第十三章函数、极限与连续

第十三章函数、极限与连续第一节函数１.函数的定义一、函数的概念通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应关系与定义域.显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时,这两个函数才认为是相同的.2.函数的定义域1.函数中有分式,要求分母不能为零2.函数中根式,要求负数不能开偶次方3.函数中有对数式,要求真数必须大于零4.函数中有对数式和反三角函数式,要求符合它们定义域5.若函数式是上述各式的混合式,则应取各部分定义域的交集例1求下列函数的定义域3.函数与函数值的记号4.函数的表示方法表示函数的方法,最常用的有以下三种:13-1在不同的区间内用不同的式子来表示的函数称为分段函数，即用几个式子合在一起表示一个函数.求分段函数的函数值时，应将自变量的值代入相应取值范围的表示进行计算.1.函数的奇偶性二、函数的几种特性2.函数的单调性上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.单调增加(或单调减少)函数的图形沿轴的正向上升(或下降).证3.函数的周期性4.函数有界性上述定义也适用于闭区间和无穷区间.三、复合函数例5指出下列复合函数的复合过程解四、反函数解定义4由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合而构成的，并能用一个式子表示的函数,称为初等函数.五、初等函数例7用铁皮做一容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的表面积表示为底半径的函数，并求定义域.解六、建立函数关系举例解从上面的例子可以看出，建立函数关系时，首先要弄清题意，分析问题中哪些是变量，哪些是常量；其次，分清变量中哪个应作为自变量，哪个作为函数，并用习惯的字母区分它们；然后把变量暂固定，利用几何关系、物理定律或其他知识，列出变量间的等量关系式，并进行化简，便能得到所需要的函数关系，找出函关系式后，一般还要根据题意写出函数的定义域。1.需求函数某一商品的需要量是指在一定的价格水平下,消费者愿意而且有支付能力购买的商品量.消费者对某种商品的需求由多种因素决定,商品的价格是影响需求的一个主要因素,还有其他因素,诸如消费收入的增减、季节的变换都会影响需求.现在假定价格以外的其他因素均为常量,只研究需求与价格的关系.七、经济类函数举例一般情况下,商品的价格越低,需求量越大;商品价格越高,需要越小.因此需求函数是单调减少函数.依据经济统计数据,常见的需求函数有以下几种类型.解2.供给函数

某一商品的供给量是指在一定的价格水平下,生产者愿意生产并可供出售的商品量.

一般情况下,商品的价格越低,生产者不愿生产,供给少;商品价格越高,生产者愿意生产并且能够向市场提供的多,因此供给函数是单调增加的.依据经济学中的统计数据,常见的供给函数有以下几种类型.

如果市场上某商品的需求量恰好等于供给量,则称此市场供需平衡状态,此时的商品价格称为均衡价格.市场上的商品价格将围绕均衡价格上下波动.解3.成本函数解4.收益函数总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，平均收益是生产者出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的售价.5.利润函数解

经济学中实际问题的解决,不仅需要建立一些经济量之间的函数关系,更需要对这些函数的性质进行研究.在后面的几章中,我们将陆续提供解决这些问题的一些非常有效的数学工具.本节关键词基本初等函数初等函数复合函数思考题1.判断两个函数是否相同的关键是什么？答案2.有界函数的界是否唯一？答案3.思考复合函数的定义，在什么情况下复合函数将失去意义？答案课堂练习题答案答案第二节数列及极限一、数列的极限例1观察下列的通项变化趋势，写出它们的极限-3-3-3-302-114321n由表中各个数列的变化趋势，根据数列极限的定义可知：通过以上例题，可以推得以下结论：数列极限四则运算法则：二、数列极限的四则运算解例3求下列各极限.解三、无穷递递缩等比数列的求和公式这个公式叫无穷递缩等比数列的求和公式.解(1)如果一个数列有极限,则此极限是惟一的.(2)数列有无极限,极限是何值,与该数列的任意有限项无关.四、数列极限的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第三节函数的极限一、先看下面的例子.二、例3观察并写出下列函数的极限:解13-1913-20图13-19例3（1）示意图图13-19例3（2）示意图三、左极限与右极限解解四、函数的性质思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第四节、无穷小与穷大1.无穷小的定义在实际问题中,常会遇到以零为极限的变量.一、无穷小与无穷大的定义及其关系应当注意以下几点:2.无穷大的定义与无穷小相仿,应当注意以下几点:3.无穷小与无穷大的关系解

