第一章1-67极限存在准则、无穷小比较

极限存在准则与两个重要的极限（一）极限存在的两个准则定理：如果在某个变化过程中，有三个变量x、y、z总有关系且则（夹逼准则）A证明：即：注意:例：证明证明：0PAB当时，有由夹逼定理得证毕.例：证明证明：得即：例解由夹逼定理得说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1找一个数列不存在.法2找两个趋于的不同数列及使例.

证明不存在.证:取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.2.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:0M例如：函数有类似的性质.例2证设则故:即:(舍去)设小结：（1）判断数列极限的存在性单调有界（2）设解方程求A例1:欧拉数1748年欧拉发表了“无穷分析概要”后，数在数学中就有了确定的地位.考察序列:这个序列是递增的且序列单调递增有上界，一定收敛。其极限值定义为即：令n＝12，二、两个重要极限(1)注意：（1）极限过程是（2）三个括号内的一致性即：0故（3）当时，有在这个变化过程中，是无穷小量又因为所以是等价无穷小量，即～例：求极限解：原式==1～例：求极限解：原式==k例3解变形(2)我们取正值观察x101021031062.59372.70482.716922.7182813(2)分析类似地,(2)注意：1、极限过程2、在x的变化过程中，函数的形式3、一致性问题例4解令:那么原式=例：求解：=1例.求解:

原式=例1:下表是某银行某年的整存整取年利率表时期3个月6个月1年2年3年5年年利率%1.982.162.252.432.702.88某人存入1000元存期1年,1年结算,半年结算,3个月结算,用复利计算本利和解:F1=1000(1+0.0225)=1022.5,

F2=1000(1+0.0225/2)2=1022.63F4=1000(1+0.0225/4)4=1022.69Fm=1000(1+0.0225/m)m当m→∞时,Fm→?一般地：1tm关于幂指函数f(x)g(x)的极限法则1:设那么:法则2:当时,1)若0<A<1时,02)若A>1时,法则3:当时,那么,证明:例:求解:例:==1确定C,使得解:解得例:第一章都是无穷小,第七节引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.无穷小的比较定义.若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作例如

,

当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且常用等价无穷小:例1.

证明:当时,～证:～例2.

证明:证:目录上页下页返回结束因此即有等价关系:说明:

上述证明过程也给出了等价关系:等价无穷小代换求极限(等价无穷小代换定理)设:且存在,则证例:求解:原式=例解分式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意例解例解解错关于等价无穷小,有定理如下是等价无穷小,的充分必要条件是证明:必要性则是无穷小,且,即充分性,设因此定理:设设对同一变化过程,

,为无穷小,说明:无穷小的性质,(1)和差取大规则:由等价可得简化某些极限运算的下述规则.若

=o(),(2)和差代替规则:例如,例如,(见下页例3)

(3)因式代替规则:界,则例如,例3