工程力学下册超静定系统

工程力学下册超静定系统第1页，共63页，2023年，2月20日，星期四●

12.1概述

静不定结构也称为超静定结构，和相应的静定结构相比，具有强度高、刚度大的优点，因此工程实际中的结构大多是静不定结构。本章主要介绍静不定结构的定义、静不定次数的判断以及静不定结构的求解方法，重点介绍用力法求解静不定结构。首先对超静定结构作全面的讨论。

第2页，共63页，2023年，2月20日，星期四1.平面杆系由直杆以铰结点相连接组成杆系，若载荷只作用于结点上，则每一杆件只承受拉伸或压缩，这种杆系称为桁架[见图14.1(a)]。图14.1第3页，共63页，2023年，2月20日，星期四若直杆以刚结点相连接组成杆系在载荷作用下，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系称为刚架[见图14.1(b)]。至于如图14.1(d)所示杆系是连续跨过若干支座的梁通常称为连续梁。图14.1杆系各杆的轴线在同一平面内，且它就是各杆的形心主惯性平面；同时，外力也都作用于这一平面内。这种杆系称为平面杆系。后面的讨论以平面杆系为主。2.外超静定和内超静定以往讨论的超静定结构，多数是支座反力不能全由平衡方程求出的情况，这种超静定结构称为外静不定，如图14.1(b)和图14.1(d)所示就是这种超静定结构。至于如图14.1(a)和图14.1(c)所示结构虽支座反力可由静力平衡方程确定，但杆件的内力却不能全部由平衡方程求出，仍然是超静定结构，这种超静定结构称为外静不定。与此相反，静定结构的支座反力和内力由平衡方程，并利用截面法，便可全部确定。第4页，共63页，2023年，2月20日，星期四3．超静定结构的多余约束图14.2如图14.2(a)和图14.2(b)所示静定梁各有三个反力，使梁只可能有变形引起的位移，在xy平面内任何刚性位移或转动都是不可能的。这样的结构称为几何不变或运动学不变的结构。上述三个反力所代表的约束都是保持结构几何不变所必需的。例如解除简支梁的右端铰支座；或解除悬臂梁固定端对转动的约束使之变为铰支座，这两种情况都将使梁变成如图14.2(c)所示机构，它可绕左端铰链A转动，是几何可变的。第5页，共63页，2023年，2月20日，星期四与静定结构不同，超静定结构的一些支座往往并不是维持几何不变所必需的。例如解除如图14.1(b)所示刚架的支座B，它仍然是几何不变的结构。因此把这类约束称为多余约束。与多余约束对应的约束力就称为多余约束力。结构的支座或支座反力是结构的外部约束。现在从静定与超静定结构的比较来讨论内部约束。如图14.3(a)所示是一个静定刚架，切口两侧的A、B两截面可以有相对的位移和转动。如用铰链将A、B连接[见图14.3(b)]，这就限制了A、B两截面沿垂直和水平两个方向的相对位移，构成结构的内部约束，相当于增加了两对内部约束力，如图14.3(c)所示。推广开来，如把刚架上面的两根杆件改成连为一体的一根杆件[见图14.3(d)]，这就约束了A、B两截面的相对转动和位移，等于增加了三对内部约束力[见图14.3(e)]。第6页，共63页，2023年，2月20日，星期四图14.3第7页，共63页，2023年，2月20日，星期四4．基本静定结构另一方面在解题时需将超静定系统变化为静定系统。解除超静定结构的某些约束后，可以把它变为静定结构。如解除如图14.4(a)所示超静定结构的支座C，并将截面D切开，便成为如图14.4(b)所示静定结构。