2016年高考数学(理)一轮复习导学案65

#/8的值为 课堂活动展突破考点研析热点的值为 课堂活动展突破考点研析热点学案65二项式定理导学目标：1.能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.回扣教材夯实基础【自主梳理】1.二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a+b)n=C0an+C1an-1b1H HCkan-kbkH HCnbn(n£N*),这个公式叫做. " " n n①二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.②项数：二项展开式中共有项.③二项式系数：在二项展开式中各项的系数(k=)叫做二项式系数.④通项：在二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用T表表示，k+1即通项为展开式的第k+1项：T= .k+12.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数、相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数和：C0+C1+C2H——HCn=,C0+C2+CnH——HC偶=O+C3+C5H——HQ= " :nn nnnnnnn n【自我检测】（2011.福建）（1H2%）(2011・山东)若(%-空)(2011・山东)若(%-空)6展开式的常数项为60,则常数%2(2011.烟台期末)已知n为正偶数，且Q2-9n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是 .(用数字作答)A.80B.40 C.20D.10（2011•陕西）（4%-2-%）6（%£R）展开式中的常数项是（）A.-20 B.-15 C.15 D.20（%—“5y）10的展开式中%6y4项的系数是（）A.840 B.-840C.210 D.-210 ,2— ,2—（2010・四川）2I6的展开式中的第四项是探究点一二项展开式及通项公式的应用【例1】已知在13%-j%)n的展开式中，第6项为常数项.⑴求n；(2)求含%2的项的系数；⑶求展开式中所有的有理项.变式迁移1(2010•湖北)在(%+43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有项.探究点二二项式系数的性质及其应用【例2(1)求证：C1H2C2H3C3H——HnCn=n-2n-1；

(2)求S=C27+C27+„+C27除以9的余数.变式迁移2探究点三(2011•上海卢湾区质量调研(2)求S=C27+C27+„+C27除以9的余数.变式迁移2探究点三2n 2n 2n 2n求系数最大项【例3】已知f(x)=(3X2+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.⑴求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项.变式迁移3(1)在(x+y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于()A.13,14 B.14,15C.12,13 D.11,12,13(2)已知Q+2x)n,(i)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ii)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.课堂小结.二项式系数与项的系数是不同的，如3+bx)n5,b£阳的展开式中，第r+1项的二项式系数是Cr，而第r+1项的系数为Cran-b..通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.在运用公式时要注意：Cnan-rbr是第r+1项，而不是第r项..在(a+b)n的展开式中，令a=b=1,得C0+C1+…+勺=2n；令a=1,b=-1,得C0-C1+C2-C3+„=O,「.C0+C2+C4+„=C1+C3+C5+„=2n-1,这种由一般至？痔殊的方法是“赋值法”.nnnnnn.二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0=Cn, C1=Cn-1, C2= Cn-2,…，Cr =Cn-r.(2)如果二项式的幂指数是nn nn nn nn偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大.课后练同区精题精练规范答题.二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，Ix比较小时，(1+x)n=1+nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧.课后练同区精题精练规范答题(满分:75分)一、选择题(每小题5分，共25分)c24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(2011•24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有I)TOC\o"1-5"\h\zA.3项 B.4项 C.5项 D.6项(2011.重庆)(1+3x)n(其中nGN且n三6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于()A.6 B.7C.8 D.9cx_q(2011・黄山期末)在2—3「n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式VJ中常数项是()A.-7 B.7 C.-28 D.28^(2010.烟台高三一模)如果「x3口jn的展开式中二项式系数之和为128,则展开式中』的系数是()x3

