葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题含解析辽宁省葫芦岛市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理）试题第I卷（选择题,共60分）一､选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一顶是符合题目要求的．1.复数z满足,则复数（）A。 B。 C. D。【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意得:本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算、共轭复数的定义，属于基础题。2.设集合,则（）A. B。C. D。【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，再利用集合的并集运算进行求解.【详解】；，。故选：A。【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题。解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.3。已知向量，且，则（）A。 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标公式，即可求得。【详解】，，，,解得,故选：C。【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属于基础题.一般地,如果，，若，则.4。某地区甲､乙､丙､丁四所高中分别有120，150，180，150名高三学生参加某次数学调研考试,为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案:方案①；从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析：方案②:丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试看进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是（）A.分层抽样法､系统抽样法 B.分层抽样法､简单随机抽样法C。系统抽样法､分层抽样法 D。简单随机抽样法､分层抽样法【答案】B【解析】【分析】根据分层抽样和简单随机抽样的定义进行判断即可。【详解】①四所学校，学生有差异，故①使用分层抽样;②在同一所学校，且人数较少，所以可使用简单随机抽样.故选：B.【点睛】本题考查的是抽样方法的选取问题,属于基础题。（1)系统抽样适用于总体容量较大的情况.将总体平均分成若干部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，在起始部分抽样时采用简单随机抽样；（2）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的.将总体分成互不交叉的层，然后分层进行抽取,各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样;（3）简单随机抽样适用于样本容量较小的情况，从总体中逐个抽取.5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量的值，可发现周期为，即可得到，，，此时输出.【详解】,.,.，.，.，.可发现周期，,，。此时输出故选：【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是是解决本题的关键,属于简单题。6.某校在高二年级开设选修课，选课结束后,有6名同学要求改选历史，现历史选修课开有三个班，若每个班至多可再接收3名同学,那么不同的接收方案共有（）A.150种 B.360种 C。510种 D.512种【答案】C【解析】【分析】根据题意，分三种情况讨论：①其中一个班接收1名,一个班接收2名，一个班接收3名；②三个班各接收两名；③其中一个班不接收，另两个班各接收3名，分别求出每类情况的分配方法的种数,由分类计数原理计算可得答案。【详解】依题意，分三种情况讨论:①其中一个班接收1名,一个班接收2名，一个班接收3名，分配方案共有种；②三个班各接收两名,分配方案共有种;③其中一个班不接收，另两个班各接收3名，分配方案共有种。因此,满足题意的不同的分配方案有种.故选：C.【点睛】本题主要考查的是排列与组合的问题,属于中档题.解答排列、组合中的一些较复杂的问题，常用分类讨论思想，讨论时，要注意不重复不遗漏。对于排列、组合问题中的分组与分配问题，可以分组后再分配。常见的分组问题有三种：（1）完全均匀分组，每组的元素个数均相等；（2）部分均匀分组，应注意不要重复，若有组均匀，最后必须除以；（3）完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.7。“”是“直线与圆相切”的（）A.充分而不必要条件 B。必要而不充分条件C。充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析】根据直线与圆相切的等价条件求出值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离,即，解得，所以“”是“直线与圆相切”的充分必要条件，故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，属于基础题。8。从标有数字1，2，3,4，5的五张卡片中，依次抽出2张（取后不放回）,则在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件表示“第一张抽到偶数”，事件表示“第二张抽取奇数”，分别求出和，利用条件概率计算公式即可求得结果.【详解】从标有1，2，3,4,5五张卡片中，依次抽出2张,设事件表示“第一张抽到偶数”，事件表示“第二张抽取奇数”，则，，在第一次抽到卡片是偶数的情况下，第二次抽到卡片是奇数的概率为，故选:C.【点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记条件概率的计算公式,属于基础题.事件发生的前提下，事件发生的概率，用公式可表示为.9.如图一几何体三视图如图所示，则该几何体外接球表面积是（)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图，可知该几何体为直三棱柱，求出的外接圆半径,借助勾股定理即可求出直三棱柱的外接球半径,从而得解。【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为直三棱柱，，，设的外接圆半径为，则，解得，所以,该几何体外接球的半径为，该几何体外接球的表面积为,故选：A.