解除支座C相当于解除了一个外部约束，切开截面D又等于解除了三个内部约束。可见相当于解除了四个约束。或者说，与相应的静定结构相比，如图11.4(a)所示超静定结构多出四个约束，称为四次超静定结构。又如在图14.l(a)中，把桁架的任一根杆件切开，就成为静定结构。桁架各杆只承受拉伸或压缩，切开一根杆件只相当于解除一个内部约束，所以它是一次超静定结构。第8页，共63页，2023年，2月20日，星期四图14.4解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构，称为原超定结构的基本静定系或静定基。图14.4(b)所示的静定结构就是图14.4(a)所示超静定结构的基本静定系。基本静定系可以有不同的选择，不是唯一的。第9页，共63页，2023年，2月20日，星期四图14.5(a)所示刚架有两个多余约束，是二次超静定梁。可以解除固定铰支座得到由图14.5(b)所示的基本静定系。也可将刚架的固定端除去，并装上移动铰链就得到如图14.5(c)所示的基本静定系。在基本静定系上，除原有载荷外，还应该用相应的多余约束力代替被解除的多余约束，这就得到图14.5(b)或图14.5(c)所示的基本静定系。有时把载荷和多余约束力作用下的基本静定系称为相当系统。图14.5第10页，共63页，2023年，2月20日，星期四基本静定系统基选取可遵循的原则：(1)基本静定系统基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统。(2)基本静定系统要便于计算，即要有利于建立变形协调条件。一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。第11页，共63页，2023年，2月20日，星期四5．超静定次数的确定(1)根据结构约束性质可确定内、外约束力总数。内、外约束力总数与独立静力平衡方程总数之差即为超静定结构的超静定次数。(2)外超静定次数的判断：根据结构与受力性质，确定其是空间或是平面承载结构，即可确定全部约束的个数。根据作用力的类型，可确定独立平衡方程数，二者之差为超静定次数。如图14.7(b)所示，外载荷为平面力系，则为三次外超静定系，而图14.7(c)为空间力系，则为六次外超静定。(3)内超静定次数的确定。桁架：直杆用铰链相连接，载荷只作用于结点，杆只受拉压力的杆系，其基本几何不变系由三杆组成[见图14.6(a)]。而图14.6(b)仍由基本不变系扩展而成，仍是静定系，而图14.6(c)由于在基本系中增加了一约束杆，因而为一次超静定。第12页，共63页，2023年，2月20日，星期四图14.6图14.7第13页，共63页，2023年，2月20日，星期四刚架：杆以刚结点相连接，各杆可以承受拉、压、弯曲和扭转，这样的杆系为平面刚架(图14.7)。对于闭口框架，则需用截面法切开一个切口使其变为静定结构(几何不变可承载结构)，其截面上作为平面受力结构[见图14.7(b)]，出现三个内力(轴向力,弯矩，剪切力)，为三次超静定，而对于空间受力结构[见图14.7(c)]则为六次超静定。对于大型结构，若为平面问题，则每增加一个闭合框架，结构超静定次数便增加三次，而一个平面受力闭合圆环与之类似，也是三次超静定。(4)混合超静定次数的确定。先判断外超静定次数，后判断内超静定次数，二者之和为结构超静定次数。图14.8第14页，共63页，2023年，2月20日，星期四●

