学案几何概型

学案几何概型第1页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点一学点二学点三学点四学点五学点六第2页，共32页，2023年，2月20日，星期四1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为

，简称为

.2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=

.3.均匀随机数均匀随机数就是在一定范围内,

产生的数,并且得到这个范围内的每一个数的机会一样.几何概率模型几何概型随机构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)子区域A的几何度量返回第3页，共32页，2023年，2月20日，星期四4.［0,1］间随机数的产生在计算器中应用

可连续产生［0,1］范围内的均匀随机数.不同的计算器具体操作过程可能会不同.5.随机模拟法的应用随机模拟法可用来求

（特别是

）的面积的近似值，或求

.随机函数某些特殊图形不规则图形某些量(如π)的近似值返回第4页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点一与长度有关的几何概型的求法

【分析】本题考查与长度有关的几何概型的求法.某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆车带走站上的所有乘客),乘客到达汽车站的时间是任意的,求乘客候车时间不超过3分钟的概率.

【解析】这是一个几何概型问题.记A=“候车时间不超过3分钟”.以x表示乘客到车站的时刻,以t表示乘客到车站后来到的第一辆汽车的时刻,作图3-4-3.据题意,乘客必然在［t-5,t］内来到车站,故Ω={x|t-5＜x≤t}.返回第5页，共32页，2023年，2月20日，星期四若乘客候车时间不超过3分钟,必须t-3≤x≤t,所以A={x|t-3≤x≤t},据几何概率公式得P(A)=

=0.6.

【评析】(1)把所求问题归结到x轴上的一个区间内是解题的关键,然后寻找事件A发生的区域,从而求得μA

.

(2)本题也可这样理解:乘客在时间段(0,5］内任意时刻到达,等待不超过3分钟,则到达的时间在区间［2,5］内.图3-4-3返回第6页，共32页，2023年，2月20日，星期四在两端相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m的概率是多少?解:灯挂在绳子上的每一个位置都是一个基本事件,即整个区域的几何度量为μΩ=6m.记“灯与两端距离都大于2m”为事件A,则把木杆三等分,当绳子挂在中间一段上时,事件A发生,即μA=2m.所以由几何概型的概率公式,得P(A)＝.返回第7页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点二与面积有关的几何概型的求法1.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率.

【分析】本题考查与面积有关的几何概型的求法.

【解析】设A={两艘船中至少有一艘停靠时等待}.建立平面直角坐标系如图3-4-4,x轴表示甲船到达的时间,y轴表示乙船到达的时间,则(x,y)表示的所有结果是以24为边长的正方形.图3-4-4返回第8页，共32页，2023年，2月20日，星期四事件A发生的条件是0＜x-y＜6或0＜y-x＜6,即图中阴影部分,则μΩ=242,μA=242-182.∴P(A)=,即这两艘船中至少有一艘在停靠时必须等待的概率是.

【评析】(1)甲、乙两船都是在0～54小时内的任一时刻停靠,故每一个结果对应两个时间;分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中正方形内的任一点.

(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.

(3)这一类问题我们称为约会问题.返回第9页，共32页，2023年，2月20日，星期四2.设有一等边三角形网格,其中各个最小等边三角形的边长都是cm,现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上,求硬币落下后与格线没有公共点的概率.

【分析】考查几何概型中与面积有关的问题.

【解析】记A={硬币落下后与格线没有公共点},如图3-4-5所示,在等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为1,则等边三角形的边长为,由几何概型得概率为两三角形面积的比,即由概率图3-4-5返回第10页，共32页，2023年，2月20日，星期四的公式得P(A)=

【评析】求出面积是解题关键.返回第11页，共32页，2023年，2月20日，星期四甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去,求两人能够会面的概率.解:按照约定,两人在6点到7点之间任何时刻到达会面点是等可能的,因此是一个几何概型,设甲、乙两人到达的时间为x,y,则|x-y|≤15是能够会面的先决条件.以x和y分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.返回第12页，共32页，2023年，2月20日，星期四在平面上建立直角坐标系如图,则(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形,而可能会面的时间用图中的阴影部分表示.这是一个几何概型问题,由等可能性知

P(A)=

答:甲、乙两人能够会面的概率是.返回第13页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点三与体积有关的几何概型的求法在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少?

【分析】本题考查与体积有关的几何概型.

【解析】设A={取出10毫升种子,含有病种子},则μΩ=1000毫升,μA=10毫升,∴P(A)=,即取出种子中含麦锈病的种子的概率是0.01.返回第14页，共32页，2023年，2月20日，星期四

【评析】(1)病种子在这1升种子中的分布可以看作是随机的,有无限个结果,并且是等可能的,是几何概型.取得的10毫升种子可看作构成事件的区域,1升种子可看作是试验的所有结果构成的区域.

(2)要注意使用“几何概型”的条件.返回第15页，共32页，2023年，2月20日，星期四如图3-4-7所示,有一杯2升的水,其中含有一个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升水,求小杯水中含有这个细菌的概率.解:设A={小杯水中含有这个细菌}.则μΩ=2升,μA=0.1升,∴P(A)=图3-4-7返回第16页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点四与角度有关的几何概型的求法如图3-4-8,在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一射线CM,与线段AB交于点M,求AM＜AC的概率.

