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文档简介
2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学第I卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1+z(1)设复数Z满足;一=,贝/Z|=1-z(A)1 (B)<2(C)v;3(D)2(2)sin20°cos10。一cos160°sin10>°=v3 <311(A) 2 (B)2(C)一2(d)2(3)设命题P:3neN,n2>2n,则「P为(A)VneN,n2>2n(B)3neN,n2<2n(C)VneN,n2<2n(D)3neN,n2=2n(4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,贝该同学通过测试的概率为(A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312x2TOC\o"1-5"\h\z5已知M(%,y0)是双曲线C:—-y2=1上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,若MF-MF<0,, 2 12则y0的取值范围是_ 一 一<3 \:3 \:3 <3 2V2 2V2 2V3 2<3 —a—T,TB—T,~6~)(C)(-/,/)(D)(一丁,/)(6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有(a)14斛 (B)22斛 (C)36斛(D)66斛TOC\o"1-5"\h\z⑺设D为ABC所在平面内一点BC=3CD,则14 14(a)AD=--AB+-AC (b)AD=-AB--AC() 3 3一」) 3 341 41(c)-DD=—AB+—AC (DAD==AB-=AC() 3 3 (~ 3 38函数fx=cos(")x+(P)的部分图像如图所示,则fx的单调递减区间为b2-疝m+.1 32k--,2k+—4 4,『CkEzD(9)执行右面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(A)5 (B)6(C)7(D)8(io)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(A)10 (B)20 (C)30 (D)60(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为厂)组成一个几何体,(12)该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的(13)表面积为16+20兀,则r=正视图(A)1(B)2(C)4(D)812设函数fx=ex2x—1—ax+a,其中a:1,若存在唯一的整数x0,使得fx0)0,则a的取值范围是3 33 33 3A.2e'I)F'4C2['4D2['1第II卷二、填空题:本大题共3小题,每小题5分13若函数f(x)=xln(x+xa+x2)为偶函数,则a=x2y214一个圆经过椭圆二+一=1的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为164x-1-015若x,y满足约束条件|x-y<0 ,则-的最大值为x+y-4<0 x16在平面四边形ABCD中,/A=ZB=ZC=75°,BC=2,则AB的取值范围是三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17本小题满分12分Sn为数列{n的前n项和已知an0,1+2an=4Sn+3\求a__的通项公式: nII设“与%+1,求数列出〃的前n项和18如图,四边形ABCD为菱形,ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE,平面ABCD,DF,平面ABCD,BE=2DF,AE±EC1证明:平面AEC,平面AFC2求直线AE与直线CF所成角的余弦值19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费%单位:千元对年销售量y单位:t和年利润z单位:千元的影响,对近8年的年宣传费X.和年销售量y(=1,2,・・・,8数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.年|销.售量/1年|销.售量/1年宣传费(千元)xyw£(xi-x)2i=1£ (wi-W)2i=1£(xi-x)(y.-i=1y)一£,一(wi-i=1w)(y.-y)467656.3678289.8-1.6一1469108.8,,表中吗=x:1xii=1 _I根据散点图判断,y=。+bx与y=c+d6哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)II根据I的判断结果及表中数据,建立y关于X的回归方程;in以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=02y-x根据II的结果回答下列问题:() 年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?(i年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?附:对于一组数据uv,uv.……uv)其回归线v=a+Pu的斜率和截距的最小二乘估11 22 nn计分别为:V/-、/一、乙(u-u)(v-v)i i 一八一P=-4=1 ,a=v—Pu、, 一、乙(u-u)2ii=120本小题满分12分x2在直角坐标系xoy中,曲线C:y=—与直线y=kx+aa0交于M,N两点,I当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;II)轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有NOPM=ZOPN?说明理由
21)本(小题满分12分1已知函数f(=x3+ax+4,g(x)=一lnxI当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;II用min{m,几}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=minIf(x),g(x)}(x>0),讨论h(零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB是。O的直径,AC是。O的切线,BC交。O于点E()若D为AC的中点,证明:DE是。O的切线;(I若OA=耳CE,求NACB的大小(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线C1:x=—2,圆C2:(x-1)2+(y—2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.