例2

以下函数在怎样的变化过程中是无穷小?你能写出相同过程下的无穷大吗?解例3讨论以下函数在何种情况下为无穷小?无穷大?解1.无穷小与函数极限之间的关系2.无穷小的性质及推论性质1有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2有限个有界函数与无穷小的乘积为无穷小.推论1常数与无穷小的乘积仍为无穷小性质3有限个无穷小的乘积仍为无穷小.推论2无穷小的正整数次幂仍为无穷小.二、无穷小的性质解解思考题1.很小的数是否就是无穷小量？为什么？答案2.“无穷大的倒数就是无穷小，无穷小的倒数就是无穷大”这一命题是否正确？答案3.两个无穷小的商是否一定为无穷小？举例说明.答案课堂练习题答案答案第五节极限的运算法则解解解解解解解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第六节两个重要的极限一、证解解解解解二、解解解思考题答案答案课堂练习题答案答案第七节无穷小的比较已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？表13-3三个无穷小趋向零的快慢程度0.10.010.0010.20.020.0020.010.00010.000001解解同阶与等价的无穷小均具有反身性、对称性和传递性,两者相比，等价无穷小比同阶无穷小用得更多，所以下面重点讨论等价无穷小.本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化，但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换.解解解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第八节函数的连续性与间断性连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性.例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着.这些现象反映在数学上，就是函数的连续性.一、函数连续性的概念(一)函数的增量解(二)函数的连续性图13-24函数连续性与间断点那么，上述函数的连续与间断如何用数学语言来定义呢？这一定义说明了连续的本质：当自变量变化微小，函数值相应变化也很微小.证明下面先介绍函数的左连续与右连续的概念.解显然，在某一区间内，连续的函数其图形是一条连续不断的曲线，这是连续函数的几何特性.1.间断点下面三个函数在x=1的连续性.二、函数的间断点2.间断点的分类例5求下列函数的间断点，并说明其类型.解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第九节初等函数的连续性1.基本初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的.2.连续函数的和、差、积、商的连续性一、初等函数的连续性3.反函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数且单调性不变.4.复合函数的连续性连续函数的复合函数仍为连续函数在求复合函数极限时，若内外层函数均为连续函数，则极限符号与函数符号可层层交换次序，即上式也可写成解解5.初等函数的连续性一切初等函数在定义区间内都是连续的.解解解1.最大值与最小值性质定理4在闭区间上连续的函数，在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次.二、闭区间上连续函数的性质

此定理中有两点需要注意：闭区间与函数连续，即在开区间（a,b）内连续，或在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有最值或最小值.2.介值性证思考题答案答案答案课堂练习题答案答案第十节数学实验三用Mathematica求一元函数的极限求一元函数的极限一.学习Mathematica的命令Mathematica的求极限命令调用格式为二.理解函数极概念解解解三.求一元函数的极限例4求下列函数的极限：解第十一节无穷级数简介无穷级数是一个重要的数学工具.它包括常数项级数与函数项级数两部分，本节仅简单介绍下无穷级数的一些基本知识。一、数项级的概念例1讨论等比级数（又称几何级数）解解解二、数项级数的基本性质证解解思考题答案答案答案课堂练习题答案答案三、正项级数及其审敛法1.比较审敛法根据该定理1，可建立正项级数的一些基本审敛法.解解解2.比值审敛法解四、任意项级的敛散性1.交错级数及其审敛法