12.2用力法求解静不定结构

求解静不定结构的方法一般有两种方法：力法和位移法。

力法：以多余约束力为基本未知量，将变形或位移表示为未知力的函数，通过变形协调条件作为补充方程来求解未知约束力，这种方法称为力法，又叫柔度法。

位移法：以结点位移作为基本未知量，将力通过结构关系表示成位移的函数。通过结点平衡条件，解出未知量，这种方法称为位移法，又叫刚度法。本文使用力法，不涉及位移法。第15页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.1】如图14.9(a)所示是车削工件安有尾顶针的简化模型。这是一次静不定，解除B端约束成悬臂梁(静定基，亦可解除左端转动约束，简化为简支梁)，B端加上多余约束支座反力为及外载荷F成相当系统[见图14.9(b)]。现求解相当系统中的未知多余约束反力。图14.9第16页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：在，作用下，悬臂梁的B端位移为其中，是由于C处作用有外载引起的B点在方向的位移[见图14.9(c)]，而是支反力引起的B点在方向的位移[见图14.9(d)]。因原系统B端是铰支座，在方向上不应有位移，与原系统比较知相当系统的B点的位移应为零，故(14-1)这就是变形几何方程或协调方程，为了得到一个补充方程(补充独立平衡方程不足)，在计算时，可在静定基上沿方向作用单位力[见图14.9(e)]，B点沿方向单位力引起的位移为，对线弹性结构应有第17页，共63页，2023年，2月20日，星期四代入式(14-1)有(14-2)表达式(14-2)就称为正则方程，其中，与可用莫尔积分或其他方法求得。,代入协调方程式(14-2)可解得求得后，则可解出相当系统所有内力、位移。此相当系统的解即原系统的解。第18页，共63页，2023年，2月20日，星期四现在来总结一下解题步骤：(1)分析超静定结构，画出基本静定系图，如图14.9(b)所示。(2)在静定基上分别画出已知力受力图，如图14.9(c)所示；与未知力方向对应的单位力图，如图14.9(e)所示。(3)计算、。(4)求解得未知的约束反力。第19页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.2】刚架尺寸及受力如图14.10(a)所示，若F、EI均为已知，试画刚架弯矩图。图14.1第20页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：(1)基本静定系如图14.10(b)所示。(2)正则方程：(3)计算和

BC段：

AC段：第21页，共63页，2023年，2月20日，星期四(4)画弯矩图。画弯矩图如下所示。第22页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.3】桁架尺寸、受力如图14.11(a)所示，若F、EA均为已知，试求各杆的内力。图14.11第23页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：(1)基本静定系如图14.11(b)所示。(2)正则方程：。(3)计算和。第24页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.4】梁抗弯度EI，杆拉压刚度EA为已知，，计算截面C的挠度。图14.12第25页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：这里为了说明方便，将图14.12中杆件编号为①②③，AB为梁。(1)基本静定系如图14.12(b)所示。(2)正则方程：。(3)计算和。因为所以第26页，共63页，2023年，2月20日，星期四(4)计算截面C的挠度。在静定基上C点加一单位力，则

由于杆1已断开

；第27页，共63页，2023年，2月20日，星期四若不断开杆1；梁中点受力直接用简支梁的公式第28页，共63页，2023年，2月20日，星期四可将上述思想推广到n次静不定系统，如解除n个多余约束后的未知多余约束力为，它们将引起作用点的相应的位移为，而原系统由于与外载荷共同作用对此位移限制为零(或已知)，故有(14-3)根据位移互等定理有(14-4)称为柔度因数，是引起的作用点方向上的位移；是外载荷引起的处的相应位移。式(14-3)称为静不定力法正则方程，它们是对应于n个多余未知力的变形协调条件，是求解静不定问题的补充方程。第29页，共63页，2023年，2月20日，星期四下面以图14.13为例说明各因数的物理意义。图14.13第30页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.5】如图14.14(a)所示为一静不定刚架，设刚架相同，求支座反力。图14.14第31页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：如图14.14(a)所示为三次静不定结构，解除B端约束，代之以多余约束反力，，，图14.14(b)为相当系统，按式(12-3)，、均可用莫尔定理计算，即有第32页，共63页，2023年，2月20日，星期四将以上值代入式(14-3)，整理后得解此联立方程，求出其中，负号表示与所设方向相反，应向下。求出多余约束力，即求出了支座B的支座反力，进一步即可作出内力图。第33页，共63页，2023年，2月20日，星期四●

