第八章重积分

第八章重积分一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的?回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为一、主要内容第1节二重积分的概念与性质2曲顶柱体体积=特点1．曲顶柱体的体积D困难曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).?曲顶顶是曲的3柱体体积=

特点分析?曲边梯形面积是如何求以直代曲、如何创造条件使?

解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶平曲这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、求和、取极限.底面积×高4步骤如下用若干个小平顶柱体体积之和先任意分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积并任取小区域，近似表示曲顶柱体的体积，5(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式(用表示第i个子域的面积).将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点6(3)求和即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限λ)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积72.非均匀平面薄片的质量(1)将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片.(2)(3)(4)近似任取小块设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.8也表示它的面积,二、二重积分的概念1.二重积分的定义定义作乘积

并作和①②③9积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于的极限存在,极限为函数二重积分,记为即④10曲顶柱体体积它的面密度曲顶即在底D上的二重积分,平面薄片D的质量即在薄片D上的二重积分,112.在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,二重积分可写为注定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D12(A)最大小区间长;(B)小区域最大面积;(C)小区域直径;(D)最大小区域直径.D选择题132.二重积分的存在定理设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数存在.连续函数一定可积注今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相应的14(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,15性质１为常数,则(二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质16以1为高的性质2将区域D分为两个子域性质3若为D的面积oxyD1D2

注既可看成是以D为底,柱体体积.对积分区域的可加性质.D1与D2除分界线外无公共点.D又可看成是D的面积.17问在有界闭区域D1上可积,且则是否必有18特殊地性质4(比较性质)设则例的值=().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为负B19几何意义以m为高和以M为高的两个证再用性质1和性质3,性质5(估值性质)则σ为D的面积,则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.则20性质6(二重积分中值定理)体积等于显然几何意义证D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱体以D为底为高的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以二重积分的概念与性质有21的最大值M与最小值m之间的.由闭区域上连续函数的介值定理.两端各乘以点的值证毕.即是说,确定的数值是介于函数在D上至少存在一点使得函数在该与这个确定的数值相等,即二重积分的概念与性质22例1设D为圆域?二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RD二、典型例题23

比较(D)无法比较.oxy

1••1•2C(2,1)•性质4(比较性质)的大小,则()例224解估值性质区域D的面积在D上例3不作计算,25(A)(B)(C)(D)提示:B是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.利用积分中值定理.例426利用积分中值定理,解即得:由函数的连续性知,显然,其中点是圆域内的一点.27例5设D是平面有界闭区域,函数在区域D上连续,在D上不变号.求证:存在使得28本节介绍计算二重积分的方法:二重积分化为累次积分(即两次定积分).第2节二重积分的计算29(1)积分区域为：其中函数X－型在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分X-型区域的特点:平行于y轴的直线与区域D的边界至多交于两个点.30计算截面面积(红色部分即A(x0))＊以D为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积.应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法是区间为曲边的曲边梯形.为底,曲线31是区间为底,曲线为曲边的曲边梯形.有:＊先对y后对x的二次积分称为累次积分.32(2)积分区域为：Y－型先对x后对y的二次积分也即其中函数在区间上连续.Y-型区域的特点:平行于x轴的直线与区域D的边界至多交于两个点.33穿过区域且平行于y轴的直线穿过区域且平行于x轴的直线abdc

计算结果一样.又是Y型:(3)积分区域D既是X型:X型区域的特点:Y型区域的特点:与区域边界相交不多于两个交点.与区域边界相交不多于两个交点.但可作出适当选择.34(4)若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.(用积分区域的可加性质)D1、D2、D3都是X型区域则必须分割.35两相邻弧半径平均值.内取圆周上一点其直角坐标则设为二、利用极坐标系计算二重积分36得即也即极坐标系中的面积元素37(1)积分区域D:θθ即,极点O在区域D之外38若则39(2)积分区域D(曲边扇形):即,极点O在区域D的边界上40极坐标系下区域的面积(3)积分区域D:注一般,在极坐标系下计算:θ即,极点O在区域D的内部41﹡三、二重积分的换元法设被积函数在区域D上连续,若变换满足如下条件:(1)一对一地变为D上的点;(2)有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式42注意1.若J在D内若干点或线上等于0,则以上结论仍成立.2.特别有极坐标变换则3.J的性质选择变换公式的目的:使变换后的函数易积；(2)使积分限易确定.5.边界映射到边界。43

二重积分的计算规律再确定交换积分次1.交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;443.注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函45利用积分区域的对称性及被积函数的奇,偶性,可以简化二重积分的计算.(1)如果积分区域D关于y=0对称,则(2)如果积分区域D关于x=0对称,则46(3)如果积分区域D关于原点对称,则

今后在计算重积分利用对称性简化计算时,被积函数的奇偶性.

