图形的变换及作图

图形的变换及作图一、考点：依据国家最新的课程标准，为了适应新课标的需要以及素质教育的发展，试题要加强与社会的联系，与学生经验的联系，全面考查学生知识与技能、情感态度与价值观，淡化单纯记忆考查，重在思维能力、理解能力的考查，特别注重在具体情境中分析、解决问题能力的考查，已成为全国教育界共同的追求。1、经历对平面图形进行观察、操作和欣赏、设计的过程;经历探索图形平移、旋转基本性质的过程以及与他人合作交流的过程;进一步发展空间观念、审美意识和操作技能以及基本的图案2、通过具体实例认识平移和旋转，了解平行四边形是中心对称图形;理解平移之下对应点连线平行且相等、旋转之下对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．3、能按要求作出简单平面图形平移后的图形；能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形；探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)．4、能够利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用。能够灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．如同轴对称一样，平移、旋转是现实生活中广泛存在的一种现象，是现实世界运动变化的最简捷形式之一。它不仅是探索图形的一些性质，认识、描述物体的形状和空间位置关系的必要手段之一，而且也是解决现实世界中的具体问题，进行数学交流的重要工具。学习平移、旋转的基本性质，欣赏并体验平移、旋转在现实生活中的广泛应用，不仅是第三学段学习的重要目标之一，而且也是密切数学与现实之间必然联系的重要桥梁之一。5、立足学生已有的生活经验和初步的数学活动经历，分别从观察和分析生活中的平移、旋转现象开始，直观地认识平移、旋转，逐步了解和领略“生活中的平移、旋转”现象的共同规律，形成有关平移、旋转的基本性质；通过简单的平移作图（包括漂亮的镶嵌图案）、简单的旋转作图，通过分析简单平面图形平移、旋转等的变化关系，进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵；同时，通过简单的图案设计，将图形的轴对称、平移、旋转融合在图案的欣赏和设计活动之中。在整章内容的编排中，注意体现“现实内容数学化”、“数学内容规律化”、“数学内容现实化”三者的统一。整个设计的意图，不仅在于引导学生观察现实生活中的图形运动变化现象并自觉地加以数学上的分析，进而逐步形成正确的数学观，而且在于通过“生活中的平移、旋转”现象，进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展。6、本章所涉及的学习素材包含了大量与平移、旋转有关的现实物体、现实问题等内容，既有反映现代生活的高楼上的电梯、游乐场中的有关旋转、平移设施、商标图案等，也有反映农村题材的内容（如，老井上的辘轳）。同时，也涉及常见的平面图形，如三角形、四边形等。7、本章的每节内容都力图提供生动有趣的现实情景，并通过深入观察、分析、画图、简单图案的欣赏与设计等操作性活动，进一步丰富学生对平移、旋转等内容的正确理解和准确把握，形成有关轴对称、平移、旋转的比较全面的认识。8作一条线段等于已知线段。作一个角等于已知角二、教学建议1、在教学中，教师要引导学生充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移、旋转现象，并对其中的一些共同特征加以分析、总结，尤其是充分利用具有地方特色的题材（如，农村生活中的平移、旋转现象，牧区生活中的平移、旋转现象）；同时，充分利用相对真实的情景以及现实生活中大量存在的典型图形和平移、旋转现象进行教学，尽可能全面地体现教学素材的现实性和问题的挑战性。2、强调学生的动手操作、活动演示和合作交流，让学生亲身经历观察、画图、图形设计与欣赏等活动过程，帮助学生积累有关数学操作活动的经验和对图形美的体验，并在这个过程中，通过独立思考、自主探索和合作交流，进一步体验图形平移、旋转的数学内涵，获得有关平移、旋转的知识和一定的成功经历，形成有关的简单技能，体会学习的乐趣，发展思维，学会学习。3、在“生活中的平移、旋转现象”、“它们是怎样变过来的”、“简单的平移、旋转作图”、“简单的图案设计”等有关内容的教学过程中，应该有意识地满足学生多样化的学习需求，并真正为学生提供个性化学习的时间和空间。三、注意的问题：