A.7 B.—7 C.21D.—21在(1—X)5+(1—%)6+(1—%)7+(1—%)8的展开式中，含13的项的系数是( )A.74B.121 C.—74 D.—121二、填空题(每小题4分，共12分)(2011・湖北)(%—北户8的展开式中含%15的项的系数为.(结果用数值表示)(2011・济南高三模拟)已知q=f(sint+cost)dt,则Q—?6的展开式中的常数项为0.(1+%+12)0的展开式中的常数项是 .三、解答题(共38分)(12分)(1)设(3%—1)4=a0+a1%+a2%2+a3%3+a4X4.①求a0+a1+a2+a3+a4；②求a0+a2+a4；③求a1+a2+a3+a4；(2)求证：32n+2—8n—9能被64整除(nGN*).(12分)利用二项式定理证明对一切nGN*,都有2W(1+n|n<3.(14分)(2011・泰安模拟)已知(&—2)n(nGN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1.(1)求展开式中各项系数的和；3(2)求展开式中含%2的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.学案65二项式定理自主梳理TOC\o"1-5"\h\z1.(1)二项式定理②n+1③Ck0,1,2,…，n④Cka—此n nn n+1 n-1Ckan-kbk2.(1)等距离(2)C2C2C2n n n n(3)2n2n—12n—1自我检测B[(1+2%)5的第r+1项为T+1=C5(2%)r=2rC5%r,令r=2,得%2的系数为22(5=40.] r+C[设展开式的常数项是第r+1项，则T++1=C](4%)r•(-2-%)6-j即Tr+1=C6-1)6-r•22r%.2r%-6%=C6^(-1)6-r.23r%-6%,」.3r%-6%=0恒成立.」.r=2,「.T3=C6.(T)4=15..,.选C.]A4.4.—V%.4解析(%-$)6展开式的通项为T+1=C6%6-r(-1)r•(\[a)r•%-2r=C6%6-3r(-1)r•(y[a)r.令6-3r=0,得r=2.故C2(\a))2=60,解得a=4..-2课堂活动区【例1】解题导引(1)通项T1=Cran-rbr是(a+b)n的展开式的第r+1项，而不是第r项；二项式系数与项的系数是完叁不同的两个概念，二项式系数是指Cr,r=0,1,2,„,n,

与。,b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分.(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项.解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解.若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致.n-r(Jr解(1)通项公式为Tr.「CnX3OrX.(1 联-2r=Cnl-2JrX3，n22r因为第6项为常数项，所以r=5时，有—3-=0,即n=10.,n-2r 1 1(2)令-3-=2,得r=2(n-6)=]X(10-6)=2,所求的系数为4[-2)2=45.⑶根据通项公式，<由题意得10-2⑶根据通项公式，<由题意得10-2r-3£Z,0Wr<10,r£N.,10-2r 一令—3-=k(k£Z),则10-2r=3k,即r=5-2k，：r£N,「.k应为偶数.」.k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C20(-1)2X2,%(-95,%(-2)8X2.变式迁移16解析展开式的通项T+1=C%.x20r•(43y)rr=C20.x20-r•yr•34.r一一由0<r<20,4£Z得r=0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项.【例2解题导引(1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如c0=cn=cn+1,cn=Cn-k,kCk=nCk-1等式子的变形技巧；n(2)利用二项'式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式.求余数问题时，应明确被除式fx)、除式g(x)[g(x)刈]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围.⑴证明方法一设S=C1+2C2+3Cn+„+(n-DCn-1+nCn，①TOC\o"1-5"\h\z」.S=nCn+(n-1)Cn-1+(n-2)Cn-2+„+2C2+O” ”n n n n n=nC0+(n-1)C1+(n-2)C2+„+2Cn-2+Cn-1,②n n n n n①+②得2S=n(Cn+C1+Cn+„+Cn-1+Cn)=n-2n.」.S=n-2n-1.原式得证.方法二―(n-1)! =Ck-1(k-1)!(n-k)! n-1'