【分析】考查与角度有关的几何概型的求法.图3-4-8

【解析】在AB上取AC′=AC,则∠ACC′==67.5°.设A={在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,AM＜AC},则μΩ=90°,μA=67.5°.∴P(A)=

返回第17页，共32页，2023年，2月20日，星期四

【评析】(1)射线CM随机地落在∠ACB内部,故∠ACB为所有试验结果构成的区域,当射线CM落在∠ACC′内部时AM＜AC,故∠ACC′为构成事件的区域.

(2)事件区域是角域,可用角度刻画.返回第18页，共32页，2023年，2月20日，星期四若题目改为:在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上取一点M,求AM＜AC的概率,答案一样吗?解:在AB上截取AC′=AC,AC′=设A={在斜边AB上取一点M,AM＜AC},则

μΩ=AB,μA=

,∴P(A)=故不一样.返回第19页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点五用随机数模拟法估算几何概率取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,用随机模拟法估算剪得两段的长都不小于1m的概率有多大?

【分析】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意实数,并且每一个实数被取到的可能性相等,因此在任意位置剪断绳子的所有结果(即基本事件)对应［0,3］上的均匀随机数,其中［1,2］上的均匀随机数就表示剪断位置与端点的距离在［1,2］内,也就是剪得两段的长都不小于1m,这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A发生的频率.返回第20页，共32页，2023年，2月20日，星期四

【解析】记事件A={剪得两段的长都不小于1m}.

(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a1=RAND.

(2)经过伸缩变换,a=a1*3.

(3)统计出试验总次数N和［1,2］内的随机数个数N1.

(4)计算频率fn(A)=N1/N即为概率P(A)的近似值.

【评析】用随机模拟法估算几何概率的关键是把事件A及基本事件空间对应的区域转化为随机数的范围.返回第21页，共32页，2023年，2月20日，星期四甲、乙两辆货车停靠站台卸货的时间分别是6小时和4小时,用随机模拟法估算有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间的概率.解:记事件A“有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间”.

(1)利用计算器或计算机产生两组0到1区间的均匀随机数,x1=RAND,y1=RAND.返回第22页，共32页，2023年，2月20日，星期四

(2)经过伸缩变换,x=x1*24,y=y1*24得到两组［0,24］上的均匀随机数.

(3)统计出试验总次数N和满足条件-4≤x-y≤6的点(x,y)的个数N1.

(4)计算频率fn(A)=

,即为概率P(A)的近似值.返回第23页，共32页，2023年，2月20日，星期四学点六用随机数模拟法近似计算不规则图形的面积利用随机模拟的方法近似计算图形(如图3-4-9所示)中阴影部分的面积:y=x2+1与y=6所围成区域的面积.

【分析】在坐标系中画出矩形(x=

,x=-

,y=1和y=6所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到阴影部分的面积的近似值.图3-4-9返回第24页，共32页，2023年，2月20日，星期四

【解析】(1)利用计算器或计算机产生两组0至1之间的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND;

(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=5*b1+1;

(3)数出落在阴影内的样本点数N1,总试验次数为N,用几何概型公式计算阴影部分的面积为S=

.多做几次试验,得到的面积会更精确.

【评析】要记住公式.其中N为总的试验次数,N1为落在不规则图形内的试验次数.返回第25页，共32页，2023年，2月20日，星期四利用随机方法计算如图3-4-10中阴影部分(曲线y=2x与x轴,x=±1围成的部分)的面积.解:(1)利用计算机产生两组［0,1］上的均匀随机数,a1=RAND,b1=RAND.

(2)进行平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组［-1,1］上的均匀随机数和一组［0,2］上的均匀随机数.图3-4-10返回第26页，共32页，2023年，2月20日，星期四

(3)统计试验总数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b<2a的点(a,b)数).

(4)计算频率,即为点落在阴影部分的概率的近似值.

(5)用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=.∴.∴,即为阴影部分面积的近似值.返回第27页，共32页，2023年，2月20日，星期四

(1)几何概型的两个特点:一是无限性,即在一次试验中,基本事件的个数可以是无限的;二是等可能性,即每一基本事件发生的可能性是均等的.因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”.即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积(体积、长度)”与“试验的基本事件空间所占总面积(总体积、长度)”之比来表示.

(2)基本事件的“等可能性”的判断很容易被忽略,从而导致各种错误.1.如何理解几何概型?返回第28页，共32页，2023年，2月20日，星期四2.随机数是如何产生的?如何理解随机模拟试验?

(1)随机数的产生利用计算器或计算机产生［0,1］上的均匀随机数x1=RAND,然后利用伸缩和平移变换,x=x1*(b-a)+a,就可以得到［a,b］内的均匀随机数,试验的结果是［a,b］上的任何一个实数,并且任何一个实数都是等可能出现的.

(2)随机模拟试验用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费时费