教学中建议结合本地实际灵活采取形式多样的方式，再现平移的过程，分析其中的不变因素，让学生自觉地发现和归纳出相应的结果是从整体的角度刻画平移的关键特征，“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”意味着“图形上的每一点都沿同一个方向移动了相同的距离”，同时，“平移不改变图形的形状和大小”作为“定义”的补充内容，也从平移的结果上刻画了平移的特征。通过问题引导学生进一步分析图3-2中线段、角的相等关系。对此，学生可以采取多种方式（如，实物演示、测量等）探究出其中的规律。但是，图中的有些相等关系（如，∠ABC与∠BAD相等）并不是由于平移所产生的，在教学中建议教师注意区别对待。四、典型例题分析：例1将直角边长为2cm、4cm的一个直角三角形，绕直角顶点按逆时针方向连续旋转三次，每次都旋转90。（1）试作出每次旋转前后的三角形；（2）将所得的所有三角形看成一个图形，你将得到怎样的图形？例2（1）如图，是由两个正三角形和两个等腰三角形组成的图案，分析图中的轴对称、平移或旋转现象。（2）分析图中的平移、旋转或轴对称现象。例3如图，由三角形ABC平移得到的三角形有几个？

解：共有5个

说明：事实上，图中所有的小三角形均与三角形ABC形状相同，但要注意方向！

例4如图，已知：点A及射线XY。求作：点A沿射线XY方向平移3cm后的图形。

作法：在射线AY上截取线段AA'=3cm，点A'即为所求。

例5如图，已知：线段AB及射线XY。求作：线段AB沿射线XY方向平移3cm后的图形。

作法：1、过点A作射线AP平行于XY，在射线AP上截取线段AA'=3cm，得点A平移后的点；

2、过点B作射线BQ平行于XY，在射线BQ上截取线段BB'=3cm，得点B平移后的点；

3、连接A'B'，则线段A'B'即为所求。

说明：这里实际化归为了点的平移问题。

例6如图，经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。

分析：因为A与D是对应点，而平移的对应点的连线段平行且相等所以平移方向——射线AD，平移距离——线段AD的长，

作法（一）

1、分别过点B、C沿AD方向作线段BE、CF，使它们与AD平行且相等

2、顺次连结D、E、F

则△DEF即为所求。

作法（二）

1、过点D分别作DE、DF分别平行于AB、AC，且使DE=AB，DF=AC

2、连接EF则△DEF即为所求。

作法（三）

1、过点B作线段BE平行AD且等于AD

2、连接DE

3、分别以D、E为圆心，以AC、BC为半径画弧，两弧交于点F

4、连接DF、EF则△DEF即为所求。

例7已知线段MN为正六边形ABCDEF平移后所得的一条边，请画出平移后的图形。

解：（如图）

说明：利用分类思想，MN可能是由AB平移而来，也可能是由ED平移所得，故本题有两种可能。

例8如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。

（1）若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；

（2）若平移距离为x（），求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y，并写出y与x的关系式。

解：（1）由题意CC’=3，BB’=3，所以BC’=1，

又由题意易得重叠部分是一个等腰直角三角形，所以其面积为；（2）

说明：这里应用了平移的定义及对应线段平行的性质。例9把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．[解]：[分析]该题设计为开放型的综合题，通过两个图形的旋转变化，第（1）小题考查三角形全等条件的探索、旋转变换，求图形的面积；第（2）小题考查函数建模及自变量的取值范围；第（3）小题由一元二次方程考查探究存在性问题以及探索能力。题中设计的三个问题由易到难，有动有静；关注学生在动态数学情景下感受函数及方程的思想，发展分析问题解决问题的能力；主要考查了学生构建数学模型解决问题的能力及应用[答案]略例10四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．问题的提出：四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形，其中相对的两对三角形的面积之积有何关系？你能探索出结论吗？1）为了更直观的发现问题，我们不妨先在特殊的四边形——平行四边形中，研究这个问题：已知：在□ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图①）求证：S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD证明：（2）有了（1）中的探索过程作参照，你一定能类比出在一般四边形（如图②）中，解决问题的办法了吧！填写结论并写出证明过程．已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点（如图②）求证：_________________________________证明：（3）在三角形中（如图③），你能否归纳出类似的结论？若能，用文字叙述你归纳出的结论，并写出已知、求证和证明过程；若不能，说明理由．[分析]该题是对学生课题学习能力、探究的思维过程、可持续发展能力的考查；关注学生从特殊到一般、类比、猜想、拓广的思维方法的形成过程和学生学习方式的转变；[答案]略例11