.,.左边=nC0_1+nC1_1+ +nC\:J=n（Co,+C［，++Cn：1）=n.2：1=右边.n：1 n：1 n：1（2）解S=C；7+C27++C27=227：1=89：1=（9：1）9：1=C0X99：C1X98+ +C9X9：C9：1=9（C0X98：C9X97+ +C9）：2=9（C0X98：C9X97+ +C9：1）+7,显然上式括号内的数是正整数.故S被9除的余数为7.变式迁移2解（1+%）2n=C0n+C2X+C2X2+C3X3+ +C2nx2n.TOC\o"1-5"\h\z令X=1得CO+C1+ +C2n：1+C岁=22n； ” "2n 2n 2n 2n再令X=：1得CO：C1+C2： +（：1）rC2+ ：C2n：1+C2n=0.两式相加，再用s=1： " nnnn 22n得C2+C4++C2n=V：1=22n：1：1.2n 2n 2n2【例3】解题导引（1）求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项［第（2+1）项］的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项［第审项与第(n+a+11项］的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(。+bX)n(a,b£刈的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法.设展开式各项系数分别为&,A2,,An+1，且第r+1项系数最大，应用<“：Ar1解出r来，即得系数最大的项.〔Ar三Ar+1解(1)令X=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n：2n=992.(2n)2：2n：992=0,「.(2n+31)(2n：32)=0,」.2n=：31(舍)，或2n=32,.n=5.由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3=C5（2）展开式的通项公式为Tr+1=C53r.x3（5+2r）.假设Tr+1项系数最大，则有假设Tr+1项系数最大，则有5!（5：r）!r!5!C53rNC5：1-3r：1〕C53rNC5+1-3r+15!（6：r）!（r：1）!,5!（5：r）!r!（4：r）!（r+1）!**•:7Wr<2,vr£N,」r=4.变式迁移3(1)D[(1)分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n=12;②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n=11;③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n=13,所以n的值可能等于11,12,13,故选D.](2)解(i)：C4+C6=2C5,「.n2-21n+98=0.••・n=7或n=14,Wn=7n时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.二T4的系数为C71423=35，T5的系数为C4(j)324=70,当n=14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8.二T8的系数为C74(2)727=3432.(ii);C0+Ci+C2=79,「.n2+n-156=0.」.n=12n或/=-13(舍去).设T+1项的系数最大，C24kNC1214k-1,

Ck24kC24kNC1214k-1,

Ck24kNC1+14k+1.」.9.4Wk<10.4.「.k=10.」.展开式中系数最大的项为T11,T11=82c10410x10=16896x10课后练习区cB[(1+3x)n的展开式中x5的项为C5(3x)5=C535x5,展开式中含x6的项为C636x6,由两项的系数相等得cn-35=C,36,解得n=7.]n nB4.C5.D" ”17解析二项展开式的通项为Tr+1=Cr8x18r(-31x)r=(-1)r(1)rCr8x18-2.令18-3r=15,解得r=2.」.含x15的项的系数为(T)2(3)2C；8=17.4351解析(1+x+七)10=[(1+x)+x2_10=C00d+x)10+C10d+x)91+C20d+x)8x+C；0(1+x)71+C40d+x)6]+…，从第五项C40(1+x)6x8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C00XCO0,C10XC2,cO0XC8,C30XC7.故原三项展开式中常数项为C00C00+C10C2+C20C8+C30C6=4351.(1)解 ①令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16.(2分)②令)x=1-1得,3 4a0-a1+a2-a3+a4=(-3-1)4=256,而由(1)知a0+a1+a2+a3+a4=(3-1)4=16,两式相加，得a0+a2+a4=136.(4分)

③令％=0得a0=(0-1)4=1,得a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0=16-1=15.(6分)(2)证明 .•・32n+2-8n-9=32-32n-8n-9=9-9n-8n-9=9(8+1)n-8n-9=9(C08n+C18n-1+ +Cn-1-8+Cn-1)-8n-9TOC\o"1-5"\h\z(8分)"" " "=9(8n+C18n-1+ +Cn-282)+9-8