积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:47例1计算二重积分其中D是由直线及双曲线所围成的闭区域.选择适当的积分次序有利于计算.通常选择使区域D不用分成几部分的好.注二、典型例题48例2计算二重积分其中D是由直线及抛物线所围成的闭区域.此例说明选择积分次序的重要性.注49例3求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为及解求所围成的立体的体积.?还有别的做法吗50注若先对x后对y积,则很难!此例说明:利用二重积分的几何意义求体积,及选择积分次序的重要性.51例4求其中思考:求其中52例5siny2对y的积分而它对x的积分交换积分次序的方法是:改写D为:oxy分析所以将二次积分先将所给的积分域(1)(2)画出积分域的草图(3)计算二次积分不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.交换积分次序.用联立不等式表示D:53oxy此例说明交换积分次序的重要性54交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;55例6交换积分次序：解积分区域:原式=56又是能否进行计算的问题.计算二重积分时,恰当的选取积分次序十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且凡遇如下形式积分:等等,一定要放在后面积分.57例7求证左边的累次积分中,积分域可表为提示定积分与积分变量的记法无关不能具体计算.所以,是y的抽象函数,证毕.先交换积分次序.58例8计算其中D是由直线所围成的平面区域.59为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D)0.AD1是D在第一象限的部分,练习60解a例9计算其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.在极坐标系下61解求反常积分例10显然有62又对称性质63概率积分夹逼定理即所求反常积分64例11计算位于平面曲线之外部分的面积.例12求球体被圆柱面所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.65例13解所围成的闭区域.其中D为椭圆作广义极坐标变换66故换元公式仍成立,极坐标67例14解令则即68故69是空间有界闭区域Ω上的如当各小闭区域直径中的最大值在每个1.三重积分的定义将闭区域Ω任意分成n个小闭区域其中并作和作乘积①②③④有界函数.也表示它的体积.表示第i个小闭区域,上任取一点一、三重积分的概念(define)第3节三重积分的概念与计算70记为函数趋于零时这和的极限总存在,则称此极限为在闭区域Ω上的三重积分.即体积元素713.三重积分的几何意义(2)设被积函数连续函数一定可积2.三重积分存在性则区域Ω的体积为在Ω上是可积的.的三重积分存在性时,(existence)(1)占有空间区域体密度函数为的立体的质量为:72二、三重积分的计算1.在直角坐标系下计算三重积分故直角坐标系下的体积元素为在直角坐标系下三重积分可表为在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面的来划分73设平行于z轴的直线与的边界面至多相交于两个点.(1)设在xoy平面上的投影区域为以的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,把的边界曲面分为上,下两部分:直角坐标系中将三重积分化为三次积分思想是1.投影法(先单后重法)74即设在上连续,在上连续,在上连续.75的一元函数,是分布在线段(2)对过作平行于z轴的直线穿过区域则由曲面穿入,穿入点由曲面穿出,穿出点上的质量在竖坐标z处的线密度,从而线段上的质量为:76(4)把物体质量看成分布在占有平面闭区域的平面薄片上,点处的面密度为则物体的质量为:由于先单后重先对z,次对y,最后对x的三次积分则77注相交不多于两点情形.则考虑化为先对z,后对xy的累次积分.过程如下:(1)将投影到xy平面,得区域(2)对作平行于z轴的过直线穿过区域看看由哪个曲面穿入,哪个曲面穿出,从而定出z的上下限.(3)最后再由二重积分的方法将化为二次积分即可.78所以,三重积分可以化为六种不同次序的三次积分(累次积分).和积分域Ω选取适当的三次积分进行计算.解题时,要依据具体的被积函数同样,也可以把积分域Ω向yOz、zOx面投影.792截面法(红色部分)(先重后单法)截面法的一般步骤(1)投影,得投影区间(2)(3)计算二重积分(4)最后计算单积分即80