求C,C的极坐标方程;12若直线C的极坐标方程为9=:(PeR),设C与C的交点为M,N,求^CMN的面积3 4 23 2(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲(I)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(I(I)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(I)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围2015年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题答案A卷选择题答案一、选择题(1)A (2)D(7)A (8)DA、B卷非选择题答案二、填空题(3)C (4)A(9)C(10)C(5)A (6)B(11)B (12)D3 25(13)1 (14)(x土-)2+y2=—24(16)收-正状-血(15)3、解答题(17)解:(I)由a2+2a=4S+3,可知a2+2a=4S+3.nnn可得a2一a2+2(a一a)=4an+1 n n+12(a +a)=a2n+1 n n+1n+1 n+1 n+1即n+1一a2=(a+a)(a一a)由于a>0可得an n+1又a2+2a=4a+3所以{a}是首相为3n(II)由a=2n+1n n+1一a=2.nn+1解得a二一1(舍去),a=311公差为2的等差数列,通项公式为a=2n+1.nnb=
naa(2n+1)(2n+3)=2(2n71-2nz3).设数列”{/}的前n项和为T,则nT=b+b++b
n12 n=1(1=1(1一1)+
235+(2n+1)一(2n+3)n3(2n+3)(18)解:连结EG,FG,EF.(I)连结连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由/ABC=120°,可得AG=GC=<3.由BE±平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AE±EC,所以EG=v'3,且EG±AC.在RtAEBG中,可得BE=42故DF=-2.在RtAFDG中,可得FG="^2-.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=<2,2DF=^-可得fe=芋.从而EG2+FG2=EF2,所以EG1FG又AC^FG=G,又AC^FG=G,可得EG1平面AFC.因为EGu平面AEC所以平面AEC1平面AFC(Ill)如图,以G为坐标原点,分别以GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,GB为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(I)可得A(0,-,3,0),E(1,0,2),F(-1O*),C(0,3,0)所以AE=(1,3<2),CF=(-1,3,^22).故cos;AE,所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为J3:的回归方程类(19)解:的回归方程类(I)由散点图可以判断,y=c+dXx适宜作为年销售量y关于年宣传费x2分2分(II)令w=v-x,先建立y关于w的线性回归方程。由于108.81.6=68X(w-w)(y-y108.81.6=68i=1- X(w-w)2ii=1八c=y-dw=563-68x6.8=100.6。所以y关于w的线性回归方程为y=100.H6而8因此y关于x的回归方程为y=100.6+68yx。 .…・・6分(III)(i)由(II)知,当_x=49时,年销售量y的预报值y=100.6+68<49=576.6年利润z的预报值z=576.6x0.2-49=66.32。 ……9分(ii)根据(II)的结果知,产利润z的预报值_Z=0.2(100.6+684x)-x=-x+13.64x+20.12TOC\o"1-5"\h\z一13.6一 八所以当E=——=6.8,即x=46.24时,工取得最大值故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大。 ……12分(20)解:x X2-,.一:—(I)有题设可得M(24a,a),N(-24a,a),或M(2r)又y=—,故y=一在x=2«2 4处的导数值为y,a ,C在点(而a,出)的切线方程为y-a=a(xV2艮a■)■■, a-x-y=a0X2y=—在x=-2qa,即、/ax-y+a=0.股所求切线方程为ax--y-a=0和%Ex+y+a=0(III)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x,y),N(x,y)直线PM,PN的斜率分别为勺,勺y=kx+a代入。的方程得x2-4kx-4a=0.TOC\o"1-5"\h\z故x+x=4k,xx=-4a.1 2 12从而kx+a代入。的方程得2-4kx-4a=0.故x+x=4k,xx=-4a.1 2 12从而k+k2=「+」1 xx122kxx+(a-b)(x+x) 1 2—xx12_k(a+b)a当b=-a时,有k+k=0,则直线PM的倾角与直线的倾角互补,故/ =/ p所以点符合题意12(21)解:TOC\o"1-5"\h\z(x,0)则f(x)=0,f(x)=0即00 0「 1」x3+ax+—=0⑴设曲线丫=蚁)与x轴相切于点{0 04 >3x2+a=0013解得1,a=-302 43因此,当a=-一时,x轴为曲线y=f(x)的切线4(II)当xe(1,+^)时,g(x)=-1nx<0,从而 {f(x),g(x)}<g(x)<0,故h(x)在(1,+^)无零点当乂=1时,若a>一5贝ljf(1)=a+5>0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故乂=44是h(x)的零点;若a〈一5,则 {(⑴)(1)}=i(1)<0,故x=1不是h(x的零点4当xe(0,1)时,g(x)=-1nx>0.所以只需考虑f 在()的零点个数⑴若a< 或a>则f'() 2在()无零点,故在()单调f(0)=1,f(1)a+5,所以当<时,f在()有一个零点;当a>时£ 在()没有零点44(访若-3<a<0,则£(x)在(0,,二*)单调递减,在(后二)单调递增,故在()中当x=%:一时,f(x)取得最小值,最小值为f(、一3)=与、一3+4①若f(F3)>。即一4<a<0,f(x)在()无零点;②若f(匚a 即a-则f(x)在(0,1)有唯一零点TOC\o"1-5"\h\z\3 4③若f(',1'-3)<0,即一3<a<-4,由于f(0)=4,f(1)=a+4<a<-3时,f(x)在()有两个零点;当<4时,f(x)在(0,1)有一个零点.综上,当35 3 5a>—或@<-一时,h(x)有一个零点;当a=--或2=--时,h(x)有两个零点44 4 453当一一<a<-一时,h(x)有三个零点.44(22)解:(I)链接人£,由已知得,AE1BCAC1AB在RtAAEC中,由已知得,DE=DC故/DEC=/DCE链接OE,则UNOBE=NOEB又NACB+乙ABC=90°所以(DEC+乙OEB=90°故NOED=90。,DE是口O得切线(II)设CE=1,人£=乂,由已知得AB=2<3,BE=<12-x2由摄影定理可得,AE=CE.BE,所以x2=J12-x2即x4+x2-12=0可得
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