岩土数值分析1、2、3章2013

岩土工程数值分析

与应用

第一章绪论河海大学岩土工程研究所卢廷浩第一节岩土工程问题的基本特点工程类型的多样性材料性质的复杂性荷载条件的复杂性初始条件与边界条件的复杂性相互作用问题几种工程类型（例）

加筋挡墙防渗墙与覆盖层混凝土面板坝挡土墙第二节岩土工程数值分析发展的必然性

为尽可能求得问题的可靠解答，人们的追求与选择大致有三个梯次，退而择之。建立严格的控制物理方程－严格精确解基于假定建立较为精确的控制物理方程－近似理论解必要简化假设的基础上得到的控制物理方程（微分方程或微分方程组）－寻求数值解第三节本课程介绍几种

常用数值方法

滑移线理论与特征线方法（CharacteristicsLineMethod，CLM）。极限分析法（LimitAnalysisMethod，LAM）有限单元法（FiniteElementMethod，FEM），包括土体应力变形、固结有限元及渗流有限元；离散单元法(Discrete/DistinctElementMethod，DEM)；非连续变形分析法(DiscontinuousDeformationAnalysis，DDA)；岩土参数反分析法（BackAnalysisMethod,BAM）；三个常用软件应用（显式有限差分方法差分的拉格朗日法FLAC3D，基于非线性有限元的通用分析软件的ABAQUS，基于离散元方法的PFC）人们的认识在不断发展深化，同时伴随其它学科的发展，例如计算方法的多样化与计算技术的发展，能够求解的岩土工程问题的范围和难度在不断扩大。

从求解稳定性问题到求解变形和稳定问题，从土体到岩体，

从连续介质到不连续介质，

从简单到复杂，

从单一问题到综合和耦合问题等。

数值分析发展前景广阔，是学者和工程师们的新舞台。

第四节学习中应注意的问题

（1）掌握每种方法的数学力学原理，基本假定和适用范围；（2）弄清每种方法对岩土体材料模型及其参数的要求；学习中应注意的问题（3）弄清每种方法对岩土体材料与结构的相互作用模型及其参数的要求，包括岩石块体之间的关联和相互作用；（4）分析岩土体是否存在渗流和与水的相互作用或其它耦合问题。学习中应注意的问题（5）分析初始条件、边界条件和荷载特征等，确定模拟思路，正确建模；（6）对于反演分析，要研究和分析已知数据，明确待求未知量，选择恰当方法。应用时注意几个主要环节（1）研究分析对象，明确计算目的，选择数值分析方法，确定建模方案；（2）确定运用的模型及其参数；（3）确定边界条件与初始条件；应用时注意几个主要环节（4）模拟荷载及荷载的动态变化；（5）确定计算的收敛评判依据；（6）考察各环节简化的合理性，考题，否则应调整建模及有关计算模型与参数；（7）确定后处理方法及成果的整理与分析方案。（8）应用商业软件之前，要先弄清原理

教材：卢廷浩等，岩土工程数值分析与应用

河海大学出版社，2012.12参考文献[1]刘汉东、张勇、贾金禄编著，岩土工程数值计算方法（M），黄河水利出版社，1995.12。[2](美)C.S.德赛、J.T.克里斯琴主编，卢世深、潘善德、王钟琦等译，岩土工程数值方法（M），中国建筑工业出版社，1981.8。[3]中国力学学会计算力学委员会主办，第一届全国计算岩土力学研讨会论文集（M），西南交通大学出版社，1987.11。[4]龚晓南主编，土工计算机分析，中国建筑工业出版社（M），2000.10。[5]廖红建、王铁行，岩土工程数值分析，机械工业出版社（M），2006.2。…………更多

岩土工程数值分析

与应用

第二章滑移线理论与特征线法

河海大学岩土工程研究所卢廷浩概述

对于土体，滑移线理论、极限分析理论与力的极限平衡理论同属极限状态理论的范畴，都是求土体达到极限状态时解答的理论方法。这些理论方法都是假定分析对象服从库仑材料破坏准则，求解时不考虑材料到达极限状态的过程，即不考虑材料的具体应力应变关系，从而求得土体达到极限状态时的解答，但他们各自求解问题的视角和方法不同。关于力的极限平衡理论

