对两类常见电磁学问题的探讨

对两类常见电磁学问题的探讨第1页，共24页，2023年，2月20日，星期四在电磁学解题中，同学往往习惯套用公式，而忽略了其内在含义．这里给出了两类习题的基本解法，并对它们进行深入的探讨。摘要第2页，共24页，2023年，2月20日，星期四【一】导体电极分区介质问题中的重要性在具体应用课本介绍的两种典型分区介质的解法时，同学往往忽略外层导体介质的存在。现以具体例题讨论其重要性如下。第3页，共24页，2023年，2月20日，星期四例题１．一球形电容器带电量为Q0，两极之间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质。介质界面与球心共面（见下图）。求介质中的D与E的分布。第4页，共24页，2023年，2月20日，星期四〖常规解法〗由于介质界面与电场线重合，且属于一维对称情况，电场强度沿径向方向，因此运用公式有：

ε0E(ε1+ε2)·2πr2=Q0(ｒ为到球心的距离)则第5页，共24页，2023年，2月20日，星期四ε２区域中：D2=ε0ε2E=ε1区域中：D1=ε0ε1E=在上题中，用到了“介质界面与电场线重合时，

”这一结论。这里，由于静电场的唯一性定理，可以给出证明。

第6页，共24页，2023年，2月20日，星期四由于与介质面重合，因而在介质界面没有法向分量，界面上极化电荷为零。由知：在r1处：ε1区域

ε2区域第7页，共24页，2023年，2月20日，星期四１区：２区：r1表面电荷密度分布为：１区：２区：两值相等。同理计算r2表面电荷分布可得：１区：２区：第8页，共24页，2023年，2月20日，星期四可见，由于存在不同的电介质，极化面电荷σ／会出现差异，但是内外导体自由电荷分布的自动调整，会使内、外导体面处的总电荷分布是球形对称的。这样电场的分布必然是球形对称的。

第9页，共24页，2023年，2月20日，星期四对于例题１这种解法行之有效。但我们设想去掉例题1中球外r2处导体，情况会变成什么样呢？

第10页，共24页，2023年，2月20日，星期四例题2．

如下图，只有r1处有带电Q0的导体球，其它条件同例题1。

第11页，共24页，2023年，2月20日，星期四如果我们仍按例题1来解，可算得r2上极化电荷：１区：２区：因为r2处无自由电荷，故总电荷分布不对称。第12页，共24页，2023年，2月20日，星期四可见内球壳r1处的总电荷是均匀分布的，它们对空间场强的贡献是球形对称的。而在外球壳r2处总电荷密度不均匀，因此它们对场强的贡献不是球形对称的。内外层贡献叠加的总场强必然不是球形对称的。与计算所得场强分布矛盾。

第13页，共24页，2023年，2月20日，星期四结论该方法对例题2的情况（球外无导体壳）不适用。例题1与例题2区别在于例题1有导体壳提供自由电子，是自由电子自动调整才使E球形对称。所以要具备电子调整的条件，使外壳成为等势面，这是此类习题的一特点。第14页，共24页，2023年，2月20日，星期四〖分析〗题中介质是无限的，能否运用上述方法呢？答案是肯定的。因为无限远处也是一等势面，而且无限远处的电荷对系统不构成影响，由此解出Q=Eε0(1+ε)2πr2，符合要求。有由静电场中唯一性定理，可知这就是此题的唯一解。所以，无论是介质趋向无限远处，或外包导体，都可以用此法来求解。同样的问题也出现在静磁场中。例题3.一介电常数为ε的半无限电介质界面上有一点电荷Q，求空间电场分布。第15页，共24页，2023年，2月20日，星期四例题4.在同轴电缆中填满磁导率为μ1和μ2的两种磁介质，各占一半空间，并介质面为通过电缆轴的平面。设通过电缆的电流强度为I，求解之中磁场的分布。第16页，共24页，2023年，2月20日，星期四【二】以能量转换与守恒原理为基础的楞次定律

电磁感应现象中感应电流方向的判定常用楞次定律，通常有“来拒去留”和“跟动”的说法。但在不同的介质中尚需做具体分析，以下是超导介质中的一例。第17页，共24页，2023年，2月20日，星期四例题5．条形磁铁沿导体圆环中心轴线进入后又穿出，分析环中感应电流方向及两个过程磁铁与环之间的相互作用。第18页，共24页，2023年，2月20日，星期四〖分析〗磁场力一直对磁铁做负功，磁铁功能的减少向线圈中的电能转化，而电能最终又在电阻上成为焦尔热。第19页，共24页，2023年，2月20日，星期四上题中，“来拒去留”的方法的确适用，而且十分方便。但是不是一种放之四海而皆准的法则呢？

第20页，共24页，2023年，2月20日，星期四例题6．如下图，用超导材料制成的闭合线圈放置在防磁装置中,可以认为不受周围其他磁场的作用，有一个小条形磁铁沿线圈的轴线从左向右穿过超导线圈，并远离线圈，开始时线圈中无电流。第21页，共24页，2023年，2月20日，星期四〖分析〗超导体无电阻，其自身并不消耗电能，它是一个贮能环。这时，环中感应电流不再与电动势成正比，电流是逐渐积的。完全进入时，环中电流达到了最大。第22页，共24页，2023年，2月20日，星期四关于这一点，也可以用麦克斯韦电磁场理论来讨论：a.

当完全进入时，E=0，电子速度最大，i最强b.

离开过程，磁铁引起线圈中变化磁场产生逆时针的电场E／，电子开始受到与运动方向相反的电场力作用，但电子不会立即改变运动方向，其将做逆时针的减速运动，故电子方向还是与刚才的方向相同，只是强度小了。

第23页，共24页，2023年，2月20日，星期四

进一步分析：进入过程，磁铁动能的减少转化为超导体环中的电能；