解出根pj,(j=1,?,m)。那么，

则响应的时域形式为：

+

其中响应中包含的根，属于自由分量或瞬态分量；响应中包含

的根（即网络函数的极点），属于强制分量。因此，自由分量是由网络函数决定的，强制

分量是由强制电源决定的。

可见，D(s)=0的根对决定R(s)的变化规律起决定性的作用。由于单位冲激响应h(t)的特性就是时域响应中自由分量