力的极限平衡理论假定土体为理想刚体，依据于经典静力学中刚体平衡理论推求极限状态解答，简称为极限平衡法。该方法最为人们所熟悉，其突出优点是简单，应用广泛。例如，经典土压力计算理论，假定滑动面的土坡稳定安全系数计算，地基极限承载力计算等。关于极限分析理论

极限分析理论假定土体为弹性－理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应用虚功率方程推导弹性－理想塑性体或刚塑性体的普遍定理－上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。关于滑移线理论

土力学中的滑移线理论是从经典塑性力学的基础上发展起来的。假定土体为理想刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。滑移线理论是基于平面应变状态的土体内当达到“无限”塑性流动时，塑性区内的应力和应变速度的偏微分方程是双曲线这一事实，应用特征线理论求解平面应变问题极限解的一种方法，称为滑移线法。滑移线概念基本假定基本方程

平衡方程为

土体屈服条件为滑移线

在平面应变问题中，都有两个正交主应力，将各点主应力方向连续地连接起来就是主应力迹线。土体处于屈服状态时，每一点都存在一对剪破面，即面和面，将平面上各点剪破面连续地连接起来就可以得到两族曲线，称为滑移线（或滑动线）。滑移线上一点的切线就是该点的滑动面方向。滑移线概念应力分量表达（一点应力状态）

当土体达到塑性极限平衡时（达到塑性屈服），土体单元将一对剪破面，剪破面与大主应力的夹角为。

设大主应力与轴的夹角为，则三个应力分量可分别表达为

式中

称为平均法向引用应力应力分量表达（放大图）滑移线与滑移线方程线和线的微分方程为应力平衡方程的特征线方程特征线方程－推导特征线方程组

极限平衡方程改写

这是一个以x，z，,为变量的空间曲面方程是一阶拟线形偏微分方程组。直接求解极其困难。数学上的一阶拟线形偏微分方程组一般形式为

该式是关于为变量，由系数构成的代数方程组，其中系数是的函数。

该方程组的系数行列式为展开行列式，令，有其中在某区域内，如果则方程有两个实根，表示一阶拟线形偏微分方程组为双曲线型的，在该区域内有两族实的特征线。如果，则方程有一个实根，表示一阶拟线形偏微分方程组为抛物线型的，只有一族特征线；

如果则方程没有实根，表示一阶拟线形偏微分方程组为椭圆型的，不存在实的特征线。特征线方程推导上式是关于、的一阶拟线形偏微分方程组，直接求解这个偏微分方程组极其困难。由于两族滑移线自己的夹角是

为此可以将方程改写：以乘第一个方程；以乘第二个方程，然后相加，得特征线方程推导－空间曲面方程以为变量空间曲面方程，

特征线方程推导在xoz平面内一定存在某曲线，该曲线上和正好满足方程；沿该线、可以表达为求全微分改写上式得将其代入式整理后得到式中当右端项分子分母同时为0，左端的导数值不定，称为特征线。特征线的方程组：

方程组是曲面方程，仍难以求得解析解，只能沿着曲面方程的特征线才能求得解答，因此称为特征线法。

比较滑移线的定义与此处的特征线方程，可知此处数学上的特征线就是物理概念上的滑移线。

应力间断线应力间断线（l线）推导应力间断线应力间断线推导切向正应力间断滑移线的基本性质应用特征线法求解极限荷载时必须首先根据滑移线性质构造应力场。根据滑移线的定义，可推得具有如下基本特性。滑移线上的剪应力等于岩土体的抗剪强度（极限状态），滑移线网与屈服准则有关。两族滑移线的夹角与内摩擦角值有关，粘聚力c不影响滑移线的两族滑移线的夹角和形状，而土体自重影响滑移线网的形状但不影响两族滑移线的夹角。滑移线的基本性质沿一条滑移线的积分常数相同，因此：沿一条滑移线上的变化与的变化呈比例，的变化（滑移线的曲率变化）愈大相应的变化也愈大；如若某段滑移线为直线，则该直线段滑移线上的，值和应力分量均为常量。两条族被两条族滑移线所切割的两滑移线段转角相等，同理两条族被两条族滑移线所切割的两滑移线段转角也相等（Henky第一定律）。若沿某一滑移线移动，在交叉点处的另一族滑移线的曲率半径的变化（Henky第二定律）。特征线方程组的差分解法差分方程组提高差分解精度