仔细观察下面给出的平移、对称、旋转的图形．例12

指出图中的“基本图案”并指出怎样的“基本图案”变化成整个图案的．解

图中阴影部分是“基本图案”，顺时针旋转60°，120°，180°，240°，300°后得到ADEFGH这样一朵“花”，再把这个图形的中心O平移到、……，再把O平移到、……，依次做下去就得到整个图形．例13

利用平移与旋转的知识观察下面的图：（1）在标有字母的六个形状中，其中有五个分别与右侧标有数字的形状相同．找出它们．（2）在标有字母的拼块中，哪一个不属于左边的拼图．解

（1）中．（2）不属于左边的拼图．例14观察图中所给的图案，它可以看成由哪个较基本的图形经过哪些运动变换产生的？它是不是轴对称图形？旋转对称图形？中心对称图形？分析

这是一个涉及轴对称平移、旋转的综合性例子．解题思路主要通过直观观察取得．解

这个图案较基本的图形是正方形，一个小正方形活对角线方向平移一个对角线长、两个对角线长后得一正方形串，然后在串的轴线上找一点O为旋转中心，旋转三个90°后得到题目中给出的图案，整个过程如图所示．这个图形是轴对称、旋转对称。中心对称图形说明：

这里的较基本图形也可以看成线段．一线段经平移、旋转后得一正方形，然后重复上面的过程．例15已知线段m,求线段AB,使AB＝m例16已知∠AOB，求作∠COD,使∠COD＝∠AOB例17已知底边及底边上的高，求作等腰三角形五、巩固训练一．选择题1将长度为5cm的线段向上平移10cm所得线段长度是（）

（A）10cm（B）5cm（C）0cm（D）无法确定

2在以下现象中，

①温度计中，液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；

③钟摆的摆动；④传送带上，瓶装饮料的移动

属于平移的是（）（A）①，②（B）①，③（C）②，③（D）②，④

3如果同一平面的两个图形通过平移，不论其起始位置如何，总能完全重合，则这两个图形是（）

（A）两个点（B）两个半径相等的圆

（C）两个点或两个半径相等的圆（D）两个全等的多边形

4、一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（）（1）对应线段平行；（2）对应线段相等；（3）对应角相等；（4）图形的形状和大小都没有发生变化。A．（1）、（2）、（3）B.（2）、（3）、（4）C.（1）、（2）、（4）D.（1）、（3）、（4）5、下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A、正方形B、等边三角形C、平行四边形D、等腰三角形6、如图，在△ABC中，∠A=90°，作既是中心对称又是轴对称的四边形ADEF，使D、E、F分别在AB、BC、CA上，这样的四边形（）A、只能作一个B、能作三个C、能作无数个D、不存在7、如图，这个图形旋转一周会与原图形重合几次？（）A、0B、1C、2D、48、下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到。(填序号)(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是_________;(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是____(3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是_____二、填空题）1、旋转对称图形（一定、不一定）是中心对称图形；反之，中心对称图形（一定、不一定）是旋转对称图形。2、在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过，并且被该点。3．将5cm长的线段向右平移3cm得到线段PQ，则PQ的长等于cm；将35度的角AOB饶O点旋转50度，得到COD，则COD=。4．将面积为18cm2的等边三角形ABC向上平移5cm，得到三角形DEF，则三角形DEF的面积=cm2，三角形DEF是一个三角形。5在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离的图形运动叫做。

6平移不改变图形的、和，只改变图形的。

7小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上，左手手印（填能或不能）通过平移与右手手印完全重合。

8、正五边形顺时针旋转_________度会与原图形第3次重合。三、解答题1、如图，正方形ABCD平移后成为正方形A′B′C′D′，画出平移方向，量出平移距离。2、任意画一个三角形，并沿北偏东60°方向平移3厘米，画出平移后的图形。3、已知△ABC，点P，请画出△ABC关于点P成中心对称的△A′B′C′。4、如图，将警示牌绕P点旋转后到达另一位置，试在图形上标出旋转的角度，并用量角器量出旋转角度的大小。5、现有四种砖，请用其中的两块（允许用相同的）设计出美丽的图案,然后利用你设计的图案，通过平移或轴对称、旋转，设计出更为美丽的图形。例如：6、请用尽可能多的方法把一个圆分成面积相等的四部分。7、经过平移，下图中A点移到M点，作出平移后的图形。8、欣赏下