数学高三级月考试题及其详细解答

试卷类型：A广州市第X中学200X届高三级X月月考试题数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分；满分150分；考试时间120分钟。第一部分选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1、设集合A=，B=，则（）A、B、C、D、2、若函数，则（）A、0B、1C、2D、3、已知直线，平面，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若异面直线互相垂直，则存在过的平面与垂直。其中正确的命题是（）A、②③B、①③C、③④D、②④4、的值等于（）A、0B、1C、D、不存在5、函数的定义域为（）广州三中高三10月月考数学试卷第1页（共4页）A、B、C、D、AADCBAD⊥平面DBC，BD⊥DC，AD=，BD=DC=，则二面角A—BC—D的大小为（）A、30°B、45°C、60°D、75°7、已知向量，且，则一定共线的三点是（）A、A、B、CB、A、B、DC、B、C、DD、A、C、D8、在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（）A、33B、72C、84D、1899、D1C1A1B1GD1C1A1B1GEDCAFB则异面直线A1E与GF所成的角是（）A、B、C、D、10、是定义在R上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间内的解的个数的最小值是（）A、2B、3C、4D、5广州三中高三10月月考数学试卷第2页（共4页）第二部分非选择题（共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）11、已知向量，且，则。12、已知函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于。13、已知数列对一切满足，则=。14、把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图象与的图象关于对称，则函数=。（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能情形。）三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程。）15、（本题共12分）已知是等差数列，其前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，证明是等比数列，并求其前项和。A1D1B1C1EFA1D1B1CEFADBC（1）若BE⊥B1C，求证：A1C⊥平面EBD；（2）若E为CC1的中点，求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦。广州三中高三10月月考数学试卷第3页（共4页）17、（本题共13分）定义在R上的函数满足,且当时，.（1）求在[1，5]上的表达式；（2）若,且A，求实数的取值范围.PFPFADEBC（1）求证：AF//平面PCE；（2）若二面角P–CD–B为45°，求二面角E–PC–D的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离。19、（本题共14分）已知成等差数列。又数列中，，此数列的前n项和对所有大于1的正整数n都有。（1）求数列的第项；（2）若是的等比中项，且为的前n项和，求。20、（本题共15分）已知二次函数当时有极值，函数图象过点，且在该点处的切线与直线垂直。（1）求的解析式；（2）若，求的单调减区间；（3）设，若对任意实数在和上都是增函数，求与的取值范围。广州三中高三10月月考数学试卷第4页（共4页）广州市第X中学200X届高三级X月月考答卷数学客观分二151617181920主观分总分姓姓名二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）11、；12、；13、；14、、。三、解答题（本大题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推证过程。）学号15、（本题共12分）已知是等差数列，其前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，证明是等比数列，并求其前项和。学号班别广州三中高三10月月考数学答卷第1班别A1D1A1D1B1CEFADBC座位表AC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连结B1C，E为棱CC1上一点，连结BE，交B1C于F。（1）若BE⊥B1C，求证：A1C⊥平面EBD；（2）若E为CC1的中点，求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦。广州三中高三10月月考数学答卷第2页（共6页）17、（本题共13分）定义在R上的函数满足,且当时，.（1）求在[1，5]上的表达式；（2）若,且A，求实数的取值范围.广州三中高三10月月考数学答卷第3页（共6页）PPFADEBC垂直矩形ABCD所在平面，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF//平面PCE；（2）若二面角P–CD–B为45°，求二面角E–PC–D的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离。广州三中高三10月月考数学答卷第4页（共6页）19、（本题共14分）已知成等差数列。又数列中，，此数列的前n项和对所有大于1的正整数n都有。（1）求数列的第项；姓名姓名学号班别广州三中高三10月月考数学答卷第5页（共6页）座位号20、（本题共15分）已知二次函数当时有极值，函数图象过点，且在该点处的切线与直线垂直。