依据问题定性作出较密的滑移线网格；逐点进行一次差分计算后，再在前一次差分计算结果的基础上进行逐次迭代计算，以进行下一次迭代

差分计算看似繁琐，但应用计算机采取编程计算就极简单而且快捷

分别代替边界已知值换算由换算成，

土体单元极限平衡状态

土体单元极限平衡状态（推导）图2.9边界上应力状态摩尔圆土体单元极限平衡状态（推导）由图可见（引用应力）（引用应力对法线的倾角）（平均法向引用应力）（方向对边界倾角的2倍）

边界已知值换算推导点和点对应着两种应力状态，即被动状态和主动状态。

在上式分别合成一个式子，有（）处，或按正弦定律

在处，或按正弦定律

）图2.10主动与被动状态判别因为线段长

主动与被动状态判别若边界顺着边界荷载极限平衡状态，则单元的侧向应力必小于法向应力即，有，从而，这种情况恰与莫尔圆上的点相一致，就相当于取式（2-24）中的K＝－1；的运动方向下压使土体单元处于按该式计算的值最小，称主动状态或最小应力状态。主动与被动状态判别若边界逆着边界荷载极限平衡状态，则单元的侧向应力必大于法向应力即，有，从而，这种情况恰与莫尔圆上的点相一致，就相当于取式（2-24）中的K＝+1；的运动方向下压使土体单元处于按该式计算的值最大，称被动状态或最大应力状态。边界已知值换算由换算成或当差分计算到未知边界后，一般应完成这种换算，以便于设计使用。换算可采用如下两种方法之一进行。方法1：利用式，反求，方法2：先由莫尔圆上直接求出然后求出再求求出边值问题第一种边值问题（柯西问题）第二种边值问题（古尔斯问题，黎曼问题）边值问题第三种边值问题（混合问题）第四种边值问题地基极限承载力边界条件已知条件有：地基土性参数；边荷载；以及基底荷载之倾角（由上部结构荷载水平与垂直分量确定）。目的是：求基底面极限承载力及其分布地基极限承载力滑移线网格与节点地基极限承载力分析边界条件初绘滑移线网、节点编号计算表格（步骤），或编程分区解答（或输入程序计算信息）极限荷载、实际荷载分析边界条件和

OB为未知边界换算OA为已知边界，OB为未知边界（基底面）。分析应力边界的土体单元不难发现，未知边界基底面OB将顺着p下压，BOD为主动区，根据前面的分析应取K＝－1，将m＝0，代入式（2-24），取轴与基底面一致即，得

分析边界条件和

已知的边界OA换算分析应力边界的土体单元不难发现，未知边界OA有外移（隆起）的趋势，AOC为被动区，因此应取K＝+1，将m＝0，代入式（2-27），得

网格节点编号

地基极限承载力计算格式

AOC区解答COD区解答COD区为主动区与被动区之间的过渡区，其中O点是该区族滑移线的会交点，也可以将O点看着为族滑移线缩于一点。该点是奇点，发生了理论上的应力间断。COD区解答COD区解答DOB区求解

求基底OB面上的极限荷载和设计荷载

饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力饱和软粘土地基极限承载力土坡稳定坡顶极限承载力坡顶极限承载力坡顶极限承载力坡顶极限承载力极限边坡轮廓线

极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线极限边坡轮廓线竖直坡的临界高度

竖直坡的临界高度

极限平衡理论的轴对称解答

极限平衡理论的轴对称解答

极限平衡理论的轴对称解答

极限平衡理论的轴对称解答

极限平衡理论的轴对称解答

极限平衡理论的轴对称解答讨论

在滑移线理论中，由于假定土体符合莫尔库仑准则，是理想弹塑性或刚塑性体，故不涉及具体的应力应变关系，所以滑移线理论与特征线方法是求解极限平衡问题时的解答。同时由于难以求得应力平衡方程的解析解，基于应力平衡方程是双曲线型方程其几何上的特征线就是物理上滑移线，从而求得极限平衡解答。因为最终是用数值方法求解，故解答是近似解。