14.3对称及对称性质的利用利用结构上载荷的对称或反对称性可使正则方程得到一些简化。结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构[见图14.15(a)]。当在对称结构上受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形[见图14.15(b)]。如外力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形[见图14.15(c)]。与此相似，杆件的内力也可分成对称和反对称的。例如平面结构的杆件的横截面上一般有剪切力、弯矩和轴向力即三个内力(见图14.16)。对所考察的截面来说弯矩M和轴向力是对称的内力，剪切力则是反对称的内力。第34页，共63页，2023年，2月20日，星期四图14.16图14.15正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程。如对称变形对称截面上[见图14.15(b)]，反对称内力等于零或已知；反对称变形[见图14.15(c)]反对称截面上，对称内力M为零或已知。第35页，共63页，2023年，2月20日，星期四●14.3.1对称问题以图14.17(a)对称变形为例，切开结构对称截面，此为三次超静定，应有三个多余未知力，即轴向力，剪切力与弯矩，则可证明其反对称内力应为零，正则方程为①②③图14.17第36页，共63页，2023年，2月20日，星期四用积分法计算及时，所要用的载荷弯矩图以及=1，=1，=1时的弯矩图分别见图14.17(b)、(c)、(d)、(e)，其中，，均对称于对称轴，而反对称于对称轴。由莫尔积分知，对称函数与反对称函数相乘在区间积分应为零，即有将此结果代入①、②、③，此时图14.17的正则方程为(14-5a)(14-5b)(14-5c)从式(14-5b)可知，=0，在对称的结构上受对称的载荷作用时，在对称截面上，反对称的内力等于零。以后在解题时可作为已知条件用。这就是说利用对称性可减少求解方程的个数，这是讲解本节的目的。第37页，共63页，2023年，2月20日，星期四●14.3.2反对称问题以图14.18(c)为例，在对称面切开后，其多余未知力也是，与，同上类似证明，其对称内力与应等于零，只需一个协调方程，即可解出，即有图14.18第38页，共63页，2023年，2月20日，星期四将此结果代入式①、②、③，此时图14.18的正则方程为由式(14-6b)得，由式(14-6a)、式(14-6c)得。在对称的结构上受反对称的载荷作用时，在对称截面上，对称的内力等于零。同理以后在解题时可作为已知条件用。(14-6a)(14-6b)(14-6c)第39页，共63页，2023年，2月20日，星期四●14.3.3既非对称也非反对称问题

对于某些载荷既非对称，也非反对称，可将它们化为对称和反对称两种情况的叠加，如图14.19所示。载荷作用在对称轴上的情形如下。

图14.19第40页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.6】如图14.20(a)所示，AB为刚性杆受力F，求各杆的内力。图14.20解：首先将图14.20(a)简化到图14.20(b)，这样就可将问题简化成对称和反对称问题。单独有力F作用时为对称问题，单独有力偶M作用时为反对称问题。对称问题：反对称问题：

第41页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.7】已知抗弯刚度为EI，半径为R的圆环，直径CD方向受一对力F[见图14.21(a)],求圆环内弯矩M。图14.21第42页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：(1)超静定次数：封闭圆环为三次超静定。在C处截开，则有三个多余未知力：弯矩，轴向力，剪切力。(2)对称性：直径CD为一对称轴，对称截面C上剪切力为零，对称截面D上弯矩和轴力与截面C上相等。由竖直方向力的平衡可得。故只有弯矩未知[见图14.21(c)]。(3)根据对称性，选1/4半圆环为静定基，作用于1/4圆环的力如图14.21(c)所示，则协调条件应是D截面在F及弯矩作用下转角应为零(由对称性可知)，所以有④(4),的计算。静定基上施加外力F如图14.21(d)所示，单位力偶如图14.21(e)所示，用莫尔定理求与。由单位力偶引起的弯矩

