平稳随机过程

平稳随机过程第1页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念

定义6.1

设{X(t)，tT

}是随机过程，对任意常数和正整数n，

t1,t2,,tnT,t1+,t2+,,tn+

T，若(X(t1),

X(t2),,

X(tn))与

(X(t1+),

X(t2+),,

X(tn+))

有相同的联合分布，则称{X(t)，tT

}为严平稳过程，也称狭义平稳过程。第2页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念

定义6.2

设{X(t)，tT

}是随机过程，并满足：(1){X(t)，tT

}是二阶矩过程；(2)对任意tT

，mX(t)=EX(t)=常数；(3)对任意s,tT

，

RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)，则称{X(t)，tT

}为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT

}为平稳序列。第3页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念宽平稳过程严平稳过程严平稳过程宽平稳过程严平稳过程宽平稳过程正态过程二阶矩存在第4页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念例6.1

设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t>0，且Y,Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程{X(t),t>0}的平稳性。解第5页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念

所以{X(t)，tT

}为宽平稳过程。第6页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念例6.2

设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn]

=2

，试讨论随机序列的平稳性。

解因为E[Xn]=0，

所以{Xn,n=0,1,2,}是平稳随机序列。第7页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念例6.3

设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2t)，其中是(0,1)上的均匀分布随机变量，t只取整数值1,2,，试讨论随机过程X(t)的平稳性。解第8页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.1平稳随机过程的概念

所以X(t)是平稳过程。第9页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.2联合平稳随机过程

定义6.4

设{X(t)，tT

}和{Y(t)，tT

}是两个平稳过程，若它们的互相关函数E[X(t)Y(t-)]及E[Y(t)X(t-)]仅与有关，而与t无关，即

RXY(t,t-)=E[X(t)Y(t-)]=RXY()RYX(t,t-)=E[Y(t)X(t-)]=RYX()

则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。

第10页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.2联合平稳随机过程

命题：当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，第11页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.2联合平稳随机过程例6.4

设X(t)=Asin(t+)，

Y(t)=Bsin(

t+

-)为两个平稳过程，其中A,B,

是常数，是(0,2)上的均匀分布随机变量，证明：X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。证明：第12页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.2联合平稳随机过程第13页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.2联合平稳随机过程所以X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。第14页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析第15页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定义6.5

设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有成立，则称{Xn}均方收敛于X。记作或(meansquare)(limitinmean)第16页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.1（柯西收敛定理）二阶矩随机序列{Xn}收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是第17页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.2

设{Xn},{Yn},{Zn},都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，{cn}为常数序列，a,b,c为常数，令则(1)(2)(3)第18页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介(4)(5)(6)第19页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.3

设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件是下列极限存在第20页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定义6.6

设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对每一个tT

，有则称X(t)在t点均方连续，记作若对T中的一切点都均方连续，则称X(t)在T上均方连续。第21页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.4（均方连续准则）二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续。

推论若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上连续，则它在TT上连续。

第22页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定义6.7

二阶矩过程{X(t),tT}，若存在随机过程X(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作并称X(t)为X(t)在t点的均方导数。第23页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介若X(t)在T上每一点均方可微，则称X(t)在T上均方可微。类似地可定义二阶均方导数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为第24页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.5（均方可微准则）二阶矩过程{X(t),tT}，在t点均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在。

推论1

二阶矩过程{X(t),tT}在T上均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上每一点广义二阶可微。

推论2

若相关函数RX(t1,t2)在{(t,t)，tT}上每一点广义二阶可微，则第25页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

第26页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介均方积分设{X(t),tT}为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=[a,b]，用一组分点将T划分如下：a=t0<t1<<tn=b，第27页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介定义6.8

如果当n0时，Sn均方收敛于S，即

，则称在区间[a,b]上均方可积，并记为第28页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.6（均方可积准则）

f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为

存在，特别地，二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在[a,b][a,b]上可积。第29页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.7

设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有(1)(2)第30页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

定理6.8

设二阶矩过程{X(t),tT}在区间[a,b]上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程{Y(t),tT}在区间[a,b]上均方可微，有Y(t)=X(t)。推论设X(t)均方可微，且X(t)均方连续，则第31页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介例6.5

设{X(t),tT}是实均方可微过程，求其导数过程{X(t),tT}的协方差函数BX(s,t)。解由定理6.5推论2(1)由定理6.6推论2(4)第32页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.3随机分析简介

所以第33页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.4平稳过程的遍历性

定义6.9

设{X(t),-<t<}是均方连续的平稳过程，则时间均值时间相关函数第34页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.4平稳过程的遍历性

定义6.10

设{X(t),-<t<}是均方连续的平稳过程，若

则称平稳过程的均值具有遍历性；若

则称平稳过程的相关函数具有遍历性。第35页，共44页，2023年，2月20日，星期四6.4平稳过程的遍历性

定义6.11

如果均方连续的平稳过程{X(t),-<t<}的均值和相关函数都具有遍历性，则称该平稳过程具有遍历性。例6.9

设随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为服从(0,2)上均匀分布的随机变量，