讨论对于非均匀土体（符合本方法的基本假定），滑移线理论与特征线方法可以近似应用，但由于基本方程是假定均质条件下推导的，应用特征线求解时相应区域的参数要随之变化，界面处特征线将发生偏转，因而只能说可以近似应用。对于复杂应力条件和复杂边界条件等问题，用滑移线理论与特征线方法求解目前尚存在困难。

讨论

当前岩土材料的滑移线理论都采用经典塑性理论中的关联流动法则，由此得出应力特征线与滑移线一致。而试验得知，岩土材料并不一定服从关联流动法则，因而应力特征线与滑移线可能不重合。广义塑性力学的出现，从理论上证明了塑性势面与莫尔库仑屈服面之间成一定的角度，因而应研究采用非关联流动法则来研究滑移线（进行中）。

滑移线理论与特征线方法用于求得某些问题的数值解是其重要的方面，并且尚应继续深入研究并扩大应用范围。滑移线理论与特征线方法的另一个重要作用是，可以经常用于对某些问题进行定性分析和判断，因而其基本概念有着广泛应用。

谢谢天命之谓性，率性之谓道，修道之谓教。-中庸第三章极限分析法河海大学岩土工程研究所卢廷浩岩土工程数值分析

与应用第一节概述

极限分析理论假定土体为弹性－理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。

极限分析理论就是应用弹性－理想塑性体或刚塑性体的普遍定理－上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。第二节上、下限定理1、静力容许的应力场

设有物体V，其表面A，面力和体力已知。若在此物体上，设定一组应力场，满足下列条件，则称为静力容许应力场。①在体积V内满足平衡方程，即②在边界上满足边界条件，即③在体积V内不违反屈服条件，即

由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定是极限状态时真实的应力场。上、下限定理2、机动容许的位移速率场

在物体V上，若设定一组位移速率场，满足以下条件，为机动容许的位移速率场。①在体积V内满足几何方程，即

则称②在边界Su上满足位移边界条件，或速度边界条件，并使外力做正功。由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的位移速率场必定是机动容许的位移速率场；但机动容许的位移速率场不一定是极限状态时真实的位移速率场。上、下限定理3、速度间断面

速度间断面(平面上是间断线)是两个速度不同区块存在的过渡薄层，是速度场中从一个速度区过渡到另一个速度不同的区域的薄层的极限情况，一般是刚性区与刚性区或刚性区与变形区的边界，如单剪情况速度间断面的存在将产生能量耗散。设物体内部存在若干个速度间断面（i=1、2、3…..），将物体分成有限个子块，每个子块内部的速度是连续的。上、下限定理4、虚功方程与虚功率方程

虚功原理表明：对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的虚功。

同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变形功率。

如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为：

以上几个定理的证明可参考土力学有关书本，这里从略。根据虚功率方程可以证明极限分析中两个重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度间断面；——速度间断面两侧切向速度的变化。上、下限定理5、下限定理：在所有与静力容许的应力场满足相对应的荷载中，极限荷载最大。（证明）上、下限定理6、上限定理：

在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小。（证明）下限定理证明证：设为真实的应力场，对应的表面力为Ti，为真实的位移速率场，由几何方程求得真实应变率为，真实速度场中可能存在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为[]；在Su上给定速度为，在ST上给定表面力为，给定的体力为Fi。

下限定理证明由虚功率方程得又设另一静力容许的应力场，对应的表面力为，由虚功率方程得下限定理证明上述两式相减得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同时≥0，即剪应力做正功率知≥0。剪应力做正功率，因此可得≥0或者上式表明，在所有静力许可的应力场中，极限荷载的功率为最大。或者说与所有静力许可的应力场相平衡的荷载是极限荷载的下限。于是下限定理得到证明。上限定理证明

上限定理：在所有的机动容许的塑性变形位移速率场相对应的荷载中，极限荷载为最小。证：设为物体达到极限状态的真实应力场，其对应的表面力为Ti，为真实位移速率场，由几何方程求得的应变率为，真实速度场中可能有速度间断面SL，其上的速度切向跃值为[]；体力为Fi。上限定理证明另设一机动容许的位移速率场，对应的应变率为，应变速度场可能有间断面，其上的切向速度为。虚功率方程得由于≥0上限定理证明又≤C，则有后两式代入第一式，有