即当被积函数仅与变量z有关,截面法的公式还有两个.?用上公式简便.希望自己推导注且截面Dz易知时,81(1)如果被积函数是单变量z(或x,y)的函数,并且总结:用z=常数(或x=常数,y=常数)截空间区域得到的截面的面积易求,则考虑把三重积分化为先重(对xy)后单(对z)的累次积分来计算;(2)将三重积分化为三次积分时,一定要先单后重或先重后单,不要直接化为三次积分;(3)充分利用对称性.82小结:直角坐标系下计算重积分的一般步骤:1.画出积分区域的示意图;2.选定积分次序,三重积分只能先化为”先单后重”或”先重后单”的累次积分,不要直接化为三次积分.3.确定积分限,计算累次积分.83规定直角坐标与柱面坐标的关系为就叫点M的柱面坐标.2.利用柱面坐标计算三重积分cylindricalcoordinates设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在xOy面上的投影P的极坐标为则这样的三个数84柱面坐标系中,以z轴为中心轴的圆柱面；过z轴的半平面.与xOy平面平行的平面;三坐标面分别为称点M的柱面坐标85柱面坐标系中的体积元素为在柱面坐标系中,如图,得小柱体即直角坐标系下三重积分与(红色部分).若以三坐标面分割空间区域柱(面)坐标系下三重积分的关系是86?

如何计算柱坐标系下三重积分回想直角坐标系下计算三重积分方法.将三重积分化为三次积分(累次积分)87柱坐标系下三重积分的计算,可得柱坐标系下三重积分化为三次积分与x,y,z等同的看为三个变量.如,极坐标不等式表示只要把被积函数中的的计算公式.类比公式先将Ω在xOy面上的投影域用88从而故再确定Ω的下,上边界面89当化三重积分为先单后重或先重后单,而算上的重积分需用极坐标计算时,则考虑用柱面坐标变换.注90如积分域Ω为圆柱域(如图).则91当被积函数是积分域Ω由圆柱面(或一部分)、锥面、抛物面用所围成的.柱面坐标计算三重积分较方便.92记投影向量与x轴正方向的规定正方向间的夹角为夹角为球面坐标.称为点M的3.利用球面坐标计算三重积分设M(x,y,z)为空间内一点,向xOy平面投影,93球面坐标系中的三坐标面分别为原点为心的球面；过z轴的半平面．球面坐标与直角坐标的关系为原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；94球面坐标系中的体积元素为若以三坐标面分割空得小六面体(红色部分).于是,在球面坐标系中，间区域95通常是注记96注:化球面坐标系钟的三重积分为三次积分时要根据积分区域的特点来决定积分限.1.若积分区域的边界曲面是一个包含原点在内的闭曲面,其球面坐标方程为:则97特别若积分区域由所围成,则再特别时,由上式得到求的体积98若原点不在积分区域的内部,则按以下方法确定积分限.通常是注(1)作两个过z轴的半平面夹紧积分区域,这两个半平面对应着则对积分的上下限分别为:(2)用的半平面L截积分区域,得到截面S在L内过原点作两射线夹紧S,这两射线对应着则对积分的上下限分别为:则对积分的上下限分别为:99(3)设固定,即用过原点的射线穿过区域,设穿入穿出曲面为:则对r积分的上下限分别为:故结论:当积分区域为球面,球面与锥面等围成,被积函数中含有则考虑用球面坐标变换.时,100类似有三重积分的换元法设变换将空间区域一对一地变换为空间地区域且函数在内有连续偏导,且则101小结:对于二重积分,若积分区域为圆域,扇形域或圆环域,而被积函数中含有则用极坐标计算.2.对于三重积分,若积分区域的边界面方程中含有且被积函数中也含有则用柱面坐标变换计算.3.对于三重积分,若积分区域的边界面方程中含有且被积函数中也含有则用球面坐标变换计算.1024.作一般变量替换的目的:5.对于求封闭曲线围成的图形的面积,使变换后的函数易积；(2)使积分限易确定.注意:边界映射到边界.先分析其对称性,再考虑用(广义)极坐标变换.而对于求封闭曲面围成的图形立体的体积时,则先分析其对称性,再考虑用(广义)球面坐标变换.103小结:1.对于二重积分交换积分次序的步骤(1)将已给的二次积分的积分限得出相应的二重积分的积分区域,(2)按相反顺序写出相应的二次积分.并画出草图;2.对于三重积分交换积分次序的步骤(1)将已给的三次积分退化为”先单后重”或”先重后单”的累次积分;(2)再将二重积分交换积分次序,重复多次即可.104二、典型例题投影法(先单后重法)计算三重积分?例15105例16求由旋转抛物面和平面所围成的立体的质量,假设立体上各点处的密度与该点到z轴的距离成正比.例17将化为定积分.106例18求由抛物柱面及平面所围成的立体在第一象限部分的体积.107例19计算的上半部分.例20计算其中是由柱面与平面所围成的.108例21计算其中是由不等式所围成的空间区域.利用柱面,球面,先重后单三种方法例22计算其中是由不等式所围成的空间区域.利用对称性,球面坐标109例23计算其中是球体例24计算其中为锥面与平面所围成的立体.110例25求半径为a的球与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.例26计算其中为椭球面所围成的闭区域..111解?如先对z积分其中Ω是由锥面例27与平面思考所围成的锥台体.柱面坐标112可看出如先对z积分,(积不出来).将遇到积分最后对z积分.这里应先对积分,113例28计算其中例29求曲面所围成的立体的体积.114例30计算三重积分小结:1.在计算重积分时,要同时结合考虑区域的对称性及被积函数的奇偶性.2.充分利用轮换对称性.115一、重积分在几何上的应用1.平面区域的面积设有平面区域D,2.体积设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:占有空间有界域的立体的体积为:第4节重积分的应用1163曲面的面积空间中一平行四边形S(面积仍为S)投影到xoy平面上仍为平行四边形σ(1)平面图形的投影(面积仍为σ),则设S以为邻边,则σ以为邻边.117是S的法向量.且同理所以其中γ为空间平面S的法向量与z轴正向的夹角.即118如果S不是平行四边形,而是位于空间中的任何一个平面图形,则它的面积与它在xoy平面上的投影图形的面积仍有此关系式:其中γ为两空间平面图形的法向量的夹角.结论:(1)当S的法向量(2)当S的法向量119(2)设曲面S的方程为：如图,3.曲面的面积设小区域则有母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为D,120曲面S的面积元素曲面S的面积公式121(3)设曲面的方程为曲面面积公式曲面面积公式(2)设曲面的方程为曲面面积公式(1)设曲面S的方程为122二、重积分的统一定义定义1设为一个有界的闭几何形体(可以是直线段,曲线弧段,平面区域,空间曲面或空间立体),它是可以度量的(即可求长度或面积或体积),函数上的一个有界数量值函数.①也表示它的度量,②作乘积

