高数第五章一元微分的应用

导数与微分的应用举例第五章§3.函数图形的描绘一、渐近线曲线C上的动点M沿曲线离坐标原点无限远移时，若能与某一直线l

的距离趋于零，则称l为C的一条渐近线.C0lxy给定C：y=f(x)，确定C的渐近线的方法：(1)若则曲线C有一条(水平)渐近线y=A.(2)若x0使则曲线C有一条(铅直)渐近线x=x0(3)若则曲线C有一条(斜)渐近线y=ax+b.y=f(x)0lxyNMN1y=ax+bx时：|MN|0等价于|MN1|0MN1=f(x)axb由求a,b?x+时：于是同理讨论x例1.

曲线0yx例2.

曲线110xy二、函数图形描绘例3.

描绘解：定义域：(,0)(0,+)令f'(x)=0得驻点x=1.渐近线y=1和

x=0.f'(x)xf''(x)++y=f(x)++(,0)(0,1)010++++0拐点间断点极小0011M1M3M2xy§4.相关变化率、弧微分、曲率一、相关变化率问题例1.一横截面为等边三角形的水槽，长20m，若以3m3/min的速率注入水，问当水面高为4m时,水面的上升速率为多少？解：设t时刻水槽内水的体积V(t)，水面高度h(t).lh0问题：已知由已知有则或于是h=4时例2.

一飞机在离地面2km的高度,以200km/h的速度飞临某目标之上空，以便进行航空摄影.试求飞机飞到该目标上方时摄像机转动的速度.解：选取坐标系如图设t时刻飞机与目标水平距离x(t),摄象机俯角(t)问题：已知x0目标x2kmy由已知有则或当x=0(km),(km/h)时(rad/h)二、弧微分设C:y=f(x),f(x)C([a,b])正向：x增大时动点(x,y)沿C移动的方向.取起点M0(x0,y0)和任一点M(x,y),定义s=||M0M||,M0M与C正向一致))||M0M||,M0M与C正向相反))则s=s(x)为增函数,求取M(x,y)和M'(x+x,y+y)，则s=||MM'||)ydyPM'MOyxsx0xx+xCx)))ydyPM'MOyxsx0xx+xCx)x0时有M'M,可得)故)1ydyPM'Msxx+xCx或因s(x)单调增加，故从而有弧微分ds三、曲率M2M2M1M1M2M2M1M1M'MOyxCs设光滑曲线弧C,任取M,M'.记

=切线转角s

=||MM'||)定义MM'的平均曲率：)令s

0,即M'M,称为曲线C在点M处的曲率.例3.

直线：圆：有RMM'Ds不变.=0,所以K=0半径R，有=MDM'设C

：y=f(x).且f''(x)存在.

y'=tan,得例4.求解：由得所以例5.

抛物线y=ax2+bx+c上哪一点曲率最大？解：y'=2ax+b,y"=2a得当2ax+b=0时，即时，K的分母最小，从而K最大.而对应于抛物线顶点.故顶点处曲率最大(最大值K=|2a|)实际中，若|y'|<<1,则K

|y"|设C：x=(t)x=(t)，则四、曲率圆与曲率半径

设曲线C上点M处的曲率为K，在点M邻近任取M1,M2过三点M1,M2,M作圆·D1DR当M1,M2M时·D1·D称为C在点M处的曲率圆.·DMM1M2CD1半径R称为C在点M处的曲率半径.圆心D称为C在点