座位号（1）求的解析式；（2）若，求的单调减区间；（3）设，若对任意实数在和上都是增函数，求与的取值范围。广州三中高三10月月考数学答卷第6页（共6页）广州市第X中学200X届高三级X月月考数学参考答案一、选择题（共50分）题号12345678910答案DACBACBCDD二、填空题（共20分。）11、1；12、13；13、；14、如：①x轴、；②y轴、；③原点、；④直线、等。三、解答题15、（本题共12分）已知是等差数列，其前项和为，已知，（1）求数列的通项公式；（2）设，证明是等比数列，并求其前项和。解：（1）设数列的公差为，依题意，得：…（2分）解得：……………（4分）…………（6分）（2），……………（7分）是公比为8的等比数列……………（9分），……………（10分）……………（12分）zAzA1D1B1CEFADyBCxAC1中，棱AB=BC=1，棱BB1=2，连结B1C，E为棱CC1上一点，连结BE，交B1C（1）若BE⊥B1C，求证：A1C⊥平面EBD；（2）若E为CC1的中点，求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦。（1）法一、连结AC，则AC⊥BD，∵AA1⊥平面ABCD，∴AC是A1C内的射影，∴A1C⊥BD………………（2分）又∵A1B1⊥平面B1C1CB，∴B1C是A1C在平面B1C1CB内的射影，由BE⊥B1C，得A1C⊥BE。……………（4分）又，∴A1C⊥平面EBD；……………（6分）法二、以A为原点AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系。则，设，……（1分）则……………（2分）由BE⊥B1C，，。…（3分），∴A1C⊥BD，A1C⊥BE，……又，∴A1C⊥平面EBD；……………（6分）（2）设是平面A1B1C的法向量，则，故，取，……（8分）又若E为CC1的中点，故。……………（9分）设求直线DE与平面A1B1C所成角为，则，……………（11分）即直线DE与平面A1B1C所成角的正弦为。……………（12分）17、（本题共13分）定义在R上的函数满足,且当时，.（1）求在[1，5]上的表达式；（2）若,且A，求实数的取值范围.解：∵f(x+2)=-－f(x),x∈R，∴f(x)=－f(x－2).……………（1分）当x∈[1，3]时，x－2∈[－1,1],∴f(x)=－f(x－2)=－(x－2)3=(2－x)3.……（3分）又f(x)=－f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是以4为周期的函数.………………（4分）当x∈[3，5]时，x－4∈[－1,1],f(x)=f(x－4)=(x－4)3.………………（6分）…………（7分）（2）当当x∈[3,5]时，y=f(x)=(x－4)3,∴y∈[－1,1],∴f(x)在[1，5]上的值域为[－1,1].…………（9分）又f(x)是以4为周期的函数，∴当x∈R时，f(x)∈[－1,1]……（11分）∴当a<1时，存在x使f(x)>a，故a的取值范围为a<1.………（13分）PzPzFAGDyEMBxC18、（本题共14分）如图所示，PA垂直矩形ABCD所在平面，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF//平面PCE；（2）若二面角P–CD–B为45°，求二面角E–PC–D的大小；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=3，求点F到平面PCE的距离。法一、（1）取AC的中点G，联结GF、EG。…………（1分）∵E、F分别是AB、PD的中点，又四边形ABCD为矩形，∴，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF//EG。…………（3分）又平面PCE，平面PCE，∴AF//平面PCE。…………（5分）[或]取CD的中点M，联结AM、FM。∵E是AB的中点，又四边形ABCD为矩形，，∴四边形AECM为平行四边形，∴AM//CE。又F是PD的中点，∴，…………（2分）又AM平面AFM，FM平面AFM，且；CE平面PCE，PC平面PCE，∴平面AFM//平面PCE，…………（4分）又AF平面AFM，∴AF//平面PCE，…………（5分）（2）由PA⊥平面ABCD，得AD为PD在平面ABCD内的射影，又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，∴∠PDA=45°，…………（6分）又PA⊥平面ABCD，故PA⊥AD，F是PD的中点，∴AF⊥PD，由CD⊥AD，CD⊥PD，得CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，又，∴AF⊥平面PCD，…………（8分）∵AF//EG，∴EG⊥平面PCD，…………（9分）又平面PCE，∴平面PCE⊥平面PCD，∴二面角E-PC-D的大小为90°。…………（10分）（3）过F作FH⊥PC于H，∵平面PCE⊥平面PCD，又FH平面PCD，∴FH⊥平面PCE，∴FH为点F到平面PCE的距离。…………（11分）易知∽，，…………（12分）由PA⊥AD，∠PDA=45°，AD=2，知PD=，PF=。又CD=3，∴PC=。。∴点F到平面PCE的距离为。…………（14分）法二、（1）以A为原点，AB、AP、AD所在的直线为坐标轴建立直角坐标系，则A（0，0，0），设，则，则。…………（2分），//平面PCE，…………（4分）又平面PCE，∴AF//平面PCE。…………（5分）（2）由PA⊥平面ABCD，得AD为PD在平面ABCD内的射影，又四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角，∴∠PDA=45°，…………（6分），设为平面PCE的法向量，则取；（7分）设为平面PCD