由外力引起弯矩的第43页，共63页，2023年，2月20日，星期四故有

(5)求未知力。由式④得(6)圆环内弯矩M为第44页，共63页，2023年，2月20日，星期四●

12.4连续梁及三弯矩方程

为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座[见图14.22(a)]，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为连续梁。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束。中间支座数就是连续梁的超静定次数。图14.22第45页，共63页，2023年，2月20日，星期四对连续梁采用下述记号：从左到右把支座依次编号为0，1，2，…[见图14.22(a)]，把跨度依次编号为，，，…。设所有支座在同一水平线上，并无不同沉陷。且设只有支座0为固定铰支座，其余皆为可动铰支座。这样，如梁只有两端铰支座，它将是两端简支的静定梁。于是增加一个中间支座就增加了1个多余约束．静不定的次数就等于中间支座的数目。连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。第46页，共63页，2023年，2月20日，星期四图14.23第47页，共63页，2023年，2月20日，星期四如果设想将每个中间支座上的梁切开[见图14.23(a)]，并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基，这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩，，…，，，作为多余约束力[见图14.23(b)]，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其相应的位移是两侧截面的相对转角。于是多余约束处的变形协调条件是梁中间支座处两侧截面的相对转角为零。如对中间任一支座i来说[见图14.23(a)]，其变形协调条件为(14-7)方程式(14-7)中只涉及三个未知量，，。，，及可用莫尔积分来求。第48页，共63页，2023年，2月20日，星期四(1)求。静定基上只作用外载荷时[见图14.23(b)]，跨度上弯矩图为，跨度上弯矩图为[见图14.23(c)]。当时，跨度和内弯矩分别为,由莫尔积分得式中，是外载单独作用下，跨度内弯矩图的微面积[见图14.23(c)]，而是弯矩图面积对左侧的静矩，如以表示跨度内弯矩图面积的形心到左端的距离，则。同理，表示外载荷单独作用下，跨度内弯矩图面积的形心到右端的距离，则。第49页，共63页，2023年，2月20日，星期四于是有式中，第一项可看作是跨度右端按逆时针方向的转角，第二项看作跨度按顺时针方向的转角。两项和就是铰链i两侧截面在外载荷单独作用下的相对转角。(2)，，的计算。当n支座铰链处作用有时，用莫尔积分有而，也可类似求得第50页，共63页，2023年，2月20日，星期四(3)三弯矩方程。将，，，代入式(14-7)得三弯矩方程(14-8)式中，i代表任一支座，如i=1，2，…，n，则可得到n个联立方程，解个中间支座多余力，，…，，此n个联立方程中每个方程只涉及三个多余力，求解比较方便。第51页，共63页，2023年，2月20日，星期四【例14.8】如图14.24所示左端z为固定端，右端为自由端的连续梁受力作用，其抗弯刚度为，试用三弯矩方程求解B、C、D处的弯矩。图14.24第52页，共63页，2023年，2月20日，星期四解：为能应用三弯矩方程，将固定端视为跨度为无限小()的简支梁AB，而外伸端的载荷可向支座D简化，得一力F与弯矩，原结构[见图14.24(a)]变化为图14.24(b)。将A、B、C、D四处支座处分别用0、1、2、3表示，则对1、2两支座应用三弯矩方程式(14.8)，并将，，，代入得

得,,第53页，共63页，2023年，2月20日，星期四

14-1什么叫多余约束？选定多余约束的原则是什么？如何确定超静定结构的超静定次数？14-2什么叫基本结构？它所要求满足的唯一条件是什么？14-3什么叫相当系统？在什么条件下，相当系统同原超静定系统完全等价？相当系统的主要性质是什么？14-4力法正则方程的物理意义是什么？是否可以说力法的实质是叠加法？为什么？14-5试举例说明力法正则方程中自由项和系数的物理意义。14-6试举例说明：对同一个超静定结构，可以取得几个不同的基本结构。14-7对称结构受对称载荷时，在沿其对称轴所截取的截面上内力和位移有何特点？受反对称载荷作用时，又有何特点？怎样利用这些特点使计算得以简化？14-8什么叫内超静定？如何区分外超静定结构和内超静定结构？分析这两种问题的方法有何异同？

思考题第54页，共63页，2023年，2月20日，星期四习题如图14.25所示结构中梁ABC的两端固定，在点B刚好与圆环接触，圆环下方为光滑刚性平面。在图示载荷作用下，多余约束力的个数有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。(A)5个(B)6个(C)7个(D)8个图14.2514-1第55页，共63页，2023年，2月20日，星期四14-2图14.26如图14.26所示结构中，已知载荷情况。这时利用对称性或反对称性，结构的未知约束力个数有如下四种答案，试判断哪一种是正确的。(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个第56页，共63页，2023年，2月20日，星期四14-3图14.27关于求解图