【点睛】本题考查的是由三视图还原几何体以及求几何体外接球的表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体,首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽。10.函数图象的大致形状是（）.A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】首先根据函数为偶函数，故排除B，D。再根据，排除A,即可得到答案。【详解】的定义域为，。所以为偶函数，故排除B，D.，故排除A.故答案为：C【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象,利用函数奇偶性和特值为解题的关键，属于中档题.11。已知F是双曲线：的右焦点，过点作垂直于轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点，若，记该双曲线的离心率为,则（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】由题意先求出点纵坐标，再列出的关系式求解即可。【详解】由题意得，，该双曲线的一条渐近线为,将代入得，所以，，即，所以，因此，，解得，故选：B.【点睛】本题考查的是双曲线的简单几何性质，渐近线以及离心率的求解，准确计算是求解本题的关键，属于基础题。12.关于的方程有四个不同的实数根,且,则的取值范围（）A. B.C. D。【答案】B【解析】【分析】由整理得，作出函数的图象,结合图象可得且，由求根公式可求出，，令,求出的单调性，即可得解。详解】由得，作函数的图象如下，故或，所以，，,有四个不同的实数根，，解得且，，令，则，令，解得,所以，函数在上单调递减，在上单调递增，而，，，故的取值范围为。故选：B.【点睛】本题考查的是利用导数求函数的取值范围，难度较大。导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据.求函数在某一区间的取值范围，关键是求出函数在这一区间的最大值与最小值,求解过程为:先利用导数研究函数的单调性，求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值.第II卷（非选择题，共90分）二､填空题:本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.被7除后的余数为__________．【答案】3【解析】【分析】先由，再按照二项式定理展开即可得出结果。【详解】显然，除了最后两项外，其余的各项都能被7整除,故除以7的余数为，故答案为：3.【点睛】本题主要考查的是二项式定理的应用，熟记二项展开式是解题的关键，属于基础题.14。设变量，满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】1【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出的最小值.【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示,因为，所以，显然直线过与的交点时，最小，，解得,此时，故答案为：1.【点睛】本题主要考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题。求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1)作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）;（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15。已知数列满足,为数列的前项和，则满足不等式的的最大值为__________．【答案】8【解析】【分析】由整理出是首项为12，公比为的等比数列,从而求出,再求出其前项和，然后再求出的表达式，最后代入数验证出的最大值即可。【详解】由得，，，，，是首项为12，公比为的等比数列，，即,，，验证知,当时，,时，，故不等式的的最大值为8。故答案为:8.【点睛】本题考查的是求等比数列的通项公式以及等比数列的求和问题,判断出数列为等比数列是本题的解题关键，有一定的技巧性,属于中档题。16。关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】通过参数分离,将表示成关于的式子，构造函数，再利用导数求出函数在定义域上的极值,从而得解。【详解】由,得,令，函数的定义域为，则,当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增。所以,，当时,，故实数的取值范围是。故答案为:.【点睛】本题考查的是利用导数求参数的取值范围问题，解题的关键是进行参数分离，属于中档题.求函数在某一区间的取值范围，关键是求出函数在这一区间的最大值与最小值，求解过程为：先利用导数研究函数的单调性,求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值.三､解答题：本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17。已知函数．(1）求的值和的最小正周期；（2）设锐角的三边，，所对的角分别为,,,且，，求的取值范围．【答案】（1)，；（2）．【解析】【分析】（1)将的解析式化简为，进而求得的值和最小正周期；（2）由可求出的值，再借助余弦定理和基本不等式，即可得出结果.【详解】（1）由题。，.所以，，的最小正周期为。（2），，所以,在中,由余弦定理可得：，解得，又因为在中，，所以，的取值范围是.【点睛】本题考查的是三角函数与解三角形的综合性问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、余弦定理以及基本不等式等，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题。18.如图，在三棱柱中，平面,，.（1）求证：平面;（2）求异面直线与所成角的大小；（3）点在线段上，且，点在线段上，若平面,求的值（用含的代数式表示）。【答案】(1)证明见解析(2)（3）【解析】【分析】（1）根据三棱柱的结构特征，利用线面垂直的判定定理,证得平面,得到，再利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；(2)由（1）得到，建立空间直角坐标系，求得向量，利用向量的夹角公式,即可求解.(3）由，得，设，得,求得向量的坐标，结合平面，利用，即可求解。