123

并作和③④记如果对任意分割及点的任意取法,极限都存在且相等,则称函数且此极限值为多元数量值函数(也称黎曼积分),记为即积分和积分区域被积函数被积表达式或积分微元124于是,质量特别当时,根据积分区域的不同,有以下不同的积分表达形式:并称为二元函数上的二重积分,即平面积分区域面积元素125并称为三元函数上的三重积分,即空间积分区域体积元素126(3)对弧长的曲线积分平面上积分曲线弧弧长微分或空间积分曲线弧弧长微分(4)对面积的曲面积分积分曲面面积元素127由力学知识知道，则该质点组的质心的坐标为设有一质点组,每个质点的位置为三、重积分在物理上的应用1、质心对yoz面的静矩对xoz面的静矩对xoy面的静矩128物体的重心坐标为设空间物体上任一点的体密度为则利用微元法的思想得到注当物体是均匀的,重心称为形心.1292、转动惯量由力学知识知道，则该质点组关于x,y,z轴的设有一质点组,每个质点的位置为转动惯量分别为130设的密度函数,它在上连续,同样利用微元法的思想得到物体绕x,y,z轴的转动惯量分别为如果几何形体位于xoy面上,则z=0131用元素法求薄片对z轴上的单位质点的引力引力在三个坐标轴上的投影3、引力(1)平面薄片对质点的引力设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为假定在D上连续,计算该平面薄片对位于z轴上的点处的单位质点的引力.元素.薄片中的大小近似地为的部分对该质点的引力132引力的方向方向余弦薄片中上的投影的元素:薄片中的大小近似地为的部分对该质点的引力