高一数学竞赛选拔赛试题

高一数学竞赛选拔赛试题选择题1.化简得（）ABCD2．已知集合，则下列正确的是（）A．B.C.D.3．当时，，则下列大小关系正确的是（）A．B.C.D.4.设圆的方程为，直线的方程为()，圆被直线截得的弦长等于()(A)(B)(C)(D)与有关5.函数是()(A)周期为的偶函数(B)周期为的奇函数(C)周期为的偶函数(D)周期为的奇函数6.设函数的定义域为，的解集为，的解集为，则下列结论正确的是（）(A)(B)(C)(D)7.已知为三条不同的直线，且平面，平面，．(1)若与是异面直线，则至少与、中的一条相交；(2)若不垂直于，则与一定不垂直；(3)若∥，则必有∥；(4)若，，则必有．其中正确的命题的个数是()(A)(B)(C)(D)8.函数对于任意的恒有意义，则实数的取值范围是()(A)且(B)且(C)且(D)二、填空题9．已知，则。10．已知A、B是半径为5的圆O上的两个定点，P是圆O上的一个动点，若AB=6，设PA+PB的最大值为，最小值为，则的值为。11．已知全集U=，集合M=，集合N=，则集合=。12．高一年级某班的部分同学参加环保公益活动---收集废旧电池，其中甲组同学平均每人收集17个，已组同学平均每人收集20个，丙组同学平均每人收集21个。若这三个小组共收集了233个废旧电池，则这三个小组共有个学生。13．代数式的最小值为。14．设5长方体的一个表面展开图的周长为，则的最小值是。15．定义在上的函数满足：，则16.已知函数，若，则实数组成的集合的元素个数为.17.已知关于的方程（）无实根，则的取值范围是.18.关于的不等式的解集为，集合，若，则实数的取值范围是.三．解答题20.圆的方程是，点是圆上一个动点，点是关于点的对称点，点绕圆心按逆时针方向旋转后所得的点为，求当点在圆上移动时，点、之间距离的最大值和最小值．21.设函数的定义域是，且对任意都有．若对常数，，判断在上的单调性；22.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：[1]对任意的，总有；[2]；[3]若，，且，则有成立，并且称为“友谊函数”，请解答下列各题：(1)若已知为“友谊函数”，求的值；(2)函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.(3)已知为“友谊函数”，假定存在，使得且，求证：.参考答案一、选择题：AACABDCB3解：当时，，，。又因为。所以。选C。填空题9．0．得而10．11．12．设甲、已、丙三个组的人数分别为。则有，故233=，同理，均为整数，则或，检验的方可。13．数型结合得14．长方体的展开图的周长为，由排序或观察得：周长的最小值为。15.716.517.(-2,2)18.三、解答题19解：（1）∵正四棱锥R—ABCD中Q是△RBC的重心，∴RQ⊥BC又∵RO⊥底面ABCD，∴RO⊥BC，∵RO∩RQ=R，∴BC⊥平面ROQ∴平面ROQ⊥平面RBC（2）延长RQ交BC于点M，由PQ与OM不平行且共面，所以它们必相交，设PQ∩OM=N，则∠PNO为直线PQ与底面ABCD所成的角，可求得，即直线PQ与底面ABCD所成的角为（3）在BC上取一点K，使则由此可求得PQ与BR所成的角为计算可得，20解：设，，，设圆的参数方程为，则，点是关于点的对称点，．，，当=1时，有最大值|；当时，||有最小值21解：(1)对任意，由，存在使得且，又，，在上是增函数20.解：（1）取得，又由，得（2）显然在上满足[1]；[2].若，，且，则有故满足条件[1]、[2]、[3]，所以为友谊函数.(3)由[3]知任给