【详解】（1）在三棱柱中，由平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，交线为。又因为,所以，所以平面.因为平面,所以又因为,所以，又，所以平面。（2)由(1）知底面，，如图建立空间直角坐标系，由题意得，,，。所以，。所以.故异面直线与所成角的大小为.（3）易知平面的一个法向量，由，得.设,得，则因为平面，所以，即，解得，所以.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解。19.2020年是具有里程碑意义的一年我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年．（总书记二O二O年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的下降至2018年的；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上;确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤．某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准,该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．（1）将家庭人均纯年收入不足5000元的家庭称为"特困户"若从这50户家族中再取出10户调查致贫原因，求这10户中含有"特困户"的户数X的数学期望；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表:月份/2019(时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现:家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2,3月份）每月的人均月纯收入人均只有2019年12月的预估值的,为加快脱贫进程，政府加大扶贫力度，拟从2020年3月份起,以后每月的增长率为，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活，则至少应为多少?(保留小数点后两位数字)；①可能用到的数据：②参考公式：线性回归方程中，【答案】（1）（户）;（2）【解析】【分析】(1）由频率分布直方图求出这50户家族中特困户的户数,服从超几何分布,利用超几何分布数学期望的计算方法即可得解；(2)分别计算的平均数，根据公式求得，得到回归方程，借助回归方程即可得到2020年第一季度该家庭人均月纯收入，求出从开始3月份到12月份的月纯收入之和，建立不等式,得到，通过求解不等式即可求出的最小值,从而得解.【详解】(1）由频率分布直方图可知，家庭人均年收入在元的家庭数为:户；家庭人均年收入在元的家庭数为:户；家庭人均年收入在元的家庭数为：户；家庭人均年收入在元的家庭数为:户；家庭人均年收入在元的家庭数为:户；家庭人均年收入在元的家庭数为：户；共计50户，其中家庭人均年收入不足5000元的特困户有：户，由题意:满足参数为50，23，10的超几何分布，所以户；即这10户中含有“特困户"的户数的数学期望为（户）。（2）由题意得：，，,所以:，,所以回归直线方程为：，令，则可知2019年12月份该家庭人均月纯收入为（元），所以，2020年第一季度该家庭人均月纯收入为（元），设从开始3月份到12月份的月纯收入之和为，则由题意应有：,即：，显然是以为自变量的增函数，①当时,显然成立,②当时,，（舍）或，所以，为了使2020年该家庭顺利迈入小康生活,则至少应为；【点睛】本题考查了频率分布直方图，求解回归方程,利用回归方程求解预估值问题，其中涉及到等比数列的求和公式以及解不等式等知识点，考查了学生的数据处理能力，对于学生的运算求解能力有一定的要求，难度较大.20.已知椭圆：离心率是分别是椭圆的左､右焦点,过作斜率为的直线，交椭圆于，两点，且三角形周长(1）求椭圆的标准方程;（2）若直线分别交轴于不同的两点,．如果为锐角，求的取值范围．【答案】（1）；(2)．【解析】【分析】(1）根据题意及椭圆定义，并借助,即可求得椭圆的标准方程;（2)设出直线方程，点和点坐标，并与椭圆方程联立,借助根与系数的关系表示出和,列出直线和的方程求出点和点坐标,利用向量数量积的坐标表示求出，将和的式子代入并化简，再根据为锐角，即可得解。【详解】(1）由题意,椭圆的离心率是，三角形周长,可得，，解得，,,所以椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率不为0，设直线的方程为,直线与椭圆的交点为，，由得，，①直线的方程为,令，则，同理可得，所以将①代入并化简，得，因为为锐角，所以，即，解得或。所以,直线的斜率的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系，其中涉及到向量数量积的坐标表示和不等式的求解，属于中档题.解决直线与圆锥曲线的位置关系的题型时，要注意韦达定理的应用。21.已知函数．（1）若在处的切线的方程为，求此时的最值；（2）若对任意，，不等式成立,求实数的取值范围．【答案】（1），无最小值;（2）【解析】【分析】(1）先对函数进行求导，由求出值，再根据导函数的零点进行分类讨论，求出函数的单调性,从而得解；(2)由得，构造函数，通过求导,求出的最小值，从而得到，即，再构造函数,通过求导，讨论的单调性，利用的最大值小于0，从而得出结果.【详解】(1)由得，令得：，由题意:,解得,所以，，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，因此，，无最小值。（2)，令，，在上单调递增，，,令,,,,，①当，即时,,在上单调递增，若使恒成立,只需，即，解得，所以,；②当，即时，，在上单调递减，若使恒成立，只需，即，合题意;②当，即时,令,解得:，由得：，由得:，所以，在上单调递增，在上单调递减，，，即，解得，又，所以合题意综上,的取值范围为。【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值和参数的取值范围问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法。（1）函数的最大值与最小值：在闭区间上连续的函数，在上必有最大值与最小值;但在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值;（2）求最大值与最小值的步骤：设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下：①求在内的极值；②将的各极